创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习 教师用书 小题综合限时练 文

小题综合限时练 文
限时练(一) (限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合P ＝{x |x 2
－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q ＝( ) A.[3，4)
B.(2，3]
C.(－1.2)
D.(－1，3]
解析 P ＝{x |x 2
－2x ≥3}＝{x |x ≤－1，或x ≥3}，Q ＝{x |2<x <4}，∴P ∩Q ＝{x |3≤x <4}＝[3，4]. 答案 A
2.下列命题中，是真命题的是( ) A.∃x 0∈R ，e x
0≤0 B.∀x ∈R ，2x ＞x 2
C.已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是a
b
＝－1 D.已知a ，b 为实数，则a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件
解析 ∵e x >0，∴A 错；当x ＝2时，2x ＝x 2
，B 错；a ＋b ＝0是a b
＝－1的必要不充分条件，C 错；由题意，D 正确. 答案 D
3.以下四个命题中：
①在回归分析中，可用相关指数R 2
的值判断模型的拟合效果，R 2
越大，模型的拟合效果越好； ②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
③若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为1，则2x 1，2x 2，2x 3，…，2x n 的方差为2；
④对分类变量x 与y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大.
其中真命题的个数为( ) A.1
B.2
C.3
D.4
解析 由相关指数R 2
越接近于1，模型的拟合效果越好知①正确；由相关系数r 的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强知②正确；③④错误. 答案 B
4.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5
2
，则C 的渐近线方程为( )
A.y ＝±1
4
x
B.y ＝±1
3
x
C.y ＝±1
2
x
D.y ＝±x
解析 e ＝c
a
＝
c 2a 2＝a 2＋b 2
a 2＝1＋
b 2a 2＝52，∴b a ＝12，∴
c 的渐近线方程为y ＝±12
x . 答案 C
5.设a ＝log 0.80.9，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9
，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <c
D.c <a <b
解析 因为0＝a ＝log 0.80.9<1，
b ＝log 1.10.9<0，
c ＝1.10.9>1，所以b <a <c .
答案 C
6.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－33
2，则向量a ，b 的夹角为( )
A.π6
B.π4
C.3π4
D.5π6
解析 因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－33
2，解得a ·b
＝
32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6
. 答案 A
7.将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π
4个单位，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )
的表达式可以是( ) A.f (x )＝－2sin x B.f (x )＝2sin x C.f (x )＝
2
2
sin 2x
D.f (x )＝
2
2
(sin 2x ＋cos 2x ) 解析 将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移
π4个单位，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，因为－sin 2x ＝－2sin x cos x ，所以f (x )＝－2sin x .
答案 A 8.已知b ∈⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
x |
3－x x
≥0，则直线x ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相离的概率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
解析 b ∈⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
x |
3－x x
≥0＝(0，3]，
若直线x ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2
＝2相离，则2
1＋b
2
>2，得－1<b <1，故所求概率P ＝1－0
3－0＝13. 答案 A
9.某程序框图如图所示，现将输出(x ，y )值依次记为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，…，若程序运行中输出的一个数组是(x ，－10)，则数组中的x ＝( )
A.32
B.24
C.18
D.16
解析 运行第一次，输出(1，0)，n ＝3，x ＝2，y ＝－2；运行第二次，输出(2，－2)，n ＝5，
x ＝4，y ＝－4；运行第三次，输出(4，－4)，n ＝7，x ＝8，y ＝－6；运行第四次，输出(8，
－6)n ＝9，x ＝16，y ＝－8；运行第五次，输出(16，－8)，n ＝11，x ＝32，y ＝－10；运行第六次，输出(32，－10)，n ＝13，x ＝64，y ＝－12. 答案 A
10.在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，则Q 点的横坐标为( ) A.－72
10
B.－325
C.－7212
D.－8213
解析 设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45，x Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－
72
10
，选A. 答案 A
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.113
6
B. 3
C.53
3
D.433
解析 由三视图知该几何体是一个四棱锥P －ABCD ，其直观图如图所示，设E 为AD 的中点，则BE ⊥AD ，PE ⊥平面ABCD ，△PAD 为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1，下底2，高2；棱锥的高为3，∴体积V ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×（1＋2）×2×3＝3，故选B. 答案 B
12.已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －2)＜f (x )对任意的x ＞2恒成立，则k 的最大值为( ) A.3
B.4
C.5
D.6
解析 先画f (x )＝x ＋x ln x 的简图，
设y ＝k (x －2)与f (x )＝x ＋x ln x 相切于M (m ，f (m ))(m ＞2)， 所以f ′(m )＝
f （m ）m －2，即2＋ln m ＝m ＋m ln m
m －2
，可化为 m －4－2ln m ＝0，设g (m )＝m －4－2ln m .
