理论力学第10章刚体的定点转动和一般运动
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自由刚体内任选一点为坐标原点建立动参 考系,则刚体相对此参考系的运动就是刚体 的定点转动。因此在生产实践中, 刚体的定
点转动不仅是一切用球铰联结的机器部件 运动的抽象,也是天体、飞机船舶、航天器 等各种自由运动物体的普遍运动形式。
• 10.1 刚体的定点运动 • 10.1.1 刚体的有限转动
１．刚体有限转动定理
cos ,
cos
a13 sin sin
a21 sin cos cos sin cos a22 sin sin cos cos cos a23 cos sin
a31 sin sin
a32 cos sin
a33 cos
（10-17a） （10-17b）
i1
k0 i1
i0 j1 j0 j1 k0 j1
i0 k1
j0
k1
k0 k1
（10-4）
p(1) p(0) Ap(1)
(b)
(A E) p(1) 0
(10-5)
其中 E 为三阶单位阵。可以证明 det(A E) 0 ，
因此齐次代数方程组（10-5）有非零解。
第10章 刚体的定点运动和一般运动
刚体运动时,如体内只有一点相对定参考系 保持不动,则此运动称为刚体的定点运动.
研究表明，刚体的定点运动是一种转动，因此刚 体的定点运动也可以称为定点转动。
刚体定点转动是比定轴转动更为普遍的
运动,后者可看作是定点转动的一种特例。
也可以认为定点转动是刚体绕若干根汇交 于一点的轴转动的复合运动.在不受约束的
，同时也就把 B 移到 B 。换句话说，点O 固定的刚体的
运动是以O 为轴的转动。因此，刚体的定点运动也可以
称为定点转动。刚体做定点转动时，若转角为有限值，则称为
有限转动。刚体只要绕O 轴一次转过 角后即到达新位置。 从而证明以下欧拉有限转动定理：
欧拉定理：刚体绕定点O 的任意有限转动可由绕点 O 的某根轴的一次有限转动实现。
1 a22 (1 p22 )(1 cos)
(f2)
1 a33 (1 p32 )(1 cos)
(f3)
3
以上三式相加，利用 pi2 1 ，即导出式（8-6）。□
i 1
3 有限转动次序的不可交换性
如刚体绕点 O作一系列有限转动，根据欧拉定理，它完全 等效于绕过点 O 且固定于刚体的各一次转动轴的一系列转动。
当刚体位置有改变时， A 和 B 分别变到 A 和 B 。 S 运动到 S ， AB 的新位置为 AB 。既然任意两点间的 距离不变， A 和 B 必在同一球面上。作大圆弧连接 A 和 A ，作大圆弧连接 B 和 B ，分别作 AA 和 BB 的垂直平分 大圆面。 此二平面的交线通过点 O 且与球面交于点 ， 夹角为 。球面 AB 和 AB 由于对应各边的弧长相等（
• (iii)再转动J后：r J r Jr J r 。
J r Jr r r
(k)
Jr J r r r
(l)
r r r r
即
J r Jr Jr J r
即
J Jr J J r
2.瞬时角位移矢量
J p
叫做角位移。
PP PM
PM r sin
PP r sin
或
r r J sin
即
r J r
（10-7）
(h) (i) （10-8） (j) （10-9）
• (i)转动前：r ；
• (ii)转动 J 后： r J r ；
将每次转动后的连体基位置相对定参考系固定而定义一系列中 间坐标系，刚体历次转动前后的位置关系由中间坐标系之间的 方向余弦矩阵确定。由于矩阵乘法不存在交换律，故当转动次 序改变时，即使绕各转动轴的角度一一相同，最终到达的位置 却不相同。其原因在于前次转动改变了固结于刚体的后续转动 轴在空间中的位置。因此一系列转动的合成不仅取决于各次转 动轴在刚体内的位置和转过的角度，而且与转动的顺序有关。
dρ dt
ω
dρ dt
d dt
ω
ρ
ω
