2018年北京高考数学(文)试题及答案

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2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1)已知集合A=｛（x｜|x｜<2)｝,B=｛−2,0，1,2}，则A B=
（A）{0，1} （B）{−1,0,1}
（C）{−2，0，1，2｝(D){−1，0，1，2｝
（2）在复平面内，复数
1
1i-
的共轭复数对应的点位于
（A)第一象限(B)第二象限
（C）第三象限（D）第四象限(3）执行如图所示的程序框图,输出的s值为
（A）1
2
（B）
5
6
（C)7
6
（D）
7
12
（4)设a，b，c,d是非零实数，则“ad=bc"是“a，b，c，d成等比数列"的
(A）充分而不必要条件(B）必要而不充分条件
(C）充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(5）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.
若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为学科＃网
（A32322
（C ）1252f
（D ）1272f
(6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为
（A ）1 （B)2 （C)3
（D ）4
(7）在平面直角坐标系中,,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是
（A ）AB
（B ）CD
(C ）EF
（D)GH
(8)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则
（A)对任意实数a ，(2,1)A ∈ (B)对任意实数a ，（2,1）A ∉
（C)当且仅当a 〈0时，（2，1）A ∉
（D ）当且仅当3
2
a ≤
时，（2,1)A ∉ 第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9)设向量a =（1,0),b =(−1,m ），若()m ⊥-a a b ，则m =_________.
(10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛
物线的焦点坐标为_________. （11）能说明“若a ﹥b ,则
11
a b
<"为假命题的一组a ,b 的值依次为_________。

（12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为
2
,则a =_________. （13）若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y−x 的最小值是_________。

(14)若ABC △的面积为
2
22)4
a c
b +-，且∠C 为钝角,则∠B =_________；
c a 的取值范
围是_________.
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15）（本小题13分)
设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=.
(Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求12e e e n a a a +++.
（16)(本小题13分）
已知函数2()sin cos f x x x x =+。

(Ⅰ)求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ)若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为3
2
，求m 的最小值.
（17)（本小题13分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值。

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(Ⅱ）随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率；学科％网
(Ⅲ）电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0。

1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)
（18）（本小题14分）
如图,在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为矩形,平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A =PD ，E ,F 分别为AD ，PB 的中点。

(Ⅰ)求证:PE ⊥BC ;
（Ⅱ）求证：平面P AB ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求证：EF ∥平面PCD .
（19)(本小题13分）
设函数2()[(31)32]e x
f x ax a x a =-+++.
(Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0,求a ；
（Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围.
（20)（本小题14分）
已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3
，焦距为k 的直线
l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B 。

（Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =,求||AB 的最大值;
(Ⅲ）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D 。

若C ,D 和点71
(,)44
Q -共线，求k .
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文科数学试题参考答案
一、选择题 （1）A (2）D (3)B (4）B
（5)D
（6）C (7)C （8）D
二、填空题 (9)1-
（10）(1,0)
（11）11-(答案不唯一） （12）4
（13）3
（14）60(2,)︒+∞
三、解答题 15．（共13分）
解：(I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，
∵235ln 2a a +=，
∴1235ln 2a d +=， 又1ln 2a =,∴ln 2d =。

∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=。

（II ）由（I ）知ln 2n a n =，
∵ln 2ln 2e
e e =2n
n
a n n ==,
∴{e }n a
是以2为首项,2为公比的等比数列。

∴2
12ln 2ln 2ln 2e e e e e e n
n a a a
++
+=++
+
2=222n +++
1=22n +-。

∴12e e e n a a a +++1=22n +-。

16.(共13分）
解：（Ⅰ)1cos 211π1
()22cos 2sin(2)2222262
x f x x x x x -=
+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2π
π2T =
=。

（Ⅱ）由(Ⅰ）知π1()sin(2)6
2
f x x =-+。

因为π[,]3x m ∈-
,所以π5ππ2[,2]666
x m -∈--。

要使得()f x 在π[,]3m -
上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π
[,]3
m -上的最大值为1。