因为g (e 2
)＝e 2
－8＜0，g (e 3
)＝e 3
－10＞0， 所以e 2
＜m ＜e 3
，f ′(m )＝2＋ln m ∈(4，5)， 又k ∈Z ，所以k max ＝4，选B. 答案 B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)
13.若抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2
－y 2
＝1的一个焦点，则p ＝________. 解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p
2
，双曲线x 2－y 2
＝1的一个焦点F 1(－2，
0)，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2
＝1的一个焦点，所以－p
2＝－2，
解得p ＝2 2. 答案 2 2
14.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤2，3x －y －3≤0，2x ＋y －2≥0，
则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________.
解析 作出可行域如图所示：
作直线l 0：3x ＋y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：3x ＋y ＝z ，当直线l 经过点M 时，z ＝3x ＋y 取得最大值，
由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，y ＝2，得⎩⎪
⎨⎪⎧x ＝5
3，y ＝2，
所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2，所以z max ＝3×53＋2＝7.
答案 7
15.(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________. 解析 由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.
又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35，
∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－2
5.
答案 －2
5
16.已知平面四边形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为
________.
解析 设AC ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理有：
x 2＝22＋42－2×2×4cos B ＝20－16cos B ，
同理，在△ADC 中，由余弦定理有：
x 2＝32＋52－2×3×5cos D ＝34－30cos D ，
即15cos D －8cos B ＝7，①
又平面四边形ABCD 面积为S ＝12×2×4sin B ＋12×3×5sin D ＝1
2(8sin B ＋15sin D )，
即8sin B ＋15sin D ＝2S ，② ①②平方相加得
64＋225＋240(sin B sin D －cos B cos D )＝49＋4S 2
， －240cos(B ＋D )＝4S 2
－240， 当B ＋D ＝π时，S 取最大值230. 答案 230
限时练(二) (限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A ＝{x |x 2
－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2
－x )＞1}，则A ∩B ＝( ) A.(2，3) B.(2，3] C.(－3，－2)
D.[－3，－2)
解析 ∵x 2
－2x －3≤0，∴－1≤x ≤3，∴A ＝[－1，3].
又∵log 2(x 2
－x )＞1，∴x 2
－x －2＞0，∴x ＜－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).∴A ∩B ＝(2，3].故选B. 答案 B
2.若复数z 满足(3－4i)z ＝5，则z 的虚部为( ) A.4
5
B.－45
C.4
D.－4
解析 依题意得z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝35＋45i ，因此复数z 的虚部为4
5
.故选A. 答案 A
3.设向量a ＝(m ，1)，b ＝(2，－3)，若满足a ∥b ，则m ＝( ) A.13
B.－13
C.23
D.－23
解析 依题意得－3m －2×1＝0，∴m ＝－2
3.故选D.
答案 D
4.某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是( )
A.300
B.400
C.500
D.600
解析 依题意得，题中的1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1 000×(0.035＋0.015＋0.010)×10＝600.故选D. 答案 D
5.在等比数列{a n }中，若a 4、a 8是方程x 2
－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A.± 2
B.－ 2
C. 2
D.±2
解析 由题意可知a 4＝1，a 8＝2，或a 4＝2，a 8＝1. 当a 4＝1，a 8＝2时，设公比为q ，
则a 8＝a 4q 4
＝2，∴q 2
＝2，∴a 6＝a 4q 2
＝2； 同理可求当a 4＝2，a 8＝1时，a 6＝ 2. 答案 C
6.已知双曲线y 2t 2－x 23＝1(t ＞0)的一个焦点与抛物线y ＝18
x 2
的焦点重合，则此双曲线的离心率
为( ) A.2
B. 3
C.3
D.4
解析 依题意得，抛物线y ＝18
x 2即x 2
＝8y 的焦点坐标是(0，2)，因此题中的双曲线的离心率
e ＝2t ＝2
22－3
＝2.故选A. 答案 A
7.已知A (1，－1)，B (x ，y )，且实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≥2，x ≤2，
则z ＝OA →·OB →的最
小值为( ) A.2
B.－2
C.－4
D.－6
解析 画出不等式组所表示的可行域为如图所示的△ECD 的内部(包括边界)，其中E (2，6)，
C (2，0)，
D (0，2).目标函数z ＝OA →·OB →
＝x －y .
