陕西西安2021高三数学上第一次质量检测(文)(解析版)

2021届陕西省西安市高三上学期第一次质量检测数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}
2
450A x x x =--<，{}1,0,1,2,3,5B =-，则A
B =（ ）．
A ．{}1,0-
B ．{}1,0,1-
C ．{}0,1,2
D ．{}0,1,2,3
【答案】D
【分析】解一元二次不等式求出集合A ，两集合取交集即可. 【详解】因为{}
15A x x =-<<，{}1,0,2,3,5B =-，所以{}0,1,2,3A B =．
故选：D
【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式，属于基础题. 2．若i 为虚数单位，(23)i i +=（ ） A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+
【答案】D
【分析】根据复数的基本运算可求出结果． 【详解】()2
232332i i i i i +=+=-+.
故选：D.
3．已知点()2,3A -在抛物线22y px =的准线上，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
【答案】C
【分析】由题意点()2,3A -在抛物线的准线上得到22
p
-
=-可得答案. 【详解】由已知得，抛物线2
2y px =的准线方程为2
p
x =-，且过点()2,3A -， 故22
p
-
=-，则4p =. 故选：C.
4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{}n a 中，2a ，8a ，12a 依次成等比数列，则4a 的值是（ ）
A ．
1619
B ．
2219
C ．26-
D ．58
【答案】A
【分析】由已知得11a =和2
8212a a a =⋅，可求出1
19
d =-
，利用等差数列的通项公式得到4a . 【详解】设公差不为零的等差数列{}n a 的公差为d ，则有0d ≠， 因为2a ，8a ，12a 依次成等比数列，11a =，
所以有2
8212a a a =⋅，即121(71)1()()a d a d a d +=++，整理得2119d a d =-，
因为0d ≠，所以119a d =-，119
d =-， 因此14316311919
a a d =+=-=， 故选：A.
5．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】观察九宫格中的图形变化规律，发现图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据些规律得到正确的答案． 【详解】观察已知的8个图象，
每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的， 根据这些规律观察四个答案， 发现B 符合要求． 故选B ．
【点睛】本题主要考查了归纳推理，它的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A ．6
B ．8
C ．12
D ．24
【答案】B
【分析】由三视图画出该三棱锥的直观图，进而求出该三锥体的体积即可.
【详解】由三视图画出该三棱锥的直观图，如下图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，4AB =，BC CD ⊥，且4BC =，3CD =， 所以该三棱锥的体积1
114348332
BCD
V S AB =⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：B.
【点睛】本题考查三视图，考查三棱锥体积的计算，考查学生的空间想象能力，属于基础题.
7．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+其中(0,2)ϕπ∈，若()6f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
对于一切x ∈R 恒成立，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．,()2k k k Z πππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣
⎦
B ．,()3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
C ．2,()63k k k ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦Z D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤
-∈⎢
⎥⎣⎦
【答案】B
【分析】先由三角函数的最值得π
2π6
k ϕ=
+，由其范围求得函数()f x 的解析式，进而可得单调增区间. 【详解】因为对任意
(),6x R f x f π⎛⎫
∈≤ ⎪⎝⎭
恒成立，所以sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则π2π6k ϕ=+，
又因为(0,2)ϕπ∈，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令()222262k x k k ππππ-
≤+≤π+∈Z ，解得()36
k x k k ππ
π-≤≤π+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间是,()36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦； 故选：B.
8．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2()f x f x +=，且当01x ≤≤时，()2
(12)f x g x =+，则()2021f -=
（ ） A ．lg3- B ．lg 9 C ．lg 3
D ．0
【答案】C
【分析】由()()2f x f x +=得出函数的周期2T =，所以()()20211f f -=代入解析式可得答案. 【详解】由()f x 满足()()2f x f x +=，
所以函数的周期2T =，且当01x ≤≤时，()2
(12)f x g x =+，
所以()()20211lg3f f -==. 故选：C.
