临夏市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

临夏市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中 正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 2． 已知正△ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3
4． 若函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞） B ．[0，3] C ．（﹣3，0]
D ．（﹣3，+∞）
5． 设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为
真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∧ 7． 在等差数列{a n }中，a 1=2，a 3+a 5=8，则a 7=（ ） A ．3
B ．6
C ．7
D ．8
8． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）
9． “p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 10．单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则
（ ）
A ．该几何体体积为
B ．该几何体体积可能为
C ．该几何体表面积应为+
D ．该几何体唯一
11．已知x ，y ∈R ，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面
积为（ ）
A ．4
﹣
B ．4
﹣
C ．
D ．
+
12．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在
体积为
24316
π
同一球面上，则PA =（ ）
A ．3
B ．72
C ．
D ．9
2
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
二、填空题
13．已知[2,2]a ∈-，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则的取值范围为__________.
14．已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，则
= ．
15．直线20x y t +-=与抛物线216y x =交于A ，B 两点，且与x 轴负半轴相交，若O 为坐标原点，则
OAB ∆面积的最大值为 .
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.
16．函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ． 17．函数y=1﹣
（x ∈R ）的最大值与最小值的和为 2 ．
18．当0,1x ∈（）时，函数()e 1x f x =-的图象不在函数2
()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=sin2x+（1﹣2sin 2
x ）．
（Ⅰ）求f （x ）的单调减区间；
（Ⅱ）当x ∈[﹣，
]时，求f （x ）的值域．
20．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ； （2）设1
(1)
n n a b n =
+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，若不等式n S t <对于任意的*n ∈N 恒成立，求实数t 的
取值范围．
21．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知cos (cos )cos 0C A A B +=． （1）求角B 的大小；
（2）若2=+c a ，求b 的取值范围．
【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．
22．已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==． （1）求()f x 的解析式；
（2）若()f x 在区间[]2,1a a +上不单调，求实数的取值范围； （3）在区间[]1,1-上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围．
23．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；
（2）求f（x）在[﹣2，﹣]的最值．
24．设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
临夏市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】111]
试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B．
考点：几何体的结构特征．
2．【答案】D
【解析】解：∵正△ABC的边长为a，∴正△ABC的高为，
画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，
∴△A′B′C′的高为=，
∴△A′B′C′的面积S==．
故选D．
【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．3．【答案】A
【解析】解：由，得3x2﹣4x+8=0．
△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．
所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．
设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0
联立，得3x2﹣4x﹣m=0．
由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，
得m=﹣．
所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．
所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．
4．【答案】D
【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，
易知当x=0时上式不成立；
故a==2x﹣，
令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，
故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
故作g（x）=2x﹣的图象如下，
，
g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a＞﹣3时，
方程a=2x﹣有且只有一个解，
即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，
故选：D．
5．【答案】D
【解析】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，
∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，
∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，
∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，
设f（t）=t3+2t+sint，
则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，
即函数f（t）单调递增．
由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，
即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，
即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），
∵函数f（t）单调递增
∴x﹣2=2﹣y，
即x+y=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．
6．【答案】D
【解析】
考点：命题的真假.
7．【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{a n}中a1=2，a3+a5=8，
∴2a4=a3+a5=8，解得a4=4，
∴公差d==，
∴a 7=a 1+6d=2+4=6 故选：B ．
8． 【答案】
【解析】选B.取AP 的中点M ， 则P A ＝2AM ＝2OA sin ∠AOM
＝2sin x
2，
PB ＝2OM ＝2OA ·cos ∠AOM ＝2cos x
2
，
∴y ＝f （x ）＝P A ＋PB ＝2sin x 2＋2cos x 2＝22sin （x 2＋π
4），x ∈[0，π]，根据解析式可知，只有B 选项符合要求，
故选B. 9． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为p 假真时，p q ∨真，此时p ⌝为真，所以，“p q ∨ 真”不能得“p ⌝为假”，而“p ⌝为假”时p 为真，必有“p q ∨ 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用. 10．【答案】C
【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1
该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为的正三角形组成
故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+•（
）2
=
．
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．
11．【答案】 A
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB ， 若存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立，
则（
cos θ+sin θ）=﹣1，
令sin α=，则cos θ=
，
则方程等价为
sin （α+θ）=﹣1，
即sin （α+θ）=﹣，
∵存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立，
∴|﹣
|≤1，即x 2+y 2≥1，
则对应的区域为单位圆的外部，
由
，解得
，即B （2，2
），
A （4，0），则三角形OA
B 的面积S=×
=4
，
直线y=x 的倾斜角为
，
则∠AOB=
，即扇形的面积为
，
则P （x ，y ）构成的区域面积为S=4﹣
，
故选：A
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．
12．【答案】B
【解析】连结,AC BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连结OE ，则O E
P A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O
到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 球心，均为12PC =
=
可得34243316ππ=，解得7
2
PA =，故选B ．
二、填空题
13．【答案】(,0)(4,)-∞+∞
【解析】
试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2
a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可，设关于的函数44)2(24)4(x f(x)y 2
2+-+-=-+-+==x x a x a x a 对任意的2]，[-2a ∈，当-2
a =时，044)42(x )2(f(a)y 2>++--+=-==x f ，即086x )2(2>+-=-x f ，解得4x 2x ><或；当2a =时，044)42(x )2(y 2>-+-+==x f ，即02x )2(2>-=x f ，解得2x 0x ><或，∴的取值范围是
{x|x 0x 4}<>或；故答案为：(,0)(4,)-∞+∞．
考点：换主元法解决不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简
洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2
a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.