令直线l ：y ＝x －z ，要使直线l 过可行域上的点且在y 轴上的截距－z 取得最大值，只需直线l 过点E (2，6).
此时z 取得最小值，且最小值z min ＝2－6＝－4.故选C. 答案 C
8.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π
6，则φ＝( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.5π12
解析 由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，－4≤g (x )≤4，又－4≤f (x )≤4，若x 1，x 2满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，则x 1，x 2分别是函数f (x )，g (x )的最值点，不妨设f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4，则
x 1＝
3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )，|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，
k 2∈Z )，又|x 1－x 2|min ＝π
6
，0＜φ＜π2
，所以π2
－φ＝π6
，得φ＝π3
，故选C.
答案 C
9.如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )
解析 注意BE ，BG 在平面CDGF 上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A ，C 选项，观察B ，D 选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG ，BF 的投影为虚线，故选D. 答案 D
10.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2
－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c
的最小值是
( ) A.9
B.8
C.4
D.2
解析 依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋b
c
≥5
＋2
4c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1（bc ＞0），4c b ＝b c
，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1
c 的最小值是9.故选A. 答案 A
11.已知四面体P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，
PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )
A.7π
B.8π
C.9π
D.10π
解析 依题意记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2
＝12
＋22
＋22
＝9，4πR 2
＝9π，∴球O 的表面积为9π.故选C. 答案 C
12.已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f （x ）
x
>0，则函数F (x )＝xf (x )＋1
x
的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 依题意，记g (x )＝xf (x )， 则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，g (0)＝0， 当x >0时，g ′(x )＝x ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
f ′（x ）＋
f （x ）x >0，
g (x )是增函数，g (x )>0；
当x <0时，g ′(x )＝x ⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤
f ′（x ）＋
f （x ）x <0，
g (x )是减函数，g (x )>0，
在同一坐标系内画出函数y ＝g (x )与y ＝－1
x
的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共
点，因此函数F (x )＝xf (x )＋1
x
的零点个数是1.
答案 B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)
13.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________.
解析 由程序框图得S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1－15＝45
. 答案 45
14.(2016·浙江卷)已知2cos 2
x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.
解析 ∵2cos 2
x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫
22cos 2x ＋22sin 2x ＋1
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)， ∴A ＝2，b ＝1. 答案
2 1
15.在△ABC 中，若AB ＝43，AC ＝4，B ＝30°，则△ABC 的面积是________.
解析 由余弦定理AC 2
＝BA 2
＋BC 2
－2·BA ·BC ·cos B 得42
＝(43)2
＋BC 2
－2×43×BC ×cos 30°，解得BC ＝4或BC ＝8.
当BC ＝4时，△ABC 的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×4×1
2＝43；当BC ＝8时，△ABC
的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×8×1
2＝8 3.
答案 43或8 3
16.已知F 1、F 2分别为椭圆x 2
4
＋y 2
＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P 、
Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→
的值为________.
解析 易知点P 、Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大.由于F 1(－3，0)，
F 2(3，0)，不妨设P (0，1)，∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)，∴PF 1→·PF 2→
＝－2.
答案 －2
限时练(三) (限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5
B.－3
C.1＋4i
D.1－4i
解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A
2.已知集合M ＝{y |y ＝4－x 2
}，N ＝{x |y ＝ln(x 2
－2x )}，则( ) A.M ⊂N B.N ⊂M C.M ∩N ＝∅
D.M ∪N ≠R
解析 M ＝[0，2]，N ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以M ∩N ＝∅.故选C. 答案 C
3.在－20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( ) A.200
B.100
C.90
D.70
解析 S ＝10×（－20＋40）
2＝100.故选B.
答案 B
4.我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率π的近似值.如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n ，落到正方形内的豆子数为m ，则圆周率π的估算值是( ) A.n m
B.2n m
C.
3n
m
.
2m
n
解析 设圆的半径为r ，则P ＝m n ＝（2r ）2πr 2
，得π＝2n
m
.故选B. 答案 B
5.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C 的
离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)
D.(2，＋∞)
解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒b a
＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D
6.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，
则z ＝x ＋2y 的最大值为( )
A.0
B.1
C.3
2
D.2
解析 可行域如图所示.目标函数化为y ＝－12x ＋1
2z ，
当直线y ＝－12x ＋1
2z 过点A (0，1)时，z 取得最大值2.