所以ππ262m -
≥，即π3
m ≥. 所以m 的最小值为
π
3
. 17。

（共13分）
(Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0。

25=50, 故所求概率为
50
0.0252000
=。

（Ⅱ）方法一：由题意知,样本中获得好评的电影部数是
140×0。

4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0。

2+510×0。

1 =56+10+45+50+160+51 =372。

故所求概率估计为372
10.8142000
-
=. 方法二：设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B 。

没有获得好评的电影共有140×0。

6+50×0。

8+300×0。

85+200×0。

75+800×0。

8+510×0。

9=1628部.
由古典概型概率公式得1628
0.8142)00
(0P B =
=. (Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率。

18。

（共14分）
【解析】（Ⅰ)∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥。

∵底面ABCD 为矩形，∴BC AD ∥， ∴PE BC ⊥。

(Ⅱ）∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD 。

∴AB PD ⊥.又PA PD ⊥，
∴PD ⊥平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面PCD . （Ⅲ)如图,取PC 中点G ，连接,FG GD .
∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥,且1
2
FG BC =。

∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， ∴1
,2
ED BC DE BC =
∥, ∴ED FG ∥,且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.
又EF ⊄平面PCD ,GD ⊂平面PCD , ∴EF ∥平面PCD . 19. （13分）
解：(Ⅰ）因为2
()[(31)32]e x
f x ax a x a =-+++,
所以2()[(1)1]e x
f x ax a x '=-++。

2(2)(21)e f a '=-，
由题设知(2)0f '=,即2
(21)e 0a -=，解得12
a =
. （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ)得2
()[(1)1]e (1)(1)e x
x
f x ax a x ax x '=-++=--。

若a >1，则当1(,1)x a
∈时，()0f x '<；
当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>。

所以()f x 在x =1处取得极小值。

若1a ≤，则当(0,1)x ∈时,110ax x -≤-<,
所以()0f x '>.
所以1不是()f x 的极小值点.
综上可知，a 的取值范围是(1,)+∞.
方法二:()(1)(1)e x
f x ax x '=--。

（1）当a =0时，令()0f x '=得x =1.
(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：
∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意。

（2)当a >0时，令()0f x '=得121
,1a
x x =
=。

①当12x x =，即a =1时，2()(1)e 0x
f x x '=-≥，
∴()f x 在R 上单调递增.
∴()f x 无极值，不合题意。

②当12x x >，即0〈a 〈1时，(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：
∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意。

③当12x x <，即a 〉1时，(),()f x f x '随x 的变化情况如下表:
∴()f x 在x =1处取得极小值，即a >1满足题意.
（3）当a 〈0时,令()0f x '=得121
,1a
x x =
=。

(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：
∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意。

综上所述，a 的取值范围为(1,)+∞.
20．(共14分）
【解析】
（Ⅰ）由题意得2c =
，所以c =
又c e a =
=
，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2
213
x y +=．
(Ⅱ)设直线AB 的方程为y x m =+，
由22
13
y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2
2
2
3644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <,
设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则1232m x x +=-,21233
4
m x x -=，
则12|||AB x x =-==
易得当20m =时
,max ||AB =,故||AB
． （Ⅲ）设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ，44(,)D x y ，
则221133x y += ①,22
2233x y += ②，
又(2,0)P -，所以可设1
112
PA y k k x ==
+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122
(2)13
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=，
则2113211213k x x k +=-+，即2
1312
1
1213k x x k =--+， 又1112y k x =
+,代入①式可得13171247x x x --=+,所以1
3147
y y x =+，
所以1111712(
,)4747x y C x x --++,同理可得22
22712(,)4747
x y D x x --++．
故3371(,)44QC x y =+
-，4471
(,)44
QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437
171()()()()04
4
4
4
x y x y +--+-=，
将点,C D 的坐标代入化简可得12
12
1y y x x -=-,即1k =。