四川省泸州市2019-2020学年高一下期末复习检测数学试题含解析

四川省泸州市2019-2020学年高一下期末复习检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某学校礼堂有30排座位，每排有20个座位，一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的30名学生，这里运用的抽样方法是（ ） A ．抽签法 B ．随机数法
C ．系统抽样
D ．分层抽样
【答案】C 【解析】
抽30名学生分了30组（每排为一组），每组抽一个，符合系统抽样的定义 故选C
2
．函数2()sin 2f x x x =+-()cos(2)2 3 (0)6
g x m x m m π
=-
-+>，若对任意
1[0,]4x π∈，存在2[0,]4
x π
∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．4(1,)3
B ．2(,1]3
C ．2
[,1]3 D ．4[1,]3
【答案】D 【解析】
222221f x sin x x sin x cos x =+-=+-（））
1222222223
sin x x sin x x sin x π
==+=+（）（）
， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，552[]21[12]3366min x f x sin f x ππππ
+∈∴==∴∈，，（），（），， 对于22306
g x mcos x m m π
=--+（）（）（＞），
2[]2[]36662m x mcos x m ππ
ππ-
∈--∈，，（），，3
[33]2
g x m m ∴∈-+-（），，
∵对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x =成立，3
31232
m m ⎧-+≥⎪∴⎨⎪-≤⎩ ，解得实数m 的
取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． 故选D ．
【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，
3．在ABC 中，已知30A ∠=︒，3AB =，2BC =，则ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不能确定
【答案】A 【解析】 【分析】
由正弦定理得出3
sin 4
C =，从而得出C 可能为钝角或锐角，分类讨论这两种情况，结合正弦函数的单调性即可判断
. 【详解】 由正弦定理得
233
sin sin 30sin 4
C C ︒=⇒=
C ∴可能为钝角或锐角
当C 为钝角时，31
sin sin150,15042
o o C C =
>=<,符合题意，所以ABC 为钝角三角形； 当C 为锐角时，由于sin y x =在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增，3
sin 60sin 34
C ︒
=
>= 则60C <︒，所以(
)180306090B ︒
︒︒
︒
>-+=，即
ABC 为钝角三角形
综上，ABC 为钝角三角形 故选：A 【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理判断三角形的形状，属于中档题.
4．设变量,x y 满足约束条件2
2390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）
A ．7
B ．5
C ．3
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，表示的可行域，如图，
由20 2390x y x y +-=⎧⎨
--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩
， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，
由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．
814
π
B ．16π
C ．9π
D ．
274
π
【答案】A 【解析】 【详解】
正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO 中，12AO =
，
由勾股定理()2
224R R =+-得94
R =， ∴球的表面积81
4
S π=
，故选A.
考点：球的体积和表面积
6．设,,a b c 为ABC 中的三边长，且1a b c ++=，则2224a b c abc +++的取值范围是（ ） A ．131,272⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．131,272⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
C ．131,272⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．131,272⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
由222
+,,4()a b c abc f a b c ++=，则(,,2()4)12ab c a bc f c a a b b --++=，再根据三角形边长可以证
得()1,,2f a b c <，再利用不等式和已知可得2
2(1)()24
a b c ab +-≤=
，进而得到3211
(,,)22
f a b c c c ≥-+，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．
【详解】
由题意，记2
2
2
+,,4()a b c abc f a b c ++=，又由1a b c ++=，
则2
22
122()42()22(1,))(,ab c a b abc c ab a b f a b ab c c =--++=+--++
222111111
2[]24()()()222222
c ab a b c a b =+--+=---+，
又,,a b c 为△ABC 的三边长，
所以120,120,120a b c ->->->，所以()1
,,2
f a b c <， 另一方面(),,12(12)2(1)f a b c ab c c c =----，
由于0,0a b >>，所以2
2(1)()24
