专题33 复数-2018年高考数学文热点题型和提分秘籍 含

1.理解复数的基本概念
2.理解复数相等的充要条件
3.了解复数的代数表示法及其几何意义
4.会进行复数代数形式的四则运算
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义
热点题型一 复数的有关概念
例1、【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是
A ．i(1+i)2
B ．i 2(1-i)
C ．(1+i)2
D ．i(1+i)
【答案】C
【解析】由2
(1)2i i +=为纯虚数知选C ．
【变式探究】(1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ． 2－i C ．5＋i D ．5－i (2)设i 是虚数单位，若复数a －10
3－i
(a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 【答案】（1）D （2）D
【提分秘籍】
处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理。

【举一反三】
设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b
i 为纯虚数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】ab ＝0⇒a ＝0或b ＝0，这时a ＋b i ＝a －b i 不一定为纯虚数，但如果a ＋b
i ＝a －b i 为纯虚数，
则有a ＝0且b ≠0，这时有ab ＝0，由此知选B 。

热点题型二 复数的几何意义
例2、【2017课标3，文2】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】C
【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C.
【变式探究】(1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)复数z ＝
－
2
i
(i 为虚数单位)，则|z |＝( )
A ．25
B .41
C ．5 D. 5
【答案】（1）B （2）C
【提分秘籍】
(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ →。

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。

提醒：|z |的几何意义：令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|z |＝x 2
＋y 2
，由此可知表示复数z 的点到原点的距离就是|z |的几何意义；|z 1－z 2|的几何意义是复平面内表示复数z 1，z 2的两点之间的距离。

【举一反三】
如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D 【答案】B
热点题型三 复数的运算
例3．【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2
z = A.-2i B.2i C.-2 D.2
【答案】A
【解析】由i 1i z =+得22(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以2
2i z =-,故选A.
【变式探究】(1)已知复数z ＝
3＋i －3
2
，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝__________。

(2)
2＋23
＋－
－
＝__________。

(3)已知复数z 满足
i
z ＋i
＝2－i ，则z ＝__________。

【解析】(1)方法一：|z |＝|3＋i|－3
2
|＝12
，z ·z ＝|z |2＝14。

＝－42i 。

(3)由
i z ＋i ＝2－i ，得z ＝i
2－i
－i ＝＋
5
－i ＝25i －15－i ＝－15－3
5
i 。

【提分秘籍】
利用复数的四则运算求复数的一般思路
(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可。

(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简。

(3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解。

【举一反三】
设z ＝1＋i ，则2z
＋z 2
等于( )
A ．1＋i
B ．－1＋i
C ．－i
D ．1－i 【答案】A
【解析】2z ＋z 2＝21＋i
＋(1＋i)2
＝
－＋
－
＋2i ＝
－
2
＋2i ＝1－i ＋2i ＝1＋i 。

