【数学】宁夏银川一中2018届高三第四次模拟考试数学(理)试卷

绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学( 银川一中第四次模拟考试 )
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的．
1．已知，集合，集合，若，则,m n R ∈{}72,log A m ={},B m n =}0{=⋂B A m n -=A ．1 B ．2
C ．4
D ．8
2．若复数，复数，则i z 211+=i z -=1212z z =
A ．B
C D 6
3．已知命题：，，则： p x R ∀∈sin 1x ≤p ⌝A ．，B ．，x R ∃∈sin 1x ≥x R ∀∈sin 1x ≥C ．，D ．，x R ∃∈sin 1
x >x R ∀∈sin 1
x >4．设a=0.50.4，b=log 0.40.3，c=log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜c ＜a
5．已知等比数列的前项和为,若,且成等差数列,则{}n a n n S 212a a =312,,S S S 4S =
A ．
B ．
C ．
D ．10121830
6．地的天气预报显示，地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机A A 30%模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0—9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为A ．
B ．
C ．
D ．
14
25
710
15
7．的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是n x
x )1(3- A ．28
B ．－28
C ．70
D ．－70
8．设圆心在轴上的圆与直线相切,且与直线相交于两x C 1:10l x -+=2:0l x =
点,若,则圆的半径为
,M N ||MN =C
A ．
B 12
C ．
D 19．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．1 B ．2 C ．3
D ．6
10．五进制是以为底的进位制,主因乃人类的一只手有五只手指.中
5国古代的五行学说也是采用的五进制,代表土,代表水,代012表火,代表木,代表金,依次类推,又属土,属水,……,3456减去即得.如图,这是一个把进制数(共有位)化5k a n 为十进制数的程序框图,执行该程序框图,若输入的
b 分别为,则输出的,,k a n 5,324,3b =
A. B.4589C. D.113445
11．已知函数
的周期为，若将其图
)0(21sin )(2>-
=ωωx x f 2π象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为
A ．
B ．
C ．
D ．4
π
4
3π2
π
8
π
12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，()()'f x xf x >-恒成
立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知，且，则向量在向量方向上的投影为 .2||,1||==b a )(b a a -⊥14．设的内角所对边的长分别为，且，
ABC ∆,,A B C ,,a b c 2,4
1==
=∆ABC S B a π
，则b = .
15．已知实数，满足则的最小值为 ．
x y 1,
1,0,
x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪>⎩
22x y x ++16．已知双曲线的左、右焦点分别为点,
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>12(,0),(,0)(0)F c F c c ->抛物线与双曲线在第一象限内相交于点,若,则双曲线的离心2
4y cx =P 212||||PF F F =率为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列的前项和为，且．
{}
n a n n
S 2
24n
n n a a S +=（1）求；
n S （2）设，求数列的前项和．
n b =1
{}n
b n n T 18．（本小题满分12分）
第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月
12日到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。

将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只
有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。

（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”ξ的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。

ξξ
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，，
P ABCD -AD //BC
，，、24AD BC ==AB =90BAD ∠= M 分别为和的中点，平面．
O CD AC PO ⊥ABCD （1）求证：AC BM ；
⊥（2）是否存在线段上一点，使得
PM N //平面，若存在，求
的值；如果ON PAB PN
PM
不存在，说明理由． 20.（本小题满分12分）
设F 1，F 2分别是椭圆C ：的左、右焦点，过F 1且斜率不为零的动直线l 与椭2212
x y +=圆C 交于A 、B 两点。

（1）求△AF 1F 2的周长；
（2）若存在直线l ，使得直线F 2A ，AB ，F 2B 与直线x =－
分别交于P ，Q ，R 三个不同12
的点，且满足P 、Q 、R 到x 轴的距离依次成等比数列，求该直线l 的方程。