答案 D
7.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6，则ω
的一个可能值是( )
A.12
B.35
C.34
D.32
解析 由函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，得2π3≤π2ω⇒ω≤34.
由f ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6，得5π6＞π2ω，ω＞35，所以35＜ω≤34.故选C.
答案 C
8.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.
43π＋83
3
B.
43π
3
＋8 3 C.43π＋83
3
D.43π＋8 3
解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：
V ＝13Sh ＝
2π＋43×23＝43π＋83
3
. 答案 A
9.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝1
3，则△ABC 面
积的最大值为( ) A.2
B. 2
C.12
D. 3
解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2
－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，
所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×22
3＝ 2.故选B.
答案 B
10.函数f (x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且 x ≠0)的图象可能为( )
解析 ∵f (x )＝(x －1
x
)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 D
11.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，
A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为
B ，若FA →
＝(2－1)AB →
，则此双曲线的离
心率是( ) A. 2
B. 3
C.2 2
D. 5 解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝b a
x ②，联立①②， 解得交点B ⎝
⎛⎭
⎪
⎫ac c －a ，bc c －a ，
由FA →＝(2－1)AB →
，得c ＝(2－1)ac c －a
，c ＝2a ，e ＝ 2.
答案 A
12.已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧1－|x |， （x ≤1），
x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( )
A.[－2，2]
B.[－2，2]∪[4，＋∞)
C.[－2，2＋2]
D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)
解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或
n ≥3，
即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.
由x 2
－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍).
由x 2
－4x ＋3＝3得，x ＝4.
再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.如图，根据图中的数构成的规律，a 表示的数是________.
1 2 2 3 4 3 4 12 12 4 5 48 a 48 5
……
解析 数表的规律是每行从第二个数起一个数等于它肩上的两个数的乘积，所以a ＝12×12＝144. 答案 144
14.实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤－2，y ≥1，x ＋y ≤4，
则x 2＋y
2xy
的取值范围是________.
解析 x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x .令k ＝y x ，则k 表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由图形可知
1
3
≤k ≤1，根据函数y ＝1k ＋k 的单调性得2≤k ≤10
3
.
答案 ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤2，103
15.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →
的夹角为________.
解析 由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →
的夹角为
90°. 答案 90°
16.已知数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n }满足
x 1＝3，x 1＋x 2＋x 3＝39，
则x n ＝________.
解析 设
因为数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n ＋1＝log k x n ＋log k x n ＋
2
⇒x 2
n ＋1＝x n x n ＋2，所以数列{x n }是等比数列，把x 1＝3代入x 1＋x 2＋x 3＝39得公比q ＝3(负值
舍去)，所以x n ＝3×3n －1
＝3n
.
答案 3
n
限时练(四) (限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合M ＝{x |x 2
－4x ＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，则m ＋n 等于( ) A.9
B.8
C.7
D.6
解析 ∵M ＝{x |x 2
－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，且M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7.故选C. 答案 C 2.复数1＋5
2－i
(i 是虚数单位)的模等于( ) A.10
B.10
C. 5
D.5
解析 ∵1＋52－i ＝1＋5（2＋i ）
（2－i ）（2＋i ）＝1＋2＋i ＝3＋i ，
∴其模为10.故选A. 答案 A
3.“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”
是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.
答案 B
4.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥1
2”的概率，p 2
为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤1
2”的概率，则( )
A.p 1<p 2<p 3
B.p 2<p 3<p 1
C.p 3<p 1<p 2
D.p 3<p 2<p 1
解析 在直角坐标系中，依次作出不等式⎩
⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≥1
2，|x －
y |≤12，xy ≤12
的可行域如图所示：
依题意，p 1＝
S 多边形BACDE S 四边形OCDE ，p 2＝S 多边形BOAFDG
S 四边形OCDE
，
p 3＝S 曲边多边形GEOCF
S 四边形OCDE
，
因为S △ABO ＝S △BEG ＝S △DGF ，所以p 2<p 3<p 1.故选B. 答案 B
5.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.4
7尺 B.1629尺 C.8
15
尺
D.1631
尺 解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×29
2
d ＝390，解得
d ＝1629
.故选B.
答案 B
6.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )
A.
16＋3
3
B.8＋632
C.163
D.203
解析 将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正
视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴V N －BCFE ＝13×4×2＝8
3.可将三
棱柱补成直三棱柱，则V ADM －EFN ＝12×2×2×2＝4，∴多面体的体积为20
3.