ω
ρ
#利用式(10-24)。
d2 ρ dt 2
ω
dρ dt
dω dt
ρ
ω
dρ dt
ω
ω
ρ
#展开。
dω dt
ρ
ωω
ρ
d2 ρ dt 2
2ω
dρ dt
#利用(a)式，合并整理。
α
ρ
ω
(10-23b) (10-23c) (10-24)
(a) 矢量的绝对导数和相对导数 (b) 牵连运动为定点转动参照系
图10-10点在定点运动参考系中的合成运动
10.3.2点在定点运动参考系中的速度合成
rρ
dr dρ dρ ω ρ dt dt dt
ve ω ρ
vr
dρ dt
4. 刚体内点的速度和加速度
(a)
(b)
图10-７定点转动刚体上点速度和加速度
v dω ω r dt
（10-13）
ω 称为刚体的角速度。 ω 是时间的矢量函数，如为已知，我们就可以求出任何时刻
刚体内任何一点的线速度v 。
线加速度
a abp aoc αr ωωr α p p ， aoc ω r ω2r
当刚体转动前后连体基之间的方向余弦矩阵 A 给定以后， 有限转动轴的方向余弦 p1, p2 , p3 即可由方程组（10-5）解
出。根据线性代数理论，解出的 p(1) 也就是方向余弦矩阵
A 的本征向量。
arccos
1 2
(trA
1)
证明： 几何关系： AB sin
（10-6） (c1)
B0B 2sin 2 2AB sin 2
(c2)
sin2 sin2 sin2
(d)
2
2
利用半角公式，并代入以下方向余弦符号：
a11 i0 , i1 cos p1 cos
(e)
导出
1 a11 (1 p12 )(1 cos)
(f1)
依此类推，可导出
（10-25） （10-26） （10-27） （10-28）
10.3.3点在定点运动参考系中的加速度合成
α dω dω ω ω dω
(a)
dt dt
dt
d2r dt 2
d dt
dρ dt
d dt
ω
ρ
#将式（10-26）对时间求导。
d dt
结论，有限角位移不是矢量。
10.1.2 刚体的瞬时转动
1.无限小转动
转动瞬轴 定转动瞬轴迹面和动转动瞬轴迹面
刚体定点转动时，若转过的角度极小以至可视作无限 小量时，称为无限小转动。 根据欧拉定理，刚体的任 意无限小转动完全等效于绕瞬时转动轴的无限小转 动。
图10-5 转动瞬轴迹面
图10-6绕瞬轴无限小转动角位移矢量
ω
ρ
d2 dt
ρ
2
2ω
vr
(b)
d2r dt 2
α
ρ ωω
ρ
d2 ρ dt 2
2ω vr
牵连加速度
ae α ρ ωω ρ
ar
d2 ρ dt 2
（10-29）
（10-30） （10-31）
ac 2ω vr
（10-32）
将式（10-29），（10-30），（10-31）和（10-32)代入式（8-3b），导出（8-24）。
x1
x1
y1
A2
y2
，
z
x1
x
y2
，
z z
cos sin 0
A1
sin
cos
0
0
0 1
1 0
0
A2 0
cos
sin
AB AB 是由于刚体的任意两点间的距离不变， A A
是因为 在 AA 的垂直平分大圆上，同理， B B ），因而是全等形。这样 AB AB。这式两边同加上 AB，就给出
AA BB
(a)
就是说，以直线 O 为轴，转动角度 AA 把 A 移到 A
0 sin cos
cos sin 0
A3
sin
cos
0
0
0 1
（10-16a） （10-16b） （10-16c）
A A1 A2 A3
a11 cos cos sin sin cos
a12
cos
sin
sin
x csc sin y csc cos
x cos y sin
x cot sin y cot cos z
10.3点在定点运动参考系中运动的合成
10.3.1 矢量相对运动坐标系的导数
ρ xi y j zk
dρ dx i dy
（10-14a） （10-14b）