9．直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P ,则2a b +=( ) A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】A
【分析】直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P ,可得1,2,k b ==求得()f x 的导数,可得1a =,即可求得答案. 【详解】
直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P
将()1,2P 代入1y kx =+可得:12k += 解得:1k =
()ln f x a x b =+
∴ ()a
f x x
'=
由(1)11
a
f '=
=,解得:1a =. 可得()ln f x x b =+,
根据()1,2P 在()ln f x x b =+上
∴ ()1ln12b f =+=,解得:2b =
故222 4.a b +=+= 故选:A.
【点睛】本题考查了根据切点求参数问题,解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
10．设1F 、2F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得123PF PF b +=，
129
4
PF PF ab ⋅=
，则该双曲线的离心率为（ ） A ．
43 B ．
53
C ．
94
D ．3
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出22949b b ab -=，可求得b a
，再由公式e =可求得双曲线的离心率的值.
【详解】由双曲线的定义得122PF PF a -=，又123PF PF b +=，
()()
2
2
221
2
1
2
94PF
PF PF
PF b a +--=-，即1249PF PF ab ⋅=，
因此22949b a ab -=，即2
9940b b a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭
，则33140b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，
解得
43b a =，1
3
b a =-（舍去），
因此，该双曲线的离心率为53c e a ====. 故选：B.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立a 、b 所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.
11．天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲､乙，丙､丁､戊､己､庚，辛，壬､癸；地支有十二，即：子､丑､寅､卯､辰，巳､午，未､申､酉､戌､亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：
2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（ ）年. A ．己巳 B ．甲申
C ．戊寅
D ．丙戌
【答案】C
【分析】利用列举法确定正确选项.
【详解】列表如下：
2049年是己巳年，往后数9年，得
2058年是戊寅年. 故选：C
12．三棱柱111ABC A B C -中，棱1AB AC AA 、
、两两垂直，12AA =，底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8 B ．10π
C ．12π
D ．π
【答案】 C
【分析】三棱柱底面是等腰直角三角形，把它补成一个正方体，正方体的外接球就是三棱柱的外接球，而正方体的对角线是球的直径，由此可得球半径，从而计算出表面积．
【详解】底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱111ABC A B C -可以补充成
边长为2的正方体，其外接球半径为：2
=，
所以球O 的表面积为2412ππ=， 故选：C ．.
二、填空题
13．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪
+⎨⎪⎩
，则2x y -的最大值为__________.
【答案】4
【分析】作出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出. 【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影分所示.
令2,2z x y y x z =-=-，作直线2y x =，向下平移，
易知当直线经过点(2)0，
时z 最大，所以max 2204z =⨯-=. 故答案为：4.
14．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10121414151516171717、、、、、、、、、，记这组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则,,a b c 由大到小的顺序为________. 【答案】c b a >>
【分析】根据平均数，中位数，众数的定义求出,,a b c 后可判断． 【详解】平均效101214215216173
10
a ++⨯+⨯++⨯=
14.7=，
中位数15b =，众数=17c ，则c b a >>. 故答案为：c b a >>.
15．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪⎩
，则23x y z +=的最大值__________.
【答案】9
【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解.
【详解】
由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域， 设12,22m m x y y x =+∴=-
+，它表示斜率为12-，纵截距为2
m
的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值. 当直线122m y x =-
+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2
m
最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=. 故答案为：9
【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；
（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。

16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足13
2
a =，22a =，()21241n n n S S S +++=+，则数列{}n a 的前16项和16S =__________. 【答案】84
【分析】由已知可得2111()()2n n n n S S S S +++---=
，即2112n n a a ++-=，又211
2
a a -=，可知数列{}n a 是等差
数列，由等差数列求和公式可求解.