故选D. 答案 D
7.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2
－4x ＋2y ＋1＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等
腰直角三角形，则m ＝( ) A.1
B.2
C.－5
D.1或－3
解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的2
2
.圆C 的标准方程是(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4，圆心到直线l 的距离d ＝
|1＋m |2，依题意得|1＋m |
2
＝2，解得m ＝1或－3.故选D.
答案 D
8.阅读如图所示的程序框图，
运行相应的程序，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为( ) A.5 B.6 C.7
D.8
解析 由程序框图知，当S ＝1时，k ＝2；当S ＝3时，k ＝3；当S ＝7时，k ＝4；当S ＝15时，k ＝5；当S ＝31时，k ＝6；当S ＝63时，k ＝7.∴n 的值为6.故选B. 答案 B
9.若函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数
图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )
A.5π
12
B.π4
C.π3
D.π6
解析 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π
12(k ∈Z )，而
x 0∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2
，∴x 0＝
5π
12
.故选A. 答案 A
10.已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2
，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值
解析 由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f (x )|，g (x )的
图象如图，
而h (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|＜g （x ），
故h (x )有最小值－1，无最大值. 答案 C
11.设双曲线x 24－y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A.192
B.11
C.12
D.16
解析 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b
2
a
＝3，
∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B. 答案 B
12.在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15
，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →
，其中，x ，
y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )
A.106
3
B.1463
C.4 3
D.6 2
解析 根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形，其面积为△BOC 面积的2倍，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2
－ 2bc cos A ，得BC ＝7，设△ABC 的内切圆的半径为r ， 则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， ∴S △BOC ＝12×BC ×r ＝12×7×263＝763
.
∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝146
3
.
答案 B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人，相关数据如下表：
则抽取的总人数为解析 由分层抽样得b 56＝3a ＝5
35
，∴a ＝21，b ＝8，∴抽取的总人数为8＋3＋5＝16.
答案 16
14.若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，
若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取得最小值，
则实数a 的取值范围为________.
解析 画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图所示，当a ＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k ＝－a
3
＞k AC ＝－1，∴0＜
a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a
3
＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的
取值范围是(－6，3). 答案 (－6，3)
15.已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若区间[－1，3]上，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有3个零点，则实数k 的取值范围是________.
解析 根据已知条件知函数f (x )为周期为2的周期函数；且
x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |；而函数g (x )的零点个数便是函数f (x )
和函数y ＝kx ＋k 的交点个数.
∴①若k ＞0，如图所示，当y ＝kx ＋k 经过点(1，1)时，k ＝12
；
当经过点(3，1)时，k ＝14.∴14＜k ＜1
2.②若k ＜0，即函数y ＝kx ＋k 在y 轴上的截距小于0，
显然此时该直线与f (x )的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在.③若k ＝0，得到直线
y ＝0，显然与f (x )图象只有两个交点.综上所得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，12.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，12 16.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n
，若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.
解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝－3，a 4＝5，a 5＝－11，a 6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得a n ＋1－a n ＝(－1)
n ＋12n
，则利用累加法即得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…
＋(a n －a n －1)＝－1＋2－22
＋…＋(－1)n 2n －1
＝（－1）[1－（－2）n ]1－（－2）＝（－2）n
－13
.
答案 （－2）n
－13
限时练(五) (限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合M ＝{x |x 2
＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A.[0，1]
B.(0，1]
C.[0，1)
D.(－∞，1]
解析 由M ＝{x |x 2＝x }＝{0，1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝(0，1]，得M ∪N ＝{0，1}∪(0，1]＝[0，1].故选A. 答案 A 2.已知复数z ＝2
1＋i
＋2i ，则z 的共轭复数是( ) A.－1－i B.1－i C.1＋i
D.－1＋i
解析 由已知z ＝2
1＋i ＋2i ＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝
1－i ，选B. 答案 B
3.已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x 1
3，则在区间(－2，0)上，下列函数中与
y ＝f (x )的单调性相同的是( )
A.y ＝－x 2
＋1 B.y ＝|x ＋1|
C.y ＝e |x |
D.y ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧2x －1，x ≥0，x 3＋1，x ＜0
解析 由已知得f (x )是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C. 答案 C
4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2 在一个周期内的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝( )
A.1
B.12
C.－1
D.－12
解析 由图知，A ＝2，且34T ＝5π6－π12＝3π
4
，则周期T ＝π，所以ω＝2.
因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，则2×π12＋φ＝π2，从而φ＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝
2sin 5π
6＝1，选A.
