两角和与差的正弦余弦和正切公式市公开课一等奖省优质课获奖课件

两角差余弦公式
新知导学
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦
C(α－β)= cos αcos β ＋sin αsin β
任意角都成 cos(α－β)＝
立
温馨提示：公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名 函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
新知探究
题型探究
感悟提升
第2页
互动探究 探究点 当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β成立．那么 当α、β∈R时，cos(α－β)＝cos α＋cos β恒成立吗？
55，sin
β＝3
10 10 .
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝255× 1100＋ 55×31010＝ 22.
新知探究
题型探究
感悟提升
第13页
又sin α<sin β， ∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.
[规律方法] 解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理利 用公式并结合角范围，对所求解进行取舍，其关键步骤有两个： 一是求出所求角某种三角函数值，二是确定角范围，然后结合三 角函数图象就易求出角值．
cos
α2－β.然后利用两角差的余弦公式求cos
α＋β 2.
新知探究
题型探究
感悟提升
第8页
解 ∵α∈π2，π，β∈0，π2，
∴α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2，
∴sinα－β2＝
1－cos2α－β2＝
1－811＝4
9
5 .
cos α2－β＝
1－sin2α2－β
＝
1－49＝
5 3.
新知探究
2
解析 cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)
＝－(cos 45°cos 30°＋sin45°sin 30°)＝－
6＋ 4
2 .
答案 C
新知探究
题型探究
感悟提升
第22页
3．化简：cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝________.
＝
6＋ 4
2 .
新知探究
题型探究
感悟提升
第5页
(2)原式＝cos(15°－105°) ＝cos(－90°) ＝cos 90° ＝0. [规律方法] 利用两角差余弦公式求值普通思绪 (1)把非特殊角转化为特殊角和差，正用公式直接求解． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，结构两角差余弦公式右边 形式，然后逆用公式求值．
新知探究
题型探究
感悟提升
第24页
5．已知sin α＝－45，sin β＝153，且180°<α<270°，90°<β<180°， 求cos(α－β)．
解 因为sin α＝－45，180°<α<270°，所以cos α＝－35. 因为sin β＝153，90°<β<180°，所以cos β＝－1123. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－35×－1123＋－45×153 ＝3665－2605＝1665.
提示 不恒成立，如α＝π3，β＝π6时.
新知探究
题型探究
感悟提升
第3页
类型一 利用公式求值 【例1】 计算： (1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. [思绪探索] (1)可考虑将－15°改写成30°－45°，或者先利用诱导 公式cos(－α)＝cos α变形，再利用两角差余弦公式；(2)可逆用两 角差余弦公式来处理．
∴2β＝π，则β＝π2.
新知探究
题型探究
感悟提升
第16页
易错辨析 忽略隐含条件导致错误 【示例】 在△ABC中，sin(A＋B)＝23，cos B＝－34，求cos A的 值．
[错解] 由题意，得
sin B＝ 1－cos2B
＝
1－－342
＝ 47，
新知探究
题型探究
感悟提升
第17页
cos(A＋B)＝ 1－sin2A＋B
新知探究
题型探究
感悟提升
第25页
课堂小结 1．给式求值或给值求值问题，即由给出一些函数关系式(或一些
角三角函数值)，求另外一些角三角函数值，关键在于“变 式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式正 用、逆用、变形用，有时需利用拆角、拼角等技巧． 2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题， 求一个角值，可分以下三步进行： ①求角某一三角函数值；②确定角所在范围(找一个单调区间)； ③确定角值． 确定用所求角哪种三角函数值，要依据详细题目而定.
2 .
(2)原式＝cos[x－(x＋y)]＝cos(－y)＝cos y.
新知探究
题型探究
感悟提升
第7页
类型二 给值求值
【例2】 (2012·台州高一检测)设cos (α－β2)＝－19，sin α2－β＝
23，其中α∈π2，π，β∈0，π2，求cos
α＋β 2.