【详解】将21()241n n n S S S +++=+变形为2111()()2n n n n S S S S +++---=，即2112
n n a a ++-=， 又132
a =
，22a =，211
2a a ∴-=符合上式，
{}n a ∴是首项132
a =，公差1
2d =的等差数列
16316151
1684222
S ⨯∴=⨯+⨯=.
故答案为：84
【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推关系及等差数列的求和公式，利用数列递推关系求数列通项公式常用的方法：（1）由n a 与n S 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的转化与化归思想及运算能力，属于基础题.
三、解答题
17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =． （1）若
sin 1sin sin A a b
B C a c
-=-+-，求角B ；
（2）若2c b =，当角B 最大时，求ABC 的面积．
【答案】（1）3
B π
=
；（2）3
S =
【分析】（1）根据正弦定理将原式化简为sin sin sin A b c a
B C a c b c
-==+-+．整理得：2220a c b ac +--=，再由
余弦定理和角的范围可求得答案.
（2）2c b =由余弦定理可求得， 2
43cos 8b B b
+=，再运用基本不等式可求得其最小值，即得角B 取得的最大
值，从而求得答案． 【详解】（1）因为
sin 1sin sin A a b B C a c
-=-+-，所以得sin sin sin A b c a
B C a c b c -==+-+．
得：2220a c b ac +--=，1cos 2B ∴=
，0B π<<，3
B π
∴=；
（2）在ABC 中，2222cos b a c ac B =+-，2c b =，
所以24313cos +cos
82826b b B b b π+==≥==，当且仅当1328b b =
，即b = 又因为cos y B =在()0π，上单调递减，所以此时角B 取得最大值6
B π
=，
又2c b =，由正弦定理得1sin 2sin 212C B ==⨯
=，所以2
C π
=，2a =，
所以122S =
=
． 【点睛】本题考查运用正弦定理、余弦定理求解三角形，关键在于利用已知条件判别选用合适的定理求解，注意公式的特点和适用的条件，属于中档题.
18．某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y (单位：万元)的数据如下表：
（1）求y 关于t 的线性回方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()
()
1
2
1
ˆn
i
i i n
i i t
t
y y b
t t ==--=-∑∑，ˆˆa
y bt =-. 【答案】（1）ˆ0.5 2.3y t =+；（2）预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元.
【分析】（1）根据题中条件，求出t ，y ，利用最小二乘法求出ˆb
和ˆa ，即可得出回归直线方程； （2）根据（1）的结果，可直接得出2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况；再令8t =代入回归直线，即可得出预测值. 【详解】（1）由所给数据计算得1
(1234567)47
t =
++++++=，
1
(2.9 3.3
3.6
4.4 4.8
5.2 5.9) 4.37
y =++++++=.
()
2
941014928i t t -=++++++=，
()()(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.614i i t t y y --=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=.
()()
()
7
1
2
1
14
ˆ0.528
i
i i n
i i t
t
y y b
t t ==--==
=-∑∑， ˆˆ 4.30.54 2.3a
y b =-=-⨯=， 所求回归方程为ˆ0.5 2.3y
t =+； （2）由（1）知，0.50b =>，故2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元.
将2021年的年份代号8t =代入（1）中的回归方程得ˆ0.58 2.3 6.3y
=⨯+=. 故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元. 【点睛】思路点睛：
利用最小二乘法求回归直线方程时，一般先根据题中条件，计算两变量的均值，再根据最小二乘法对应的公式，
求出ˆb
和ˆa ，即可得解. 19．如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD △为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD E F ，、分别是AD CD 、的中点.
（1）证明：BD PF ⊥；
（2）若M 是棱PB 上一点，三棱锥M PAD -与三棱锥P DEF -的体积相等，求M 点的位置.
【答案】（1）证明见解析；（2）M 点在PB 上靠近P 点的四等分点处.