答案 A
5.下列四个结论：
①p ∧q 是真命题，则綈p 可能是真命题；
②命题“∃x 0∈R ，x 2
0－x 0－1＜0”的否定是“∃x ∈R ，x 2
－x －1≥0”； ③“a ＞5且b ＞－5”是“a ＋b ＞0”的充要条件； ④当a ＜0时，幂函数y ＝x a
在区间(0，＋∞)上单调递减. 其中正确结论的个数是( ) A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析 ①若p ∧q 是真命题，则p 和q 同时为真命题，綈p 必定是假命题； ②命题“∃x 0∈R ，x 2
0－x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2
－x －1≥0”； ③“a ＞5且b ＞－5”是“a ＋b ＞0”的充分不必要条件； ④y ＝x a
⇒y ′＝a ·x
a －1，当a ＜0时，y ′＜0，所以在区间(0，＋∞)上单调递减.选B.
答案 B
6.过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2
－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝( ) A.0
B.5
C.5
D.
503
解析 由圆C ：x 2
＋y 2
－4y －1＝0得C (0，2)，半径r ＝ 5.
∵过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2
－4y －1＝0相切于点B ，∴BA →·CB →＝0，∴CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2
＝5，所以选C.
答案 C
7.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y ^
＝0.8x －155，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m (如下表所示)，则利用回归方程可求得实数m 的值为( )
A.8.3
解析 x ＝196＋197＋200＋203＋2045＝200，y ＝1＋3＋6＋7＋m 5＝17＋m 5.由回归直线经过样本
中心，17＋m
5＝0.8×200－155⇒m ＝8.故选D.
答案 D
8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于( ) A.2 B.1 C.2
3
D.223
解析 由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长
为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V ＝12×1×1×2－13×12×1×1×2＝2
3.故选C.
答案 C
9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )
A.14
B.15
C.16
D.17
解析 由程序框图可知，从n ＝1到n ＝15得到S ＜－3，因此将输出n ＝16. 答案 C
10.若实数x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，
将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a ，b ，
则z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值的概率为( ) A.5
6
B.25
C.15
D.16
解析 约束条件为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)，要使函数z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值，需满足－2a
b
≤－1⇒b ≤2a ，将一颗骰子投掷
两次共有36个有序实数对(a ，b )，其中满足b ≤2a 有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为3036＝5
6.选A.
答案 A
11.如图所示，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，
EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E －ABCD 的外接球的表面积
为( ) A.16π
3
B.8π
C.16π
D.64π
解析 将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O ，底面重心为G ，则△OGD 为直角三角形，OG ＝1，DG ＝3，∴R 2
＝4，∴多面体E －ABCD 的外接球的表面积为4πR 2
＝16π.故选C. 答案 C
12.已知函数f (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
e ≤x ≤e (其中e 为自然对数的底数)与函数g (x )＝2ln x 的图象上
存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，1e 2＋2
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e 2＋2，e 2－2
C.[1，e 2
－2]
D.[e 2
－2，＋∞)
解析 由已知得方程－(a －x 2)＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2
在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 上有解，设h (x )＝2ln x
－x 2
，求导得h ′(x )＝2x －2x ＝2（1－x ）（1＋x ）x ，因为1e ≤x ≤e，所以h (x )在x ＝1处有唯
一的极大值点，且为最大值点，则h (x )max ＝h (1)＝－1，h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＝－2－1e 2，h (e)＝2－e 2，且h (e)
＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以h (x )的最小值为h (e)＝2－e 2.故方程－a ＝2ln x －x 2
在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而解得a 的取值范围为[1，e 2
－2]，故选C.
答案 C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.已知函数f (x )＝ln x ，若在(0，3e)上随机取一个数x ，则使得不等式f (x )≤1成立的概率为________.
解析 ∵ln x ≤1⇔ln x ≤ln e ⇔0<x ≤e ，故所求概率p ＝e －03e －0＝1
3.
答案 13
14.已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，则向量a ＋b 在向量a 方向上的投影是________.
解析 依题意得：(a ＋b )·a ＝a 2
＋a ·b ＝0，因此向量a ＋b 在向量a 方向上的投影是0. 答案 0
15.已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a
－y 2
＝
1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a ＝______. 解析 因为抛物线的准线为x ＝－p 2，则有1＋p
2＝5，得p ＝8，所以m ＝4，又双曲线的左顶点
坐标为(－a ，0)，则有41＋a ＝1a ，解得a ＝1
9.