上式中的 aoc ωω r 称为向轴加速度，它和质点到
转动瞬轴的垂线相合，可以写为2R ，这里 R 是 P 点到ω 的垂直距离 R OP 。abp α r 则叫转动加速度。令 ω p
，那么 α α1 α2 ，其中矢量 α1 p 沿着瞬时转动轴，矢量 α2 p 垂直瞬时转动轴。矢量 α1 刻画了 ω大小的变化，而矢量 α2 刻画了 ω 方向的变化。如果瞬时转动轴以角速度 Ω 绕 O
dt dt dt
j dz
dt
k
x
di dt
y
dj dt
z
dk dt
di ω i dt
（10-20a） （10-20b） （10-20c）
（10-21） (10-22) (10-23a)
dj ω j dt
dk ω k dt dρ dρ ω ρ dt dt
10.2.2欧拉运动学方程
ω xi y j zk ω k0 i1 k2
x sin sin cos y sin cos sin z cos
（10-18a） （10-18b）
（10-19a） （10-19b） （10-19c）
故
J J J J
证明了无限小转动时角位移 J是一个矢量。
(m) (o)
(p)
（10-10）
3.角速度矢量
lim J dJ ω t0 t dt
ω
lim
t 0
t
p
p
瞬时角加速度
α lim ω ω t0 t
（10-11a） （10-11b） （10-12）
转动，则有 α2 Ω ω
10.2 欧拉角
10.2.1欧拉角
刚体的定点转动可以分解成为三个刚体定轴转动相加。
(a)
(b)
图10-8地球绕地心的转动方位
欧拉角 节线 进动角 章动角 自转角
(a)
(b)
图10-9欧拉角
x1
A1
y1
，
为表明刚体在定点转动中的位置，通常在转动轴上画一个箭号， 其长度等于刚体所转过的角度 ， 其指向与刚体的转向成右手 螺旋关系，这种箭号叫作角位移。
AB B A (g)
值得注意的是刚体有限转动中两个角位移的相加次序不可 交换。这可用一个实例来加以说明。在图10-3和图10-4中，
长方体按不同顺序先绕 z轴、后绕 x轴或先绕 x轴、后绕 z轴各转过 90后，最终到达的位置截然不同！
可以证明，定点运动是一种转动，转动轴通过该定点。 证明：以定点 O 为球心作任意半径的球面（图10-1）。
刚体与球面的截面 S 随同刚体的定点运动而沿 球面运动。在刚性截面 S 上任取两点 A 和 B ， 作连接两点的大圆弧 AB ，刚体的位置由 AB 的位置（和定点O 一起）完全确定 。
图10-1 刚体的有限转动
方向余弦 p1, p2, p3 应满足以下关系式：
p12 p22 p33 1
（10-1）
图10-2 有限转动角的确定
2有限转动轴位置和有限转动角
p e0T p(0) e1T p1
（10-2）
p(0) Ap(1)
（10-3）
i0 i1
A
e0
e1T
j0
点转动不仅是一切用球铰联结的机器部件 运动的抽象,也是天体、飞机船舶、航天器 等各种自由运动物体的普遍运动形式。
• 10.1 刚体的定点运动 • 10.1.1 刚体的有限转动
１．刚体有限转动定理
cos ,
cos
a13 sin sin
a21 sin cos cos sin cos a22 sin sin cos cos cos a23 cos sin
a31 sin sin
a32 cos sin
a33 cos
（10-17a） （10-17b）
i1
k0 i1
i0 j1 j0 j1 k0 j1
i0 k1
j0
k1
k0 k1
（10-4）
p(1) p(0) Ap(1)
(b)
(A E) p(1) 0
(10-5)
其中 E 为三阶单位阵。可以证明 det(A E) 0 ，
因此齐次代数方程组（10-5）有非零解。
第10章 刚体的定点运动和一般运动
刚体运动时,如体内只有一点相对定参考系 保持不动,则此运动称为刚体的定点运动.