【分析】（1）连接AC ，由//AC EF ，可证明BD EF ⊥，BD PE ⊥，从而得BD ⊥平面PEF ，得证线线垂直； （2）设设
PM MB λ=，则1
PM PB λ
λ=+，根据棱锥的体积公式，利用体积法得出结论，由1
1M PAD B PAD P ABD V V V λλ
λλ---=
=
++，11
44
P DEF P ACD P ABD V V V ---==，可得λ值． 【详解】（1）连接AC PA PD =，且E 是AD 的中点，PE AD ⊥∴. 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD
平面ABCD AD PE =⊂，平面PAD .
PE ∴⊥平面ABCD BD ⊂，平面ABCD BD PE ∴⊥，
. 又ABCD 为菱形，且E F 、分别为棱AD CD 、的中点，//EF AC ∴.
BD AC BD EF ⊥∴⊥，，又BD PE PE EF E BD ⊥⋂=∴⊥，，平面PEF ； PF ∴⊂平面PEF BD PF ∴⊥，
. （2）如图，连接MA MD 、， 设
PM MB λ=，则1
PM PB λ
λ=+， 1
1
M PAD B PAD P ABD V V V λλλλ---∴=
=
++，
1
4DEF DAC S S =△△，则1144
P DEF P ACD P ABD V V V ---==，又M PAD P DEF V V --=. 114
λ
λ∴
=
+.
解得1
3
λ=，即M 点在PB 上靠近P 点的四等分点处.
【点睛】方法点睛：本题考查由线面垂直证明线线垂直，考查由体积法求线段的比值．若M 是棱锥P ABC -棱
PA 上一点，则
M ABC P ABC V MA
V PA
--=．三棱锥求体积时可以换底，这样求体积比较灵活简便． 20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四
边形ADBE
的面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ 的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值.
【答案】（1）22
195
x y +=；
（2）T 横坐标为定值92，证明见解析. 【分析】（1）根据题意
23c a =
，1
222
a b ⋅⋅=a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b ，c 的值，即可得答案； （2）设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ，根据TA
PA k k =，
TB QB k k =可得012612
33
33x y x x x y --=⋅++，根据11(,)P x y 在椭圆C 上，代入方程化简整理可得
012012
3333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)
59x x y y ---，设直线PQ 的方程为
2x my =+，与椭圆C 联立，得到关于y 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,y y y y +⋅的表达式，代入
上式，即可得证
【详解】（1）设椭圆C 的半焦距长为c
，根据题意222
2
3
1
222c a a b c a b
⎧=⎪⎪
⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩
32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，
故C 的标准方程为22
195
x y +=.
（2）由（1）知()30A -,
，()3,0B ，()2,0F ， 设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ，
由010133
TA PA y y
k k x x =⇒
=++'①， 02
0233
TB QB y y k k x x =⇒
=--，② ①②两式相除得012012
33
33x y x x x y --=⋅++， 又2211195x y +=，故2211195
x y -=-， 所以2
111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+. 所以
012012
3333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③ 由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点，所以设直线PQ 的方程为2x my =+，
代入22
195x y +=整理，得22(902)5250m y my ++-=，
把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
代入③，
所以
0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()1
59m y y m y y y y -++=-⋅ 所以
0033x x -+22222520()()1
5
5959259
59
m
m m m m m --
-+++=-⋅-+15=
解得092
x =
. 所以点T 横坐标为定值
92
. 【点睛】解题的关键是根据A 、P 、T 和B 、Q 、T 共线得到TA PA k k =，TB QB k k =，化简整理，结合韦达定理求
解，直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
21．设函数()()()()f x x a x b x c =---，,,a b c ∈R ，'()f x 为()f x 的导函数.
（1）若a b c ==，()48f =，求a 的值； （2）若a
b ，b
c =，且()f x 和
'()f x 的零点均在集合{}3,1,3-中，求()f x 的极小值.
【答案】（1）2a = ；（2）32- .
【分析】（1）由题意得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值；
（2）由题意首先确定a ,b ,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值. 【详解】（1）因为a b c ==，所以()()()()()3
f x x a x b x c x a =---=-. 因为()48f =，所以()3
48a -=，解得2a =.