21.（本小题满分12分）
设函数f （x ）=e x ﹣ax 2﹣ex +b ，其中e 为自然对数的底数．
（1）若曲线f （x ）在y 轴上的截距为﹣1，且在点x =1处的切线垂直于直线，求
x
y 21=
实数a ，b 的值；
（2）记f （x ）的导函数为g （x ），求g （x ）在区间[0，1]上的最小值h （a ）．
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建x 立极坐标系，曲线1的极坐标方程为：.
C 2cos ρθ=(1)若曲线的参数方程为:(为参数)，求曲线的直角坐标方程和曲
2C ⎩
⎨⎧+==αα
sin 1cos t y t x a 1C 线的普通方程;
2C (2)若曲线的参数方程为(为参数)，,且曲线与曲线的交
2C ⎩
⎨⎧+==αα
sin 1cos t y t x t ()0,1A
1C 2C 点分别为P 、Q ，求
的取值范围.11
AP AQ
+23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 已知函数.()22 f x x b x b =++-(1)若,解不等式;
1b =()4f x >(2)若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围.
()1f a b >+a b
银川一中2018届高三第四次模拟理科数学试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．题号123456789101112答案A
B
C
C
A
D
A
C
B
B
D
C
二．填空题：13.
14.5 15.4 16.2
2
117.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得 ，两式作差得 ，
22111
2424n n n
n n n a a S a a S +++⎧+=⎪⎨+=⎪⎩11()(2)0n n n n a a a a +++--=又数列各项均为正数，所以，即-------------------------{}n a 120n n a a +--=12n n a a +-=----3分
当时，有，得，则，1n =21111244a a S a +==11(2)
0a a -=
12a =故数列为首项为公差为的等差数列，所以---------6分{}n a 22
21(1)
2
n
n n S na d
n n -=+=+（Ⅱ）
-----------------------------1
n b ===------9分
所以-------------------------------------------11
11n
n
n i i i T b =====-∑∑----------12分18．（本小题满分12分）
【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法选中的“高个子”有2人，“非高个子”有3人．由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一人是“高个子”的概率．
（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．
（2）依题意， 的取值为．
ξ0,1,2,3　，　， ，
()3148P 035512C
C ξ===()12
2848P 135512C C
C ξ===()
21
12
48P 235512
C C
C ξ===．　因此， 的分布列如下：
()314
P 335512
C
C ξ===x
ξ
12
3
．
19．（本小题满分12
分）
解：（Ⅰ）如图，以为原点建立空间直角坐标系，A A xyz -则，
，，
0,0)
B 2,0)
C (0,4,0)
D 所以中点，则
，
CD 3,0)M (3,0)BM =
，则，2,0)AC = 320BM AC ⋅=+⨯=
所以. ----------6分
BM AC ⊥
（Ⅱ）法一：设，则，，则OP h
=0)
O )P h (0,2,)PM h =-
设平面的一个法向量为，
，，
PAB 000(,,)x y z =n )AP h =
)0,0,32(=所以，则，令，00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
n n ⎪⎩⎪⎨
⎧==++0320
30000x hz y x 01z =得.-------------------------9分
(0,,1)h =-n 设，则(0,2,)(01)PN PM h λλλλ==-≤≤
，
(0,2,)ON OP PN h h λλ=+=-
若//平面，则，解得
ON PAB 20ON h h h λλ⋅=-+-=
n .----------------------12分
13
λ=法二（略解）：连接延长与交于点，连接，若存在//平面，则//
MO AB E PE ON PAB ON ，PE
证明
即可.1
3
OE EM =20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为椭圆的长轴长 ，焦距2c=2. 又由椭圆的定义得|AF 1
|+|AF 2|=2a
所以△AF 1F 2的周长为|AF 1|+|AF 2|+|F 1F 2+2
（Ⅱ）由题意得l 不垂直两坐标轴，故设l 的方程为y=k(x+1)(k≠0)
于是直线l 与直线x=－
交点Q 的纵坐标为
122
Q
k y =设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，显然x 1，x 2≠1，所以直线F 2A 的方程为1
1(1)1
y y x x =
--故直线F 2A 与直线x=－
交点P 的纵坐标为
12
1132(1)P
y y x -=-同理，点R 的纵坐标为2
232(1)
R y y x -=
-因为P ，Q ，R 到x 轴的距离依次成等比数列，所以|y P |·|y R |=|y Q |2
即 即2
121233||2(1)2(1)4y y k x x --⨯=--2212129(1)(1)||(1)(1)
k x x k x x ++=--整理得。

（*）
121212129|()1||()1|x x x x x x x x +++=-++联立 消去y 得(1+2k
2
)x 2+4k 2x+2k 2－2=022(1),1,2
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
所以x 1+x 2= ，x 1x 2=22412k k -+22
2212k k -+代入（*）得2222
2222
2242249|1||1|12121212k k k k k k k k ----++=-+++++化简得|8k 2－1|=9。

解得k=
经检验，直线l 的方程为y=
(x+1)
21.（本小题满分12分）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）将（0，﹣1），代入f （x ），即可求得b 的值，求导，由f′（1）=﹣2，即可求得a 的值；
（Ⅱ）求导，g′（x ）=e x ﹣2a，分类分别取得g （x ）在区间[0，1]上的最小值h （a ）解析式
解：（Ⅰ）曲线f （x ）在y 轴上的截距为﹣1，则过点（0，﹣1），代入f （x ）=e x ﹣ax 2﹣ex+b，
则1+b=﹣1，则b=﹣2，求导f′（x ）=e x ﹣2ax﹣e，由f′（1）=﹣2，即e﹣2a﹣e=﹣2，则a=1，∴实数a ，b 的值分别为1，﹣2；
（Ⅱ）f （x ）=e x ﹣ax 2﹣ex+b，g （x ）=f′（x ）=e x ﹣2ax﹣e，g′（x ）=e x ﹣2a，（1）当a≤时，∵x∈[0，1]，1≤e x ≤e，∴2a≤e x 恒成立，即g′（x ）=e x ﹣2a≥0，g （x ）在[0，1]上单调递增，∴g（x ）≥g（0）=1﹣e．
（2）当a ＞时，∵x∈[0，1]，1≤e x ≤e，∴2a＞e x 恒成立，即g′（x ）=e x ﹣2a＜0，g （x ）在[0，1]上单调递减，∴g（x ）≥g（1）=﹣2a
（3）当＜a≤时，g′（x ）=e x ﹣2a=0，得x=ln （2a ），g （x ）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a ，1]上单调递增，所以g （x ）≥g（ln2a ）=2a﹣2aln2a﹣e，∴
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
>
-≤<--≤
-=2
22
212ln 222
1
1)(e a a e a e
a a a a e a h 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
解：（1）
曲线的直角坐标方程为：……………….………3分
曲线的普通方程为： (5)
分
（2）将的参数方程：代入的方程：得：
……………..7分
由的几何意义可得：
23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
解：（1）
所以解集为：
(2)
所以的取值范围为：。