答案 1
9
16.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－|x 3
－2x 2
＋x |，x ＜1，
ln x ，x ≥1，若命题“∃
t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是
假命题，则实数k 的取值范围是________.
解析 当x ＜1时，f (x )＝－|x 3
－2x 2
＋x |＝－|x (x －1)2
|＝
⎩
⎪⎨⎪⎧x （x －1）2
，x ≤0，
－x （x －1）2
，0＜x ＜1，当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －
1)(3x －1)＞0，f (x )是增函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝－(x －1)(3x
－1)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1上是增函数，作出
函数y ＝f (x )在R 上的图象，如图所示.命题“∃t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，即对任意的t ∈R ，且t ≠0，f (t )＜kt 恒成立，作出直线y ＝kx ，设直线y ＝kx 与函数y ＝ln
x (x ≥1)的图象相切于点(m ，ln m )，则由(ln x )′＝1x ，得k ＝1
m ，即ln m ＝km ，解得m ＝e ，
k ＝1
e
.设直线y ＝kx 与y ＝x (x －1)2(x ≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y ′＝(x －1)(3x －1)，
则k ＝1，由图象可知，若f (t )＜kt 恒成立，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1. 答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤1e ，1
限时练(六) (限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知复数z 1＝1－i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2
i
等于( )
A.2i
B.－2i
C.2＋I
D.－2＋i
解析
z 1z 2i ＝
（1－i ）（1＋i ）
i
＝－2i.故选B.
答案 B
2.已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A.－3∈A B.3∉B C.A ∩B ＝B
D.A ∪B ＝B
解析 依题意得，A ＝[－1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)，∴A ∩B ＝B .故选C. 答案 C
3.若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π
6
”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－π
6＋k π，k ∈Z ，
当k ＝0时，θ＝－π6；当k ＝1时，θ＝5π6.若θ＝－π6时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，2x －π6＝
π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，f (x )的图象关于x ＝π
3对称.故选B. 答案 B
4.若1a ＜1
b
＜0，则下列四个不等式恒成立的是( )
A.|a |＞|b |
B.a ＜b
C.a 3
＜b 3
D.a ＋b ＜ab
解析 由1a ＜1b
＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，即A 、B 项不正确；b 3＜a 3
，即C 项不正确；
a ＋
b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab ，即D 项正确.故选D.
答案 D
5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →
＝
a ，AC →＝
b ，则AD →
＝( )
A.1
2a ＋b B.1
2a －b C.a ＋12
b
D.a －12
b
解析 连接CD 、OD ，∵点C 、D 是半圆弧AB 的两个三等分点，∴AC ︵＝BD ︵＝CD ︵
，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝1
3×90°＝30°，∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°，由此可得∠CAD ＝∠DAO ＝30°，
∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝1
2a ＋b .故选A.
答案 A
6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝5b sin C ，且cos A ＝5cos B cos C ，则tan A 的值为( ) A.5
B.6
C.－4
D.－6
解析 由正弦定理得sin A ＝5sin B sin C ①，又cos A ＝5cos B cos C ②，②－①得，cos
A －sin A ＝5(cos
B cos
C －sin B sin C )＝5cos(B ＋C )＝－5cos A ，∴sin A ＝6cos A ，∴tan A ＝6.故选B .
答案 B
7.如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值是( ) A.0 B.－1 C.－2
D.－3
解析 由程序框图知，x ＝2，y ＝1
2×2－1＝0，|0－2|＞1；x ＝0，y
＝0－1＝－1，|－1－0|＝1；x ＝－2，y ＝1
2×(－2)－1＝－2，|－2
＋2|＜1满足条件，输出y 为－2，结束程序.故选C. 答案 C
8.若过点(3，－3)的直线l 将圆C ：x 2
＋y 2
＋4y ＝0平分，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
解析 由题意可知直线l 过圆C ：
x 2＋y 2＋4y ＝0的圆心(0，－2)，
且直线l 过点(3，－3)，
∴直线l 的斜率k ＝－3－（－2）3－0＝－3
3，
又直线l 的倾斜角α∈[0，π)，k ＝tan α，∴α＝5π6
. 答案 D
9.椭圆ax 2
＋by 2
＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则b
a
＝( ) A.
