2019届高考数学(文科)江苏版1轮复习练习：第3章 三角函数、解三角形 1 第1讲 分层演练直击高考

1．若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在第________象限． [解析] 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，
可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限． [答案] 四
2．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． [解析] 设扇形半径为R ，内切圆半径为r . 则(R －r )sin 60°＝r ， 即R ＝(1＋23
3
)r .
又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π
3R 2＝7＋439πr 2，
所以S 扇πr 2＝7＋43
9.
[答案] (7＋43)∶9
3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π
3，则sin α＝________．
[解析] 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π
2(k ∈Z )，又β＝
－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12
. [答案] 12
4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ
2
是第________象限角． [解析] 因为θ是第三象限角，所以θ2为第二或第四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ
2，所以cos θ2＜0，知θ
2
为第二象限角．
[答案] 二
5．已知角α的终边上一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝12y ，则cos α－1tan α＝
________.
[解析] 由已知得r ＝OP ＝3＋y 2， 所以sin α＝y 2＝y
3＋y 2.
所以2＝3＋y 2，
所以y 2＝1，所以y ＝±1， 故sin α＝±12，cos α＝－32，
tan α＝±3
3
.
则cos α－1tan α＝32或－33
2.
[答案]
32或－332
6．(2018·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π
3
)，则角α的最小正值为________．
[解析] 因为(sin
2π3，cos 2π3)＝(32，－1
2
)， 所以角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝3
2.
所以角α的最小正值为11π
6.
[答案]
11π6
7．若角β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________． [解析] 因为β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎫cos 3π4，sin 3π
4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．
所以sin β＝22或－2
2
，tan β＝－1. [答案]
22或－2
2
－1 8.如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)相交于第
二象限的点A ⎝
⎛⎭⎫cos α，3
5，则cos α－sin α＝________． [解析] 由题图知sin α＝35，又点A 在第二象限，故cos α＝－4
5.
所以cos α－sin α＝－7
5
.
[答案] －7
5
9．函数y ＝sin x ＋
1
2
－cos x 的定义域是________．
[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪
⎧sin x ≥0，cos x ≤12.
所以x 的取值范围为π
3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .
[答案] ⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z )
10．当P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π
3弧长到达Q 点，则Q 点
的坐标为________．
[解析] 由题意知点Q 是角2π3的终边与单位圆的交点，设Q (x ，y )，则y ＝sin 2π3＝3
2，x
＝cos
2π3＝－1
2
， 故Q ⎝⎛⎭⎫－12，32.
[答案] ⎝⎛⎭
⎫－12，3
2
11．已知扇形AOB 的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . [解] 设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧2r ＋l ＝8，12
lr ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧r ＝1，
l ＝6， 所以α＝l r ＝23或α＝l
r ＝6.
(2)法一：因为2r ＋l ＝8， 所以S 扇＝12lr ＝1
4l ·2r
≤14(l ＋2r 2)2＝14×(82
)2
＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝l
r ＝2时，扇形面积取得最大值4.
所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：因为2r ＋l ＝8，
所以S 扇＝12lr ＝1
2
r (8－2r )＝r (4－r )
＝－(r －2)2＋4≤4，
当且仅当r ＝2，即α＝l
r ＝2时，扇形面积取得最大值4.
所以弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 12．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α
2
终边所在的象限．
[解] (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限， 其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋
3π
2
，k ∈Z }． (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π
2，k ∈Z ，
得k π＋π2<α2<k π＋3π
4，k ∈Z ，
故α
2终边在第二、四象限．。