研究表明，刚体的定点运动是一种转动，因此刚 体的定点运动也可以称为定点转动。
刚体定点转动是比定轴转动更为普遍的
运动,后者可看作是定点转动的一种特例。
也可以认为定点转动是刚体绕若干根汇交 于一点的轴转动的复合运动.在不受约束的
，同时也就把 B 移到 B 。换句话说，点O 固定的刚体的
运动是以O 为轴的转动。因此，刚体的定点运动也可以
称为定点转动。刚体做定点转动时，若转角为有限值，则称为
有限转动。刚体只要绕O 轴一次转过 角后即到达新位置。 从而证明以下欧拉有限转动定理：
欧拉定理：刚体绕定点O 的任意有限转动可由绕点 O 的某根轴的一次有限转动实现。
1 a22 (1 p22 )(1 cos)
(f2)
1 a33 (1 p32 )(1 cos)
(f3)
3
以上三式相加，利用 pi2 1 ，即导出式（8-6）。□
i 1
3 有限转动次序的不可交换性
如刚体绕点 O作一系列有限转动，根据欧拉定理，它完全 等效于绕过点 O 且固定于刚体的各一次转动轴的一系列转动。
当刚体位置有改变时， A 和 B 分别变到 A 和 B 。 S 运动到 S ， AB 的新位置为 AB 。既然任意两点间的 距离不变， A 和 B 必在同一球面上。作大圆弧连接 A 和 A ，作大圆弧连接 B 和 B ，分别作 AA 和 BB 的垂直平分 大圆面。 此二平面的交线通过点 O 且与球面交于点 ， 夹角为 。球面 AB 和 AB 由于对应各边的弧长相等（
• (iii)再转动J后：r J r Jr J r 。
J r Jr r r
(k)
Jr J r r r
(l)
r r r r
即
J r Jr Jr J r
即
J Jr J J r
2.瞬时角位移矢量
J p
叫做角位移。
PP PM
PM r sin
PP r sin
或
r r J sin
即
r J r
（10-7）
(h) (i) （10-8） (j) （10-9）
• (i)转动前：r ；
• (ii)转动 J 后： r J r ；
将每次转动后的连体基位置相对定参考系固定而定义一系列中 间坐标系，刚体历次转动前后的位置关系由中间坐标系之间的 方向余弦矩阵确定。由于矩阵乘法不存在交换律，故当转动次 序改变时，即使绕各转动轴的角度一一相同，最终到达的位置 却不相同。其原因在于前次转动改变了固结于刚体的后续转动 轴在空间中的位置。因此一系列转动的合成不仅取决于各次转 动轴在刚体内的位置和转过的角度，而且与转动的顺序有关。
dρ dt
ω
dρ dt
d dt
ω
ρ
ω
ω
ρ
#利用式(10-24)。
d2 ρ dt 2
ω
dρ dt
dω dt
ρ
ω
dρ dt
ω
ω
ρ
#展开。
dω dt
ρ
ωω
ρ
d2 ρ dt 2
2ω
dρ dt
#利用(a)式，合并整理。
α
ρ
ω
(10-23b) (10-23c) (10-24)
(a) 矢量的绝对导数和相对导数 (b) 牵连运动为定点转动参照系
图10-10点在定点运动参考系中的合成运动
10.3.2点在定点运动参考系中的速度合成
rρ
dr dρ dρ ω ρ dt dt dt
ve ω ρ
vr
dρ dt
4. 刚体内点的速度和加速度
(a)
(b)
图10-７定点转动刚体上点速度和加速度
v dω ω r dt
（10-13）
ω 称为刚体的角速度。 ω 是时间的矢量函数，如为已知，我们就可以求出任何时刻
刚体内任何一点的线速度v 。
线加速度
a abp aoc αr ωωr α p p ， aoc ω r ω2r
当刚体转动前后连体基之间的方向余弦矩阵 A 给定以后， 有限转动轴的方向余弦 p1, p2 , p3 即可由方程组（10-5）解
出。根据线性代数理论，解出的 p(1) 也就是方向余弦矩阵
A 的本征向量。
arccos
1 2
(trA
1)
证明： 几何关系： AB sin
（10-6） (c1)
B0B 2sin 2 2AB sin 2
(c2)
sin2 sin2 sin2
(d)
2
2
利用半角公式，并代入以下方向余弦符号：
a11 i0 , i1 cos p1 cos
(e)
导出
1 a11 (1 p12 )(1 cos)
(f1)
依此类推，可导出
（10-25） （10-26） （10-27） （10-28）
10.3.3点在定点运动参考系中的加速度合成
α dω dω ω ω dω
(a)
dt dt
dt
d2r dt 2
d dt
dρ dt
d dt
ω
ρ
#将式（10-26）对时间求导。
d dt
结论，有限角位移不是矢量。
10.1.2 刚体的瞬时转动
1.无限小转动
转动瞬轴 定转动瞬轴迹面和动转动瞬轴迹面