3
2
B.23
3
C.93
2
D.23
27
解析 设交点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 中，y 中)，代入椭圆方程得ax 2
1＋
by 21＝1，ax 22＋by 2
2＝1，由两式相减整理得：b a ·
y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，即b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 中x 中
＝－1，又
y 中x 中＝y 中－0x 中－0＝32，可得b a ·(－1)·32＝－1，即b a ＝23
3
.故选B. 答案 B
10.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *
满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( )
A.1 006×2 013
B.1 006×2 014
C.1 007×2 013
D.1 007×2 014
解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，∴a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2a 2＝2，∴a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，∴S 2 014＝
2 014×2 0132＝1 007×2 013.故选C. 答案 C
11.已知函数f (x )＝x 3
＋2bx 2
＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]，则f (－1)的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C.[3，12]
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，12
解析 f ′(x )＝3x 2
＋4bx ＋c ，依题意知，方程f ′(x )＝0有两个根x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]等价于f ′(－2)≥0，f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0.由此得b 、c
满足的约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，
3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，
满足这些条件的点(b ，
c )的区域为图中阴影部分.由题设知f (－1)＝2b －c ，由z ＝2b －c ，将其转化为直线c ＝2b －z ，当直线z ＝2b －c 经过点A (0，－3)时，z 最小，其最小值z min ＝3；当直线z ＝2b －c 经过点B (0，－12)时，z 最大，其最大值z max ＝12. 答案 C
12.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 1的中点，Q 是A 1B 1上任意一点，E 、
F 是CD 上任意两点，且EF 长为定值，现有下列结论：
①异面直线PQ 与EF 所成的角为定值；②点P 到平面QEF 的距离为定值；③直线PQ 与平面
PEF 所成的角为定值；④三棱锥P －QEF 的体积为定值.
其中正确结论的个数为( ) A.0
B.1
C.2
D.3
解析 当点Q 与A 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角为π
2
；当点Q 与B 1重合时，异面直线
PQ 与EF 所成的角不为π
2
，即①错误.当点Q 在A 1B 1上运动时，三棱锥P －QEF 的底面△QEF
的面积以及三棱锥的高都不变，∴体积不变，即②正确.④也正确.当点Q 在A 1B 1上运动时，直线QP 与平面PEF 所成的角随点Q 的变化而变化，即③错误.故选C. 答案 C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是________.
解析 从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小. 答案 甲
14.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，
则该点落在四面体内的
概率为________.
解析 由题意可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，则几何体的体积为13×1
2×6×3×4＝12，外
接球的直径为42＋（32）2＋（32）2
＝213，∴外接球的半径为13，体积为52133π，
∴该点落在四面体内的概率P ＝1252133π＝913
169π.
答案
913
169π
15.在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a 、b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：
(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；
(2)对任意a 、b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0). 关于函数f (x )＝(e x
)*1e
x 的性质，有如下说法：
①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0]. 其中所有正确说法的序号为________.
解析 依题意得f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋[(e x )*0]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x *0＝1＋e x
＋1e x ，其中x ∈R .∴f ′(x )
＝e x
－1e x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单
调递增，∴当x ＝0，f (0)min ＝3，即①正确，③错误.又f (－x )＝1＋e －x ＋1e －x ＝1＋e x
＋1e x ＝f (x )，
∴函数f (x )为偶函数，即②正确. 答案 ①② 16.若关于x 的方程
|x |x ＋2
＝kx 2
有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 解析 由于关于x 的方程|x |x ＋2
＝kx 2
有四个不同的实根，x ＝0是此方程的一个根，故关于x 的方程
|x |x ＋2
＝kx 2
有3个不同的非零的实数解.
∴方程1k ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0
有3个不同的非零的实数解，
即函数y ＝1
k 的图象和函数g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0的图象有3个交点，
画出函数g (x )图象，如图所示， 故0＜1
k
＜1，解得k ＞1.
答案 (1，＋∞)
限时练(七) (限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2
＜16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( ) A.A ∪B ＝R B.A ∪(∁U B )＝R C.(∁U A )∪B ＝R
D.A ∩(∁U B )＝A
解析 因为A ＝{x |－4＜x ＜4}，B ＝{x |x ＞4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D. 答案 D
2.已知复数z ＝2－i x －i 为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数x 的值为( )
A.－12
B.12
C.－3
D.13
解析 z ＝2－i x －i ＝（2－i ）（x ＋i ）x 2＋1＝2x ＋1＋（2－x ）i x 2
＋1，因为复数z ＝2－i
x －i
为纯虚数，所以⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，2－x ≠0，即x ＝－1
2，故选A.
答案 A
3.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B. 答案 B。