14．【答案】 ．
【解析】解：∵函数f （x ）=sinx ﹣cosx=sin （x ﹣），
则
=
sin （﹣）=﹣
=﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．
15．【
解
析
】
16．【答案】1ln 2
【解析】 试题分析：
()()111ln 2ln 2
f x k f x ''=
∴== 考点：导数几何意义
【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 17．【答案】2
【解析】解：设f （x ）=﹣
，则f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）的最大值与最小值互为相反数，
即f （x ）的最大值与最小值之和为0． 将函数f （x ）向上平移一个单位得到函数y=1﹣的图象，所以此时函数y=1﹣
（x ∈R ）
的最大值与最小值的和为2． 故答案为：2．
【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键．
18．【答案】[2e,)-+∞
【解析】由题意，知当0,1x ∈（）时，不等式2
e 1x
x ax -≥-，即21e x x a x +-≥恒成立．令()21e x
x h x x
+-=，
()()()
2
11e 'x x x h x x
-+-=
．令()1e x k x x =+-，()'1e x k x =-．∵()0,1x ∈，∴()'1e 0,x k x =-<∴()
k x 在()0,1x ∈为递减，∴()()00k x k <=，∴()()()
2
11e '0x x x h x x
-+-=
>，∴()h x 在()0,1x ∈为递增，∴
()()12e h x h <=-，则2e a ≥-． 三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）=sin2x+（1﹣2sin 2
x ）=sin2x+
cos2x
=2（sin2x+cos2x ）=2sin （2x+），
由2k π+
≤2x+
≤2k π+
（k ∈Z ）得：k π+
≤x ≤k π+
（k ∈Z ），
故f （x ）的单调减区间为：[k π+，k π+
]（k ∈Z ）；
（Ⅱ）当x ∈[﹣
，
]时，（2x+）∈[0，
]，2sin （2x+
）∈[0，2]，
所以，f （x ）的值域为[0，2]．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查等差数列通项与前n 项和、数列求和、不等式性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及方程思想与裂项法的应用．
21．【答案】（1）3
B π
=；（2）[1,2).
【
解
析
】
22．【答案】（1）2
()243f x x x =-+；（2）1
02
a <<
；（3）1m <-.
试
题解析：
（1）由已知，设2()(1)1f x a x =-+，
由(0)3f =，得2a =，故2
()243f x x x =-+．
（2）要使函数不单调，则211a a <<+，则102
a <<． （3）由已知，即2243221x x x m -+>++，化简得2
310x x m -+->，
设2
()31g x x x m =-+-，则只要min ()0g x >， 而min ()(1)1g x g m ==--，得1m <-． 考点：二次函数图象与性质．
【方法点晴】利用待定系数法求二次函数解析式的过程中注意选择合适的表达式，这是解题的关键所在；另外要注意在做题过程中体会：数形结合思想，方程思想，函数思想的应用．二次函数的解析式（1）一般式：
()()20f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为(),h k ，则其解析式为
()()()2
0f x a x h k a =-+≠；（3）两根式：若相应一元二次方程的两根为()12,x x ，则其解析式为
()()()()120f x a x x x x a =--≠.
23．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=x 3+3ax 2
+bx ， ∴f'（x ）=3x 2
+6ax+b ，
又∵f （x ）在x=﹣1时有极值0， ∴f'（﹣1）=0且f （﹣1）=0， 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a ﹣b=0，
解得：a=，b=1 经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x ）=3x 2
+4x+1，
令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1，
又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣，
∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，
由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，
∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；
由f′（x）＞0得＜x＜；
故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，
在（，）上单调递增；
（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈，当时，即a≥4
①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在单调递增，在上单调递减，
因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，
∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；
当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；
当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．。