刚体定点转动时，若转过的角度极小以至可视作无限 小量时，称为无限小转动。 根据欧拉定理，刚体的任 意无限小转动完全等效于绕瞬时转动轴的无限小转 动。
图10-5 转动瞬轴迹面
图10-6绕瞬轴无限小转动角位移矢量
ω
ρ
d2 dt
ρ
2
2ω
vr
(b)
d2r dt 2
α
ρ ωω
ρ
d2 ρ dt 2
2ω vr
牵连加速度
ae α ρ ωω ρ
ar
d2 ρ dt 2
（10-29）
（10-30） （10-31）
ac 2ω vr
（10-32）
将式（10-29），（10-30），（10-31）和（10-32)代入式（8-3b），导出（8-24）。
x1
x1
y1
A2
y2
，
z
x1
x
y2
，
z z
cos sin 0
A1
sin
cos
0
0
0 1
1 0
0
A2 0
cos
sin
AB AB 是由于刚体的任意两点间的距离不变， A A
是因为 在 AA 的垂直平分大圆上，同理， B B ），因而是全等形。这样 AB AB。这式两边同加上 AB，就给出
AA BB
(a)
就是说，以直线 O 为轴，转动角度 AA 把 A 移到 A
0 sin cos
cos sin 0
A3
sin
cos
0
0
0 1
（10-16a） （10-16b） （10-16c）
A A1 A2 A3
a11 cos cos sin sin cos
a12
cos
sin
sin
x csc sin y csc cos
x cos y sin
x cot sin y cot cos z
10.3点在定点运动参考系中运动的合成
10.3.1 矢量相对运动坐标系的导数
ρ xi y j zk
dρ dx i dy
（10-14a） （10-14b）
上式中的 aoc ωω r 称为向轴加速度，它和质点到
转动瞬轴的垂线相合，可以写为2R ，这里 R 是 P 点到ω 的垂直距离 R OP 。abp α r 则叫转动加速度。令 ω p
，那么 α α1 α2 ，其中矢量 α1 p 沿着瞬时转动轴，矢量 α2 p 垂直瞬时转动轴。矢量 α1 刻画了 ω大小的变化，而矢量 α2 刻画了 ω 方向的变化。如果瞬时转动轴以角速度 Ω 绕 O
dt dt dt
j dz
dt
k
x
di dt
y
dj dt
z
dk dt
di ω i dt
（10-20a） （10-20b） （10-20c）
（10-21） (10-22) (10-23a)
dj ω j dt
dk ω k dt dρ dρ ω ρ dt dt
10.2.2欧拉运动学方程
ω xi y j zk ω k0 i1 k2
x sin sin cos y sin cos sin z cos
（10-18a） （10-18b）
（10-19a） （10-19b） （10-19c）
故
J J J J
证明了无限小转动时角位移 J是一个矢量。
(m) (o)
(p)
（10-10）
3.角速度矢量
lim J dJ ω t0 t dt
ω
lim
t 0
t
p
p
瞬时角加速度
α lim ω ω t0 t
（10-11a） （10-11b） （10-12）
转动，则有 α2 Ω ω
10.2 欧拉角
10.2.1欧拉角
刚体的定点转动可以分解成为三个刚体定轴转动相加。
(a)
(b)
图10-8地球绕地心的转动方位
欧拉角 节线 进动角 章动角 自转角
(a)
(b)
图10-9欧拉角
x1
A1
y1
，
为表明刚体在定点转动中的位置，通常在转动轴上画一个箭号， 其长度等于刚体所转过的角度 ， 其指向与刚体的转向成右手 螺旋关系，这种箭号叫作角位移。
AB B A (g)
值得注意的是刚体有限转动中两个角位移的相加次序不可 交换。这可用一个实例来加以说明。在图10-3和图10-4中，
长方体按不同顺序先绕 z轴、后绕 x轴或先绕 x轴、后绕 z轴各转过 90后，最终到达的位置截然不同！
可以证明，定点运动是一种转动，转动轴通过该定点。 证明：以定点 O 为球心作任意半径的球面（图10-1）。
刚体与球面的截面 S 随同刚体的定点运动而沿 球面运动。在刚性截面 S 上任取两点 A 和 B ， 作连接两点的大圆弧 AB ，刚体的位置由 AB 的位置（和定点O 一起）完全确定 。
图10-1 刚体的有限转动
方向余弦 p1, p2, p3 应满足以下关系式：
p12 p22 p33 1
（10-1）
图10-2 有限转动角的确定
2有限转动轴位置和有限转动角
p e0T p(0) e1T p1
（10-2）
p(0) Ap(1)
（10-3）
i0 i1
A
e0
e1T
j0