高考数学一轮复习 第二章函数2.1函数及其表示教学案 理

第二章 函数
2.1 函数及其表示
考纲要求
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用．
(1)函数的定义域、值域．
在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，__________叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，__________叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集．
(2)函数的三要素：__________、__________和__________．
3．函数的表示方法
表示函数的常用方法有__________、__________和__________．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________，其值域等于各段函数的值域的__________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
1．设f ，g 都是从A 到A
则f (g (3))等于( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．不存在
2．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )．
A ．f ：x →y ＝12
x B ．f ：x →y ＝13
x C ．f ：x →y ＝23
x D ．f ：x →y ＝x
3．下列各函数中，表示同一个函数的是( )．
A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x
B ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1)
C ．f (u )＝1＋u 1－u ，g (v )＝1＋v 1－v
D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2 4．(2012山东高考)函数f (x )＝1ln x ＋1
＋4－x 2的定义域为( )． A ．[－2,0)∪(0,2]
B ．(－1,0)∪(0,2]
C ．[－2,2]
D ．(－1,2]
5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x ，x ≤1，－x ，x >1，
若f (x )＝2，则x 等于( )． A ．log 32
B ．－2
C ．log 32或－2
D ．2
一、求简单函数的定义域、值域
【例1－1】(2012江苏高考)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为__________．
【例1－2】已知函数f (3－2x )的定义域为[－1,2]，求f (x )的定义域．
【例1－3】求下列函数的值域：
(1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[0,3]； (2)y ＝21
2x -；
(3)y ＝log 3x ＋log x 3－1.
方法提炼
1．求函数定义域的方法
(1)函数给 出的方式
确定定义域的方法 列表法 表中实数x 的集合
图象法 图象在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合
解析法 使解析式有意义的实数x 的集合
实际问题 有实际意义及使相应解析式有意义的x 的集合
(2)①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．
②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．
提醒：定义域必须写成集合或区间的形式．
2．求值域的方法
常见的求值域的方法有：①配方法；②换元法；③基本不等式法；④利用函数的单调性；⑤分离常数法；⑥数形结合法；⑦导数法等．
3．若两个函数的定义域与值域相同，它们不一定是同一函数，如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域都为R ，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．定义域和解析式相同的两个函数是同一个函数．
4．分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集；最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的；图象则是由各段上的图象合成的．
请做演练巩固提升1,4
二、求函数的解析式
【例2－1】若函数f (x )＝x ax ＋b
(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.
【例2－2】若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )．
【例2－3】已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋x 2.
(1)求x ＞0时，f (x )的解析式；
(2)若关于x 的方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，求a 的取值范围．
方法提炼
函数解析式的求法：
1．凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；
2．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
3．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
4．方程思想：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
提醒：因为函数的解析式相同、定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误．
请做演练巩固提升2
忽略分段函数中自变量的取值范围而致误
【典例】设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．
错解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .
因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －22－2b ＋c ＝c ，－12－b ＋c ＝－3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝－2. 所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2，x ≤0，2，x >0. 当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x 得x ＝－2或x ＝1.
当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2.
所以方程f (x )＝x 的解为：－2,1,2.
分析：(1)条件中f (－2)，f (0)，f (－1)所适合的解析式是f (x )＝x 2＋bx ＋c ，所以可
构建方程组求出b ，c 的值．(2)在方程f (x )＝x 中，f (x )用哪个解析式，要进行分类讨论．
正解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，
因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －22－2b ＋c ＝c ，－12－b ＋c ＝－3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝－2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x －2，x ≤0，2，x >0. 当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ，
得x ＝－2或x ＝1.由于x ＝1＞0，所以舍去．
当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2，
所以方程f (x )＝x 的解为－2,2.
答题指导：
1．对于分段函数问题，是高考的热点．在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件．
2．就本题而言，当x ≤0时，由f (x )＝x 得出两个x 值，但其中的x ＝1不符合要求，错解中没有舍去此值，因而导致了增解．分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件．
1．已知函数f (x )＝12＋x
＋(x －1)0的定义域为M ，g (x )＝ln(2－x )的值域为N ，则M ∩N ＝( )．
A ．{x |x ＞－2}
B ．{x |x ＜2}
C ．{x |－2＜x ＜2}
D ．{x |x ＞－2，且x ≠1}
2．已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝( )． A ．lg 1x B ．lg 1x －1
C ．lg 2x －1
D ．lg 1x －2
3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，
⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0，则f (f (－4))＝______.