a b c ab +-≤=
， 又120c ->，
所以232(1)11
(,,)12(12)2(1)422
c f a b c c c c c c -≥-⨯---=-+，
不妨设a b c ≥≥，且,,a b c 为ABC ∆的三边长，所以1
03
c <≤． 令3
211
22y c c =-
+，则23(31)0y c c c c '=-=-≤， 当13
c =时，可得2min 111113()2723227y =-+=，从而()131
,,272f a b c ≤<， 当且仅当1
3
a b c ===时取等号．
本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题． 7．方程tan 2x =的解集为（ ） A ．{}|2πarctan 2,x x k k =+∈Z B ．{}|2πarctan 2,x x k k =±∈Z C ．{}|πarctan 2,x x k k =+∈Z D ．(){
}
|π1arctan 2,k
x x k k =+-∈Z 【答案】C 【解析】 【分析】
利用反三角函数的定义以及正切函数的周期为k π，即可得到原方程的解. 【详解】 由tan 2x =，
根据正切函数图像以及周期可知：
arctan 2x k π=+，
故选：C 【点睛】
本题考查了反三角函数的定义以及正切函数的性质，需熟记正切函数的图像与性质，属于基础题. 8．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ） A ．
118
B ．
19
C ．
16
D ．
112
【答案】B 【解析】 【详解】
试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B ．
考点：概率问题
9．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B =,且2b ac =，则
a c
b
+的值为( ) A ．2
B 2
C ．
22
D ．4
【分析】
由正弦定理，化简求得sin 0B B -=，解得3
B π
=，再由余弦定理，求得()2
24b a c =+，即可求
解，得到答案． 【详解】
在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B =,且2b ac =，
由正弦定理得sin sin cos 0B A A B -=， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，
所以sin 0B B =，即tan B =3
B π
=
，
由余弦定理得2
2
2
2
2
2
2
2
2cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()2
24b a c =+，解得2a c
b
+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
10．用数学归纳法证明32331n n n >++这一不等式时，应注意n 必须为（ ） A ．*n N ∈ B ．*n N ∈，2n ≥
C ．*n N ∈，3n ≥
D ．*n N ∈，4n ≥
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意验证1n =，2n =，3n =时，不等式不成立，当4n =时，不等式成立，即可得出答案. 【详解】
解：当1n =，2n =，3n =时，显然不等式不成立， 当4n =时，6461>不等式成立，
故用数学归纳法证明32331n n n >++这一不等式时，应注意n 必须为4n ≥，*n N ∈ 故选：D . 【点睛】
本题考查数学归纳法的应用，属于基础题．
11．若复数i
2i
m z +=
-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．2- B ．12
-
C ．
12
D ．2
【答案】C 【解析】
()()i 2i i 211
i 2i 555
m m m m z +++-+=
==+-，且z 是纯虚数，2110,52m m -∴==，故选C. 12．函数y=2x sin2x 的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π
(,π)2上的符号，即可判断选择.
详解：令()2sin 2x
f x x =， 因为,()2
sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，
所以()2sin 2x
f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π
(,π)2
x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 二、填空题：本题共4小题
13．方程()()
3cos 1cos 30x x x -=的解集是___________ 【答案】1
{arccos
23x x k π=±+或,}6
x k k Z ππ=-+∈
【分析】
方程的根等价于3cos 10x -=或cos 3sin 0x x +=，分别求两个三角方程的根可得答案. 【详解】
方程()()
3cos 1cos 3sin 0x x x -+=⇔3cos 10x -=或cos 3sin 0x x +=， 所以1cos 3x =
或3tan 3
x =-， 所以1arccos 23x k π=±+或,6
x k k Z π
π=-+∈. 故答案为：1
{arccos 23x x k π=±+或,}6
x k k Z ππ=-+∈.
【点睛】
本题考查三角方程的求解，求解时可利用单位圆中的三角函数线，注意终边相同角的表示，考查运算求解能力和数形结合思想的运用. 14．等差数列中，12318192024,78,a a a a a a ++=-++=则此数列的前
项和 _________.
【答案】180 【解析】
由181920123()7824102,173102,a a a a a a d ++-++=+=∴⨯=,
212,8,10d a a ∴==-∴=-,可知202019
20(10)21802
S ⨯=⨯-+
⨯=. 15．已知向量1,,2,1a x b
，若a b ⊥，则x =_______
【答案】2 【解析】 【分析】
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得x 的值． 【详解】 因为向量 1,,2,1a x b
，若 a b ⊥，∴20a b x ⋅=-=， 则2x =.
