高二数学ppt课件 推理与证明课件2
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类比推理得到的结论可以作为定理使用．( (3)归纳推理是由个别得到一般的推理．(
解析：(1)对，用样本估计总体，是由个别得到一般， 所以，这种估计属于归纳推理． (2)错，类比推理的结论不一定正确. (3)对，由归纳推理的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图 形为( A. C. ) B. D.
解：如图所示，我们知道， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理 可得 c2＝a2＋b2.
解析： 数一数可知各图形中火柴的根数依次为： 4， 7， 10，13，…，可见后一个图形比前一个图形多 3 根火柴， 它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒 16 根，第 n 个图形中有火柴棒 3n＋1 根． 答案：16 3n＋1
类型 3 类比推理 [典例 3] 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给 出空间中四面体性质的猜想．
类型 2 图形中的归纳推理 [典例 2] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的 规律拼成若干个图案， 则第 6 个图案中有菱形纹的正六边 形的个数是( )
A．26 B．31 C．32 D．36
解析：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 1 2 3 …
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成 一个以 6 为首项，以 5 为公差的等差数列，所以第六个图 案中有菱形纹的正六边形的个数是 6＋5×(6－1)＝31.
由两类对象具有某些类 类比 推理 似特征和其中一类对象 类比推理是特 的某些已知特征，推出 殊到特殊的推 另一类对象也具有这些 理. 特征的推理.
温馨提示 根据部分对象归纳得出的结论不一定正 确，类比得出的结论也不一定正确，其正确与否还要进一 步判断．
2．合情推理 (1)含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实， 经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然 后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
(2)合情推理的过程： 从具体问 观察、分析 → → 归纳、类比 → 提出猜想 题出发 比较、联想
温馨提示 合情推理得出的结论不一定是唯一的， 侧 重点不同，结论也会不同．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计 总体，这种估计属于归纳推理．( ) ) )
第二章
推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和 类比等进行简单的推理(重点、难点)． 2.了解合情推理 在数学发现中的作用(重点).
[知识提炼· 梳理] 1．归纳推理和类比推理
推理类型 定义 由某类事物的部分对象具有 某些特征，推出该类事物的全 归纳推理 部对象都具有这些特征的推 理，或者由个别事实概括出一 般结论的推理. 特征 归纳推理是 由部分到整 体， 由个别到 一般的推理．
5．观察下列等式：1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9 ＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推 测第 n 个等式为_________________________________． 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1(1 ＋2＋3＋…＋n)
答案：B
归纳升华 通过一组平面或空间图形的变化规律， 研究其一般性 结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特 征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：
[ 变式训练 ] 如图所示，由火柴棒拼成的一列图形 中，第 n 个图形中由 n 个正方形组成：
通过观察可以发现：第 5 个图形中，火柴棒有____ 根；第 n 个图形中，火柴棒有________根．
4．等差数列{an}中，an＞0，公差 d＞0，则有 a4·a6 ＞a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若 bn＞0， q＞1，写出 b5，b7，b4，b8 的一个不等关系________． 解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有 b4 ＋b8＞b5＋b7. 答案：b4＋b8＞b5＋b7
[变式训练] 已知数列{an}，满足 a1＝1，an＋1＝2an ＋1(n＝1，2，3，…)．归纳猜想出数列 {an}的通项公式 an＝______________． 解析：由 a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－ 1， a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出 an＝2n－1(n∈N*)． 答案：2n－1(n∈N*)
又 2 S2＝a2＋1，所以 2 a1＋a2＝a2＋1，
* 所以 a2 － 2 a － 3 ＝ 0. 因为对一切的 n ∈ N ，an＞0， 2 2
所以 a2＝3.同理可求得 a3＝5，a4＝7，猜测出 an＝2n －1. 答案：2n－1
归纳升华 归纳推理具有从特殊到一般， 由具体到抽象的认知功 能，在数列问题中，常用归纳推理猜测求解数列的通项公 式或前 n 项和公式，其具体步骤是：(1)通过条件求得数 列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜 测数列的通项公式并加以证明．
解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、 三角三种形状均各出现一次；②每行、每列有两个阴影一 个空白，即得结果． 答案：A
3．已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面 底×高 积公式 S＝ ，可推知扇形面积等于( 2 l＋ r r2 l2 lr A. B. C. D. 2 2 2 2 解析：三角形的高对应扇形的半径，三角形的底对应 1 lr 扇形的弧长，所以可猜测为 S＝ rl＝ . 2 2 答案：C )
类型 1 数、式、数列中的归纳推理(自主研析) [典例 1] 已知数列{an}对一切的 n∈N*，an＞0，设 其前 n 项和为 Sn，且 2 Sn＝an＋1，则通过前几项猜想出 数列的通项公式为 an＝____________．
解析：因为 2 Sn＝an＋1，所以 2 S1＝a1＋1， 即 2 a1＝a1＋1，所以 a1＝1.
