《理论力学》质点动力学基本方程

小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
10.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种 不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。
★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立 地发明了微积分，给出了二项式定理。
★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自 然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原 理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理 论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将 这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。
v
v0 mvxdvx
x R
mgR2
dx x2
得
1 2
mv2
1 2
mv02
mgR2 ( 1 x
1) R
所以物体在任意位置的速度为：
v (v02 2gR) 2gR2 x
可见物体的速度将随x的增加而减小。
v (v02 2gR) 2gR2 x
若v0²<2gR，则物体在某一位置x＝R+H时速度将为零，此后物体将回落，
d2x m dt 2
FR
cos
Cv cos
y
FR v0
a
O
Mv
mg
v0 cosa
m
d2 y dt 2
FR
sin
mg
Cv sin
mg
x v0 cosa x
因为
dx dt
vx
v cos ,
dy dt
vy
v sin
将它们代入运动微分方程，并令 C ，得：
m
d2x dx 0, d2 y dy g
动力学引言
动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关 系。 动力学中所研究的力学模型是质点和质点系(包 括刚体)。 质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所 组成的系统。 刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个 质点间的距离保持不变，也称不变的质点系。
当a较大时，OA v0 cosa ，当a 较小时，由运动方程求。
质点的速度公式为
vx v0 cosae t
vy
(v0
sin a
g
)e t
g
由上式可见，质点的速度在水平方向的投影vx不是常量，而是 随着时间的增加而不断减小，当t→∞时，vx→∞；质点的速度在 y轴上的投影vy，随着时间的增加，大小和方向都将变化，当
a
由此可见，物体的轨迹是一抛物线。
例10.4 例4 垂直于地面向上发射一物体，求该物体在地球引力作用下的运动速度，
并求第二宇宙速度。不计空气阻力及地球自转的影响。
解：以物体为研究对象，将其视为质点，建立如图坐标。质点在任一位置受
地球引力的大小为：
由于
F
G0
mM x2
mg
G0
mM R2
所以
G0
gR2 M
代入以上四式，求得
C1
C2
v0
cosa
,
D1
D2
v0
sina
g
于是质点的运动方程为
x v0 cosa (1 e t )
y v0 sina g (1 et ) gt
y
FR v0
M
v
a mg
O
v0 cosa
x v0 cosa
x
上式即为轨迹的参数方程，轨迹如图所示。由第一式可知轨迹
渐近线为 x v0 cosa 。对于抛射体的射程：
H为以初速v0向上发射物体所能达到的最大高度。将x＝R+H及v＝0代入上
式可得
H
Rv02 2gR v02
若v0²>2gR，则不论x为多大，甚至为无限大时，速度v均不会减小为零，因 此欲使物体向上发射一去不复返时必须具有的最小速度为
v0 2gR
若取g＝9.8 m/s²，R＝6370 km，代入上式可得
P mg 或 m P
g g 9.78049(1 0.0052884sin2 0.0000059sin2 2 为纬度
国际计量标准g＝9.80665 m/s2，一般取g＝9.8 m/s2
在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量，它们的单 位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。其它量均为导出量， 它们的单位则是导出单位。
v
M
j Fry
a O ix
x
b
x aw2 coswt, y bw2 sin wt
代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：
Fx mx maw2 coswt, Fy my mbw2 sinwt F Xi Yj maw2 coswti mbw2 sinwtj
mw2 (a coswti bsinwtj) mw2 (xi yj) mw2r
v0 11.2 km s
这就是物体脱离地球引力范围所需的最小初速度，称为第二宇宙速度。
例例5 10在.5重力作用下以仰角a初速度v0抛射出一物体。假设空气
阻力与速度成正比，方向与速度方向相反，即FR＝-Cv，C为阻 力系数。试求抛射体的运动方程。
解：以物体为研究对象，将其视为 质点。建立图示坐标。在任一位置 质点受力如图。由直角坐标形式的 质点运动微分方程得
在经典力学中质点的质量是守恒的
ma F
质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是 质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上 式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本 方程。
10.1 动力学的基本定律
在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作 用。在重力作用下得到的加速度称为重力加速 度，用 g 表示。由第二定律有
10.2 质点的运动微分方程
1. 矢量形式的质点运动微分方程
ma
m d2 r dt2
n i 1
Fi
2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
m
d2 dt
x
2
n i 1
Fxi ,
m
d2 dt
y
2
n i 1
Fyi
m
d2 dt
z
2
n i 1
Fzi
3. 质点运动微分方程在自然轴上投影
m d v