1.【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是
A ．i(1+i)2
B ．i 2(1-i)
C ．(1+i)2
D ．i(1+i)
【答案】C
【解析】由2
(1)2i i +=为纯虚数知选C ． 2.【2017课标II ，文2】(1i)(2i)++=
A.1i -
B.13i +
C.3i +
D.33i + 【答案】B 【解析】由题意
，故选B.
3.【2017课标3，文2】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C.
4.【2017北京，文2】若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 （A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ 【答案】B
5.【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2
z = A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A
【解析】由i 1i z =+得22
(i)(1i)z =+,即2
2i z -=,所以2
2i z =-,故选A.
1.【2016高考新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ）
（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i -
【答案】C
【解析】由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C. 2. [2016高考新课标Ⅲ文数]若43i z =+，则||
z
z ＝（ ） （A ）1 （B ）1-
（C ）43i 55
+
（D ）
43i 55
- 【答案】D 【解析】
43i ||55
z z ==-，故选D ． 3.【2016高考四川文科】设i 为虚数单位，则复数2(1)i +=( ) (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C
【解析】由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 4.【2016高考山东文数】若复数2
1i
z =-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） （A ）1+i
（B ）1−i
（C ）−1+i （D ）−1−i
【答案】B 【解析】22(1)
1,11(1)(1)
i z i z i i i i +=
==+∴=---+，选B. 5.【2016高考天津文数】i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z +=，则z 的实部为_______. 【答案】1
【解析】2
(1)211i z z i i
+=⇒=
=-+，所以z 的实部为1 1.【2015高考新课标1，文3】已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ） （A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +
【答案】C
【解析】∴(1)1z i i -=+，∴212(12)()
2i i i z i i i
++-=
==--，故选C. 2.【2015高考山东，文2】若复数Z 满足
1z
i
-i =，其中i 为虚数单位，则Z=( ) （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 【答案】A
【解析】由题意(1)1,z i i i =-=+所以，1z i =-，故选A .
3.【2015高考湖南，文1】已知2
(1)i z
-=1i +（i 为虚数单位），则复数z = ( )
A 、1i +
B 、1i -
C 、 1i -+
D 、1i -- 【答案】D
【解析】由题22(1)(1)22(1i)
1,1112
i i i i i z i z i i -----=+∴====--++ ，故选D. 4.【2015高考湖北，文1】i 为虚数单位，607i =（ ）
A ．i -
B ．i
C ．1-
D ．1 【答案】A .
【解析】因为6072303()i i i i =⋅=-，所以应选A . 5.【2015高考广东，文2】已知i 是虚数单位，则复数()2
1i +=（ ）
A ．2-
B ．2
C ．2i -
D ．2i 【答案】D
【解析】()2
2
1121212i i i i i +=++=+-=，故选D ．
6.【2015高考福建，文1】若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ）
A ．3,2-
B ．3,2
C ．3,3-
D ．1,4- 【答案】A
【解析】由已知得32i a bi -=+，所以3,2a b ==-，选A ．
7.【2015高考安徽，文1】设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ） （A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i 【答案】C
【解析】因为2
(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C . 8.【2015高考北京，文9】复数()1i i +的实部为 ． 【答案】1-
【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-.
9.【2015高考重庆，文11】复数(12i)i +的实部为________. 【答案】-2
【解析】由于2(12i)i 22i i i +=+=-+,故知其实部为-2，故填：-2. 10.【2015高考四川，文11】设i 是虚数单位，则复数1i i
-＝_________. 【答案】2i
【解析】12i i i i i
-=+=
11.【2015高考天津，文9】i 是虚数单位,计算12i
2i
-+ 的结果为 ． 【答案】-i
【解析】
()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i
-+---===-+++. 12.【2015高考上海，文3】若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z . 【答案】
i 2
141+
（2014·浙江卷）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2
＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由a ，b ∈R，(a ＋b i)2
＝a 2
－b 2
＋2ab i ＝2i, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2
－b 2
＝0，2ab ＝2，所以⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，b ＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.故选A.
（2014·全国卷）设z ＝10i
3＋i ，则z 的共轭复数为( )
A ．－1＋3i
B ．－1－3i
C ．1＋3i
D ．1－3i 【答案】D
【解析】z ＝10i 3＋i ＝10i （3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝10（1＋3i ）
10＝1＋3i ，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1
－3i.
（2014·北京卷）复数⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1＋i 1－i 2
＝________．
【答案】－1
【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）2
（1－i ）（1＋i ）2＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫2i 22
＝－1.
（2014·福建卷）复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i 【答案】C
【解析】由复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，得复数z 的共轭复数z ＝2－3i. （2014·广东卷）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3＋4i B ．－3－4i C ．3＋4i D ．3－4i 【答案】D
（2014·湖北卷）i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－i 1＋i 2
＝( )
A ．－1
B ．1
C ．－i
D ．i 【答案】A
【解析】⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i 2
＝－2i 2i ＝－1.故选A.
（2014·湖南卷）满足z ＋i
z
＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i
【答案】B 【解析】因为
z ＋i z ＝i ，则z ＋i ＝z i ，所以z ＝i i －1＝i （－1－i ）（i －1）（－1－i ）＝1－i
2
. 10．（2014·江西卷）z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －
)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i
【答案】D 【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －
＝a －b i ，所以2a ＝2，－2b ＝2，得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1－i.
11．（2014·辽宁卷）设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 【答案】A
【解析】由(z －2i)(2－i)＝5，得z －2i ＝
5
2－i
，故z ＝2＋3i. 12．（2014·新课标全国卷Ⅰ] （1＋i ）
3
（1－i ）2＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i 【答案】D
【解析】（1＋i ）3
（1－i ）2＝（1＋i ）2
（1＋i ）（1－i ）2
＝2i （1＋i ）
－2i
＝－1－i. 13．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )
A ．－5
B ．5
C ．－4＋i
D ．－4－i 【答案】A
【解析】由题知z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2
－4＝－5.
14．（2014·山东卷）已知a ，b ∈R，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2
＝( )
A ．5－4i
B ．5＋4i
C ．3－4i
D ．3＋4i
【答案】D
【解析】因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2
＝3＋4i.故选
D.
15．（2014·四川卷）复数2－2i 1＋i
＝________． 【答案】－2i
【解析】2－2i 1＋i ＝2（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）
＝－2i. 16．（2014·天津卷）i 是虚数单位，复数7＋i 3＋4i
＝( ) A ．1－i B ．－1＋i
C.1725＋3125i D ．－177＋257i 【答案】A
【解析】7＋i 3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－25i 32＋42＝1－i.
1．已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( )
A ．－3－4i
B ．－3＋4i
C ．3－4i
D ．3＋4i
【答案】D
【解析】由(3－4i)z ＝25⇒z ＝253－4i ＝＋－＋＝3＋4i ，选D 。

2.1＋3i 1－i ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i
C ．1－2i
D ．－1－2i
【答案】B
【解析】1＋3i 1－i ＝＋＋－＋＝－1＋2i ，故选B 。

3．若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )
A ．1
B ．2 C. 2 D. 3
【答案】C
4．设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( )
A ．2＋3i
B ．2－3i
C ．3＋2i
D ．3－2i
【答案】A
【解析】方法一：由题知(z －2i)(2－i)＝5，所以z ＝
52－i ＋2i ＝52＋i 2－i 2＋i ＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i 。

方法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，所以[a ＋(b －2)i](2－i)＝5，利用复数相等即实部与实部、虚部与
虚部分别相等，得到⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b －2＝5，2b －4－a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3.所以z ＝2＋3i ，故选A 。

5．i 为虚数单位，⎝
⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．1 B ．－1
C ．i
D ．－i
【答案】B
【解析】⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1，选B 。

6．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2＝( )
A ．3－4i
B ．3＋4i
C ．4－3i
D ．4＋3i
【答案】A
【解析】由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1，则(a ＋b i)2＝(2－i)2
＝3－4i 。

7．复数3＋i i 2(i 为虚数单位)的实部等于__________。

【答案】－3
【解析】直接运算得，3＋i i 2＝－(3＋i)＝－3－i ，故实部为－3。

8．若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R)，则x ＝__________。

【答案】2
【解析】(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2。

9．已知i 是虚数单位，计算
1－i ＋2＝__________。

【答案】－1－i 2
【解析】1－i ＋2＝
1－i 2i ＝－－2＝－1－i 2。

10．要使复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4
i 为纯虚数，其中的实数a 是否存在？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。