（2）因为b c =，
所以2
3
2
2
()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，
从而2'()3()3a b f x x b x +⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭.令'()0f x =，得x b =或23a b x +=. 因为a ，b ，
23
a b
+都在集合{}3,1,3-中，且a b ，所以
213
a b
+=，3a =，3b =-. 此时()()2
()33f x x x =-+，()()'()331f x x x =+-. 令'()0f x =，得3x =-或1x =.列表如下：
所以()f x 的极小值为()()()2
1131332f =-+=-.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关导数的问题，解题方法如下：
（1）利用()48f =，代入函数解析式，得到关于a 的等量关系式，求得结果；
（2）对函数求导，得到2'()3()3a b f x x b x +⎛⎫=--
⎪
⎝⎭，根据题意，得到a ，b ，23
a b
+都在集合{}3,1,3-中，从而求得函数解析式，根据函数的单调性，确定其极小值.
22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为
212cos 110ρρθ++=
（1）求圆心C 的直角坐标；
（2）若直线l 的参数方程是cos sin x t y t α
α=⎧⎨
=⎩
(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，||AB =，求l 的斜率.
【答案】（1）(6,0)-；（2）
3
或3-. 【分析】（1）将cos ,sin x y ρθρθ==，2
2
2
x y ρ+=代入2
12cos 110ρρθ++=即可得到； （2）将直线l 的参数方程化为极坐标方程，结合ρ的几何意义，利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）将cos ,sin x y ρθρθ==，2
2
2
x y ρ+=代入2
12cos 110ρρθ++=得
2212110x y x +++=，即22(6)25x y ++=，
所以圆C 的圆心坐标为(6,0)-；
（2）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαα=∈， 设A ，B 所对应的极径分别为12,ρρ.
将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得2
12cos 110ρρα++=. 于是121212cos ,11ρραρρ+=-=
12||AB ρρ=-=
=
由||AB =得23cos ,tan 8αα=
=±
所以l 的斜率为
3
或3-. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的互相转化，以及ρ的几何意义，属于中档题.
23．已知函数()2
1f x x =+，()|||21|g x x a x =---，12
a ≥
. （1）当12
a =
时，解不等式2
7()2g x <-；
（2）对任意1x ，2x R ∈，若不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）(,2)
(2,)-∞-+∞；（2）
1322
a ≤≤. 【分析】（1）化简()g x ，由题意可得2
17||22
x ->，由绝对值不等式的解法可求解；
（2）由题意知，只需满足()min max ()g x f x ≥即可，由二次函数性质可得min ()f x ，运用分段函数的形式写出()g x ，求出max ()g x ，解不等式即可求解.
【详解】（1）当12a =
时，11
()||21||22g x x x x =---=--， 不等式27()2g x <，即217||22x --<-，即2
17||22
x ->，
解得24x >或23x <-(舍去)，由24x >，解得2x <-或2x >. 所以不等式2
7()2
g x <-的解集是(,2)
(2,)-∞-+∞.
（2）由题意知，只需满足()min max ()g x f x ≥即可.
()21f x x =+，()min 1f x ∴=，
依题意，当12a ≥时，11,21()31,21,x a x g x x a x a x a x a ⎧
+-<⎪⎪
⎪
=-++≤≤⎨⎪
--+>⎪⎪⎩
，
由一次函数性质知，()g x 在1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
和(),a +∞上单调递减，max
11()()22g x g a ∴==-. 由()min max ()g x f x ≥，得1
12a -≥，即32
a ≤. 所以实数a 的取值范围是：
1322
a ≤≤. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a
b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈
（1）若[]1,x a b ∀∈，[]
2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[
]
1,x a b ∀∈，[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]
1,x a b ∃∈，[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；
（4）若[]
1,x a b ∀∈，[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．。