分析: 由(1)、(2)式可得:
A
FA
B
60º
b
FB O n an
r
M
v
mg
FA
2 (9.8 31
3 2v2),
FB
2 (2v2 9.8) 3 1
FA 0 v 4.9 3 2.91 m s
FB 0 v 4.9 2.21m s
因此，只有当 2.21m/s v 2.91m/s 时，两绳才同时受力。否
v1
F
v2
棒球在被球棒击 打后，其速度的大 小和方向发生了变 化。如果已知这种 变化即可确定球与 棒的相互作用力。
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
工程实际中的动力学问题
航空航天器 的姿态控制
工程实际中的动力学问题 高速列车的振动问题
10 质点动力学基本方程
动力学基本定律 质点运动微分方程 质点动力学的两类基本问题
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
工程实际中的动力学问题
若已知推力和跑道可能 长度，则需要多大的初 速度和一定的时间隔后 才能达到飞离甲板时的 速度。
若已知初速度、一定 的时间间隔后飞离甲板 时的速度，则需要弹射 器施加多大推力，或者 确定需要多长的跑道。
工程实际中的动力学问题
y
1 2
gt 2
C2t
ห้องสมุดไป่ตู้C4
t 0: x0 y0 0, v0x v0 cosa , v0 y v0 sin a
确定出积分常数为：
C1 v0 cosa , C2 v0 sina , C3 C4 0
于是物体的运动方程为：
x v0t cosa
y
v0t
1 2
gt
2
轨迹方程为：
y
xtga
gx2 2v02 cos2
解：以小球为研究对象，将其视为质
O
点。建立图示的自然坐标。由运动学 知：
s l
v ds l
dt
(+)
l
n
M
S
at
dv dt
l
an
v2 l
l 2
O1
v0
在任一位置质点受力如图。由自然坐 标形式的质点运动微分方程得
m dv mg sin
dt
dt
n
Ft i ,
i 1
v2 m
n
Fn i ,
i 1
0
n
Fb i
i 1
10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动， 求作用在质点上的力。这类问题其实质可 归结为数学上的求导问题。
第二类基本问题：已知作用在质点上 的力，求质点的运动。这类问题其实质可 归结为数学上的解微分方程或求积分问题。
则将只有其中一绳受力。
例例3 1从0某.3处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角为a，如不计空
气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律。
解：研究抛射体, 列直角坐标形式的
质点运动微分方程
y
v0M v
d2 x
d2 y
m d t2 0, m d t2 mg
mg
x
积分后得
x C1t C3,
初始条件为
力 F 与矢径 r 共线反向，其大小正比于矢径 r 的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。
例例21质0.量2 为1Kg的小球M，用两
绳系住，两绳的另一端分别连接
在固定点A、B，如图。已知小
球以速度v＝2.5 m/s在水平面内
作匀速圆周运动，圆的半径r＝
0.5 m, 求两绳的拉力。
M
解：以小球为研究对象，任一瞬 时小球受力如图。
x
M
HF oR
由直角坐标形式的质点运动微分方程得：
m
d2x dt 2
F
mgR2 x2
由于 d2 x dvx dt2 dt
dvx dx
dx dt
vx
dvx dx
，将上式改写为
mvx
dvx dx
mgR x2
2
分离变量得：
mvxdvx
mgR2
dx x2
设物体在地面发射的初速度为v0，在空中任一位置x处的速度为v，对上式积分
dt2 dt
dt2 dt
这是两个独立的线性二阶常系数常微分方程，由常微分方程理 论可知，它们的解为
x C1 C2et ,
y
D1
D2e t
g
t
求导得
vx C2e t ,
vy
D2e t
g
其中，C1、C2 、D1、D2为积分常数，由运动初始条件确定。
当t＝0时，x0＝0，y0＝0；vx0＝v0cosa，vy0＝v0sina
10.1 动力学的基本定律
第一定律(惯性定律)
不受力作用的质点，将保持静止或作 匀速直线运动。
质点保持其原有运动状态不变的属性 称为惯性。
10.1 动力学的基本定律
第二定律(力与加速度关系定律)
质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
d (mv) F dt
10.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
t→∞时，vx→g/，方向铅垂向下。因此，质点的运动经过一段
时间后将铅直向下作匀速运动。
例例6 10如.图6 所示，一细常杆杆端有一小球M，其质量为m，另一端
用光滑铰固定。杆长为l，质量不计，杆在铅垂面内运动，开始 时小球位于铅垂位置，突然给小球一水平初速度v0，求杆处于任
一位置 时对球的约束力。
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家 中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改 嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年 获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数 学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病， 学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二 项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种 色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落 地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇 家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。
v0 F (v)
0
例例1 1如0图.1，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
x2 y2 a2 b2 1
质点作椭圆运动。将运动方程对时 间求两阶导数得：