[思路探索] 解答本题可先用同角三角函数关系求sin α－β2 ，
新知探究
题型探究
感悟提升
第14页
【活学活用3】 已知cos(α－β)＝－1123，cos(α＋β)＝1123，且α－β ∈π2，π，α＋β∈32π，2π，求角β的值． 解 由α－β∈π2，π， 且cos(α－β)＝－1123， 得sin(α－β)＝153. 由α＋β∈32π，2π，
新知探究
题型探究
∵cos B＝－34<0，sin(A＋B)＝23，
∴π2<B<π，π2<A＋B<π，
∴sin B＝ 1－cos2B
＝
1－－342
＝ 47，
新知探究
题型探究
感悟提升2A＋B
＝－
1－232
＝－
5 3.
∴cos A＝cos[(A＋B)－B]
＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B
＝
1－232
＝ 35，
∴cos A＝cos[(A＋B)－B]
＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B
＝
35×－34＋23×
7 4
＝2
7－3 12
5 .
新知探究
题型探究
感悟提升
第18页
[错因分析] 该解法忽略了隐含条件，没有注意角的范围，导致
求值错误．在解题中应挖掘出π2<A＋B<π这个隐含条件． [正解] 在△ABC中，
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝
1 2
α＋β＋α－β，α＝12β＋α－β－α等．
新知探究
题型探究
感悟提升
第10页
【活学活用2】 已知cos
α＝
1 7
，cos(α＋β)＝－
11 14
，且α、β∈
0，π2，求cos β的值． 解 ∵α、β∈0，π2， ∴α＋β∈(0，π)．
题型探究
感悟提升
第9页
∴cos α＋2 β＝cosα－β2－α2－β ＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β
＝－19× 35＋495×23＝7275.
[规律方法] 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的 变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变
换是最基本的变换．常见的有：
＝－
35×－34＋23×
7 4
＝2
7＋3 12
5 .
[防范措施] 在应用公式时，要注意角的范围，特别在三角形
中，A＋B＋C＝π，A、B、C∈(0，π).
新知探究
题型探究
感悟提升
第20页
课堂达标
1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( )．
A.
3 2
B.12
C．－
3 2
D.－12
解析 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin
76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12. 答案 B
新知探究
题型探究
感悟提升
第21页
2．cos 165°等于( )．
A.12
C．－
6＋ 4
2
B.
3 2
D.－
6－ 4
新知探究
题型探究
感悟提升
第12页
类型三 已知三角函数值求角
【例3】 已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝ 1100，求α －β的值． [思绪探索] 本题主要考查两角差余弦公式综合应用．可先求出 cos(α－β)值，结合α－β范围，进而求出α－β值．
解 ∵α、β均为锐角，
∴sin
α＝
新知探究
题型探究
感悟提升
第6页
【活学活用1】 计算： (1)sin 75°； (2)sin xsin(x＋y)＋cos xcos(x＋y)．
解 (1)sin 75°＝cos°15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos30°＋sin
45°sin30°＝ 22× 23＋ 22×12＝
6＋ 4
新知探究
题型探究
感悟提升
第4页
解 (1)法一 原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
＝
23×
22＋12×
2 2
＝
6＋ 4
2 .
法二 原式＝cos 15°
＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝ 22× 23＋ 22×12
解析 原式＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝12.
答案
1 2
新知探究
题型探究
感悟提升
第23页
4．计算12sin
60°＋
3 2 cos
60°＝________.
解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°
＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝ 23.
答案
3 2
感悟提升
第15页
且cos(α＋β)＝1123，
得sin(α＋β)＝－153，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝1123×－1123＋－153×153＝－1.
又∵α－β∈π2，π，α＋β∈32π，2π，
∴2β∈π2，32π，
新知探究
题型探究
感悟提升
第26页
又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，
∴sin α＝ 1－cos2α＝473，
sin(α＋β)＝ 1－cos2α＋β＝5143.
新知探究
题型探究
感悟提升
第11页
又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5143×47 3 ＝12.