4．设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数．若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[0,3]上的值域为__________．
5．对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ，a <
b ，b ，a ≥b ，函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ，－|x －1|＋2(x ∈R )的最大值为________．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．数集 集合 任意 数x 都有唯一确定
数f (x ) 任意 元素x 都有唯一确定 元素y
f ：A →B f ：A →B
2．(1)x 的取值范围A 函数值的集合{f (x )|x ∈A } (2)定义域 值域 对应关系
3．解析法 列表法 图象法
4．对应法则 并集 并集
基础自测
1．C 解析：由题中表格可知g (3)＝1，
∴f (g (3))＝f (1)＝3.故选C.
2．C 解析：依据函数的概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．
3．C 解析：选项A 和B 定义域不同，选项D 对应法则不同．
4．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ ln(x ＋1)≠0，x ＋1>0，
4－x 2≥0
得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x >－1，
－2≤x ≤2，
所以定义域为(－1,0)∪(0,2]．
5．A 解析：当x ≤1时，3x ＝2，
∴x ＝log 32；
当x ＞1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)．
∴x ＝log 32.
考点探究突破
【例1－1】(0，6] 解析：要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，则需⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2log 6x ≥0，x >0，解得0＜x ≤6，故f (x )的定义域为(0，6]． 【例1－2】解：用换元思想，令3－2x ＝t ，f (t )的定义域即为f (x )的定义域， ∴t ＝3－2x (x ∈[－1,2])．∴－1≤t ≤5.
故f (x )的定义域为[－1,5]．
【例1－3】解：(1)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[0,3]，
结合二次函数的图象，可知y ＝x 2＋2x 在区间[0,3]上是增函数，故当x ＝3时，y max ＝15；
当x ＝0时，y min ＝0.
故函数的值域为[0,15]．
(2)令x 2－1＝t ，则t ≥－1，原函数化为y ＝2t ，t ∈[－1，＋∞)．
结合y ＝2t 的单调性得y ＝2t ，t ∈[－1，＋∞)的值域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞. (3)原函数即为y ＝log 3x ＋1log 3x
－1. 当x ＞1时，log 3x ＞0，因此利用基本不等式得y ≥2－1＝1，
当log 3x ＝1log 3x
，即x ＝3时取“＝”； 当0＜x ＜1时，log 3x ＜0，
因此log 3x ＋log x 3
＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(－log 3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1log 3x ≤－2， ∴log 3x ＋1log 3x
－1≤－3， 当且仅当log 3x ＝1log 3x
， 即x ＝13
时取“＝”． 综上可知，y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
【例2－1】2x x ＋2 解析：由f (2)＝1得22a ＋b
＝1，即2a ＋b ＝2； 由f (x )＝x 得
x ax ＋b ＝x ， 变形得x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1ax ＋b －1＝0， 解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，
又∵方程有唯一解，
∴1－b a
＝0，解得b ＝1， 代入2a ＋b ＝2得a ＝12
， ∴f (x )＝2x x ＋2
. 【例2－2】解：∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，
得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.
即有⎩⎪⎨⎪⎧ 2f (x )－f (－x )＝x ＋1，2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.
解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x 3
＋1. 【例2－3】解：(1)任取x ＞0，则－x ＜0，
∴f (－x )＝－2x ＋(－x )2＝x 2－2x .
∵f (x )是奇函数，
∴f (x )＝－f (－x )＝2x －x 2.
故x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.
(2)∵方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，
∴－1＜2a 2＋a ＜1.
∴－1＜a ＜12
. 演练巩固提升
1．D 解析：∵M ＝{x |x ＞－2，且x ≠1}，N ＝R ，
∴M ∩N ＝M ＝{x |x ＞－2，且x ≠1}．
2．C 解析：令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1
， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1
， 故选C.
3．4 解析：∵f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，
∴f(f(－4))＝f(16)＝16＝4.
4．[－2,7] 解析：设x1∈[0,1]，f(x1)＝x1＋g(x1)∈[－2,5]．∵函数g(x)是以1为周期的函数，
∴当x2∈[1,2]时，f(x2)＝f(x1＋1)＝x1＋1＋g(x1)∈[－1,6]．当x3∈[2,3]时，f(x3)＝f(x1＋2)＝x1＋2＋g(x1)∈[0,7]．
综上可知，当x∈[0,3]时，f(x)∈[－2,7]．
5．1 解析：y＝f(x)是y＝1
2
x与y＝－|x－1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函
数的最大值为1.。