解析：(1)对，用样本估计总体，是由个别得到一般， 所以，这种估计属于归纳推理． (2)错，类比推理的结论不一定正确. (3)对，由归纳推理的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图 形为( A. C. ) B. D.
解：如图所示，我们知道， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理 可得 c2＝a2＋b2.
解析： 数一数可知各图形中火柴的根数依次为： 4， 7， 10，13，…，可见后一个图形比前一个图形多 3 根火柴， 它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒 16 根，第 n 个图形中有火柴棒 3n＋1 根． 答案：16 3n＋1
类型 3 类比推理 [典例 3] 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给 出空间中四面体性质的猜想．
类型 2 图形中的归纳推理 [典例 2] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的 规律拼成若干个图案， 则第 6 个图案中有菱形纹的正六边 形的个数是( )
A．26 B．31 C．32 D．36
解析：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 1 2 3 …
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成 一个以 6 为首项，以 5 为公差的等差数列，所以第六个图 案中有菱形纹的正六边形的个数是 6＋5×(6－1)＝31.
由两类对象具有某些类 类比 推理 似特征和其中一类对象 类比推理是特 的某些已知特征，推出 殊到特殊的推 另一类对象也具有这些 理. 特征的推理.
温馨提示 根据部分对象归纳得出的结论不一定正 确，类比得出的结论也不一定正确，其正确与否还要进一 步判断．
2．合情推理 (1)含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实， 经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然 后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
(2)合情推理的过程： 从具体问 观察、分析 → → 归纳、类比 → 提出猜想 题出发 比较、联想
温馨提示 合情推理得出的结论不一定是唯一的， 侧 重点不同，结论也会不同．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计 总体，这种估计属于归纳推理．( ) ) )
第二章
推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和 类比等进行简单的推理(重点、难点)． 2.了解合情推理 在数学发现中的作用(重点).
[知识提炼· 梳理] 1．归纳推理和类比推理
推理类型 定义 由某类事物的部分对象具有 某些特征，推出该类事物的全 归纳推理 部对象都具有这些特征的推 理，或者由个别事实概括出一 般结论的推理. 特征 归纳推理是 由部分到整 体， 由个别到 一般的推理．
5．观察下列等式：1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9 ＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推 测第 n 个等式为_________________________________． 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1(1 ＋2＋3＋…＋n)
答案：B
归纳升华 通过一组平面或空间图形的变化规律， 研究其一般性 结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特 征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：
[ 变式训练 ] 如图所示，由火柴棒拼成的一列图形 中，第 n 个图形中由 n 个正方形组成：
通过观察可以发现：第 5 个图形中，火柴棒有____ 根；第 n 个图形中，火柴棒有________根．
4．等差数列{an}中，an＞0，公差 d＞0，则有 a4·a6 ＞a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若 bn＞0， q＞1，写出 b5，b7，b4，b8 的一个不等关系________． 解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有 b4 ＋b8＞b5＋b7. 答案：b4＋b8＞b5＋b7
[变式训练] 已知数列{an}，满足 a1＝1，an＋1＝2an ＋1(n＝1，2，3，…)．归纳猜想出数列 {an}的通项公式 an＝______________． 解析：由 a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－ 1， a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出 an＝2n－1(n∈N*)． 答案：2n－1(n∈N*)
又 2 S2＝a2＋1，所以 2 a1＋a2＝a2＋1，
* 所以 a2 － 2 a － 3 ＝ 0. 因为对一切的 n ∈ N ，an＞0， 2 2
所以 a2＝3.同理可求得 a3＝5，a4＝7，猜测出 an＝2n －1. 答案：2n－1
归纳升华 归纳推理具有从特殊到一般， 由具体到抽象的认知功 能，在数列问题中，常用归纳推理猜测求解数列的通项公 式或前 n 项和公式，其具体步骤是：(1)通过条件求得数 列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜 测数列的通项公式并加以证明．
解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、 三角三种形状均各出现一次；②每行、每列有两个阴影一 个空白，即得结果． 答案：A
3．已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面 底×高 积公式 S＝ ，可推知扇形面积等于( 2 l＋ r r2 l2 lr A. B. C. D. 2 2 2 2 解析：三角形的高对应扇形的半径，三角形的底对应 1 lr 扇形的弧长，所以可猜测为 S＝ rl＝ . 2 2 答案：C )
类型 1 数、式、数列中的归纳推理(自主研析) [典例 1] 已知数列{an}对一切的 n∈N*，an＞0，设 其前 n 项和为 Sn，且 2 Sn＝an＋1，则通过前几项猜想出 数列的通项公式为 an＝____________．
解析：因为 2 Sn＝an＋1，所以 2 S1＝a1＋1， 即 2 a1＝a1＋1，所以 a1＝1.