故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查两个向量垂直的坐标运算，属于基础题．
16．已知数列{}n a 中，其中1
991
99a =，1
1()a
n n a a -=，那么99100log a =________
【答案】1 【解析】
由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199
991991
log 9999
log a ==
为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解． 【详解】
由11()a
n n a a -=，得991991log log n n a a a -=，
∴1
99991991
l 9og log 9n
n a a a -==，
则数列99{log }n a 是以199
991991
log 99
99
log a ==为首项，以19999为公比的等比数列， ∴1
999999100
1
log (99)199
a =⋅=． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 为等差数列，22a =，66a =，数列{}n b 为等比数列，24b a =，公比2q ．
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b -的前n 项和n S ．
【答案】（1）n a n =，2n
n b =．（2）n S 1
(1)222
n n n ++=
-+ 【解析】 【分析】
（1）先求出等差数列的首项和公差，求出等比数列的首项即得数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）利用分组求和求数列{}n n a b -的前n 项和n S ． 【详解】 （1）由题得111
+=2
,1=56n a d a d a n a d ⎧∴==∴⎨
+=⎩，.
由题得21142,2,2n
n b b b b ==⨯∴=∴=. （2）由题得2n
n n a b n -=-，
所以数列{}n n a b -的前n 项和n S 1
(1)2(12)(1)222122
n n n n n n ++-+=-=-+-.
本题主要考查等差等比数列的通项的基本量的计算，考查数列通项的求法和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．为了了解四川省各景点在大众中的熟知度，随机对15~65岁的人群抽样了n人，回答问题“四川省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如表．
回答正确的人数
组号分组回答正确的人数
占本组的频率
15,25a0.5
第1组[)
25,3518x
第2组[)
35,45b0.9
第3组[)
45,5590.36
第4组[)
55,653y
第5组[]
a b x y的值；
（1）分别求出,,,
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（3）通过直方图求出年龄的众数，平均数．
【答案】（1）5,27,0.9,0.2
====;（2）第2组抽取2人，第3组抽取3人，第4组抽取1人;（3）40,41.5．
a b x y
【解析】
【分析】
n=．由（1）由频率分布表得第四组人数为25人，由频率分布直方图得第四组的频率为0.25，从而求出100
此求出各组人数，进而能求出a，b，x，y的值．
（2）由第2，3，4组回答正确的人分别有18、27、9人，从中用分层抽样的方法抽取6人，由此能求出第2，3，4组每组各抽取多少人．
（3）由频率分布直方图能求出年龄的众数，平均数．
【详解】
（1）由频率分布表得第四组人数为：9250.36
=人， 由频率分布直方图得第四组的频率为0.025100.2⨯=，
251000,25
n ∴==． ∴第一组抽取的人数为：1000.011010⨯⨯=人，
第二组抽取的人数为：1000.021020⨯⨯=人，
第三组抽取的人数为：1000.031030⨯⨯=人，
第五组抽取的人数为：1000.151015⨯⨯=人，
100.55300.927180.92030.215a b x y =⨯=⎧⎪=⨯=⎪⎪∴⎨==⎪⎪==⎪⎩
． （2）第2，3，4组回答正确的人分别有18、27、9人，
从中用分层抽样的方法抽取6人，
∴第2组抽取：186218279⨯
=++人， 第3组抽取：276318279⨯
=++人， 第4组抽取：96118279
⨯=++人． （3）由频率分布直方图得： 年龄的众数为：3545402
+=， 年龄的平均数为：
200.01010300.02010400.03010500.02510600.0150.0151041.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯=
【点睛】
本题考查频率、频数、众数、平均数的求法，考查分层抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．
19．在数列{}n a 中，112a =，43a =，且满足212n n n a a a +++=，*n N ∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()
121n n b n a =-，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）()*153n a n n N
=-=；（2）()*11114612n T n N n n ⎛⎫=-+∈ ⎪++⎝⎭
. 【解析】
【分析】 （1）由题意知，数列{}n a 是等差数列，可设该数列的公差为d ，根据题中条件列方程解出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式；
（2）先求出数列{}n b 的通项公式，并将该数列的通项裂项，然后利用裂项法求出数列{}n b 的前n 项和n T .
