23个函数与导函数类型五

23个函数与导函数类型五
特刊：本题点评
14、函数第14题已知函数.当时，求的取值范()ln()x f x e x λ=-+()f x 0≥λ围.
[解析]⑴ 分析题意
设，，则，的意()x g x e =()ln()h x x λ=+()()()f x g x h x =-()f x 0≥思，就是的图象在的图象之上. 设在处，()y g x =()y h x =0x x =()y g x =与的图象相切，此时，设值为，只要，的图象()y h x =λ0λ0λλ≤()y g x =永在的图象之上.
()y h x =⑵ 由切点的关系来建模 0x x =
由于点在曲线上，故： ①
0x ()y g x =0x 0y e =同时点在曲线上，故： ②
0x ()y h x =ln()00y x λ=+由①②式得： ③
ln()0x 0e x λ=+它们在图象相切，故：，即： 0x x ='()'()00g x h x ==0x 01e x λ
+故： ④ ln()001x x λλ
+=+⑶ 解超越方程④式
方程④是一个超越方程，令（），即： 01t x λ=+t 0>01x t
λ+=代入④得：或 ⑤
ln t t -=ln t t =-由于定义域为，所以，即：，故： ⑥ t ln t 0>ln t t 0=-<t 1<(,)t 01∈由基本不等式（仅当时取等号）或（仅当x e 1x ≥+x 0=x x 1ln ≤-时取等号）代入⑤式可得：，即：，即：
x 1=ln t t t 1-=≤-2t 1≥ ⑦ [,)1t 2
∈+∞由⑥⑦得： ⑧ 1t 12
[,)∈事实上，方程的解是：.
ln t t =-t 056714329.≈⑷ 解出极值点的
λ由③式得：，即：，
ln()ln 0x 0e x t t λ=+=-=ln 0x t t ==-
即： （） ⑨ 001x t x λ=-=-+01x 12
(,]∈--故：，所以：当
时，()2001x 22x λ=-+=-+≥0x x =
02λ≥由⑴的分析，本题答案是：，即，本题答案：
0λλ≤2λ≤2λ≤特刊：本题点评
严格来说，解超越方程得，，本题答案0x t 056714329.=-≈-0233.λ≈是；
.233λ<实际上，函数的零点就是.
f t t t ()ln =+t 056714329.≈本题解析③式是关键，得到； ln()001x x λλ+=
+01t 01x (,)λ=∈+由基本不等式，得到；结合两式，故：； x 1x ln -≥[,)1t 2∈+∞1t 12
[,)∈第⑷步解出极值点的的范围，标准答案有点勉强. 这启示我们，在λ2λ≤不会解超越方程时，采用取范围的策略.
下面是极值点附近的函数图.（零点在，）
0x 0567.≈-
0233.λ≈
15、函数第15题设函数，其中，求时的()()22f x 1a x ax =+-a 0>()f x 0>x 取值范围.
[解析]的图象是开口向下的抛物线，于是
()y f x =
()()()222f x 1a x ax x 1a ax =+-=+-当时，，，即：，即： ()f x 0=1x 0=221a x 2a +=≥(,)2
1a x 0a
+∈(,)x 02∈故：的取值范围是，本题就是分析二次函数题.
x (,)x 02∈16、函数第16题已知，函数.若函数在区间a 0>()x a f x x a -=
+()y f x =x 0>的图像上存在两点，在点和点处的切线相互垂直，求的取值范围.
,A B A B a [解析]去绝对值号 ⑴ 对，，其导数： x a >()x a f x x a -=+'()()
22a f x 0x a =>+即：在区间，函数单调递增；
x a >()f x ⑵ 对，，其导数： (,)x 0a ∈()x a f x x a -=-+'()()
22a f x 0x a =-<+即：在区间，函数单调递减；
(,)x 0a ∈()f x
⑶ 对，，函数达到极小值0.
x a =()()f x f a 0==()f x 一个绝对值的极小值不小于0.
⑷ 若点和点处的切线相互垂直，即： ① A B '()'()A B f x f x 1=-则点和点分居于两个不同的单调区域.
A B 设，则，于是①式就是：
(,)A x 0a ∈(,)B x a ∈+∞，即： ()()22A B 2a
2a 1x a x a ⋅=++()()
A B 2a 1x a x a =++即： ②
()()A B x a x a 2a ++=⑷ 解析②式得⑤式
由②式得： ③ A B 2a x a x a
+=+因为，所以，代入③式得： (,)A x 0a ∈(,)A x a a 2a +∈，即：，即： ④ B 2a a 2a x a <
<+B 1112x a <<+()B 1x a 2<+<因为，所以，结合④式得：
B x a >B x a 2a +>B 2a x a 2<+<即：，故： ⑤
2a 2<a 1<⑸ 解析③式得⑦式
因为，所以，即：
， B x a >B x a 2a +>B 2a 1x a <+代入③式得：，即： ⑥ A B 2a x a 1x a
+=<+A x a 1+<
因为，所以代入⑥式得：，即： ⑦ (,)A x 0a ∈2a 1<1a 2
<综上⑤和⑦式得，的取值范围是. a (,)102
本题要点：由已知条件演绎出②式，由②式演绎出的取值范围. a 特刊：本题点评
自从得到②式后，⑷解析②式得⑤式和⑸解析③式得⑦式，都是逻辑推理，没有什么计算. 所以本题是“函数与逻辑”综合性的题目，这是本题的特点.。