【详解】
（1）对任意的*n N ∈，212n n n a a a +++=，则数列{}n a 是等差数列，设该数列的公差为d ， 则4131233a a d d =+=+=，解得3d =-，
()()111231153n a a n d n n =+-=--=-；
（2）()()()()11111112136326221153n n b n a n n n n n n n n ⎛⎫=====- ⎪-+++⋅--⎡⎤⎝⎭⎣⎦
， 因此，1111111111116362463562n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11111111162124612n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉等差数列的几种判断方法，同时也要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.
20．已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝3，设m =3-a 2b ，n =2k +a b ． （Ⅰ）若m ⊥n ，求实数k 的值；
（Ⅱ）当k ＝0时，求m 与n 的夹角θ的大小．
【答案】（Ⅰ）
43
（Ⅱ）6π 【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用m ⊥n ，结合向量的数量积的运算公式，得到关于k 的方程，即可求解；
（Ⅱ）当0k =时，利用向量的数量积的运算公式，以及向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意，向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝3， 所以12332a b ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
，24a =，29=b ， 又由32,2m a b n a kb =-=+.
若m ⊥n ，可得226(34)2243(34)180m n a k a b kb k k ⋅=+-⋅-=---=，
解得k 43
=． （Ⅱ）当k ＝0时，32,2m a b n a =-=，则26436m n a a b ⋅=-⋅=． 因为2||(32)63,||4m a b n =-==， 由向量的夹角公式，可得3cos ||||2m n m n θ⋅==， 又因为0≤θ≤π，∴6πθ=
，所以m 与n 的夹角θ的大小为6π． 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21．已知数列{}n a 满足()2*12323n a a a na n n +++
+=∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()*1n n b n na =∈N ，n T 为数列{}1n n b b +的前n 项和，求证：12
n T < 【答案】（1）21n n a n
-=
．（2）证明见解析 【解析】
【分析】 （1）由()212323n a a a na n n ++++=∈*N ，
可得当2n ≥时，()()212312311n a a a n a n -+++
+-=-，两式相减可求数列的通项公式； （2）将n a 带入()*1n n b n na =
∈N ，再计算1n n b b +，通过裂项相消计算n T ，即可证明出12n T <。

【详解】
（1）解：∵()212323n a a a na n n +++
+=∈*N ， ∴()()212312311n a a a n a n -++++-=-（2n ≥，*N n ∈）
，
两式相减得：21n na n =-，∴()212n n a n n -=
≥． 当1n =时，11a =，满足上式， ∴21n n a n
-=． （2）证明：由（1）知21n n a n -=
，∴1121n n b na n ==-， ∴()()11111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭
， ∴111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦ 11112212
n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭． 【点睛】
本题考查利用公式1n n n a S S -=-求解数列的通项公式及裂项相消求数列的前n 项和，属于基础题。

22．正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，侧棱长为x.
（1）求出其表面积S （x ）和体积V （x ）；
（2）设()()()
S x f x V x =，求出函数()f x 的定义域，并判断其单调性（无需证明）.
【答案】（1）()4S x =+()V x =
（2），()f x 是减函数. 【解析】
【分析】
（1）画出图形，分别求出四棱锥的高，及侧面的高的表达式，即可求出表面积与体积的表达式；（2）结合表达式，可求出x 的范围，即定义域，然后判断其为减函数.
【详解】
（1）过点S 作平面ABCD 的垂线，垂足为O ，取AB 的中点E ，连结,OE SE ，
因为S ABCD -为正四棱锥，所以112
EO AD ==，1AE =，SE ==，
SO =
所以四棱锥的表面积为()1
442
S x AB SE AB BC =⨯⨯⋅+⋅=，
体积()13V x SO AB BC =⋅⋅=
（2）22
22()()(414312)3423x S x f x V x x x x -+-+=-=-=，2201020x x x >⎧⎪-≥⎨⎪->⎩
解得2x >， ()f x 是减函数.
【点睛】
本题考查了四棱锥的结构特征，考查了表面积与体积的计算，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.。