中考数学专题复习专题五数学思想方法

2014中考数学专题复习专题五数学思想方法（一）
（整体思想、转化思想、分类讨论思想）
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本
策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在•因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识.
二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程
思想、数形结合思想、分类讨论思想等. 在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这
些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲考点一：整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例 1 （2013?吉林）若a-2b=3，贝U 2a-4b-5= •
思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b ）形式的代数式，然后将a-2b=3整体代入并求值即可. 解：2a-4b-5=2 （a-2b ）-5=2 X3-5=1 •
故答案是：1 •
点评：本题考查了代数式求值. 代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a-2b ）的值，然后利用整体代入法”求代数式的值.
对应训练
1. （2013?福州）已知实数a , b 满足a+b=2 , a-b=5，则（a+b ）3? （a-b ）3的值是•
1. 1000 考点二：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 （2013?东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子
相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m （容器厚度忽略不
计）.
思路分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A',根据两点之间线段最
短可知A'B的长度即为所求.
/• A D=0.5m, BD=1.2m , •••将容器侧面展开，作 A 关于EF 的对称点A', 连接A'B 则A'B 即为最短距离，
A B= AD 2 BD 2「0.52 1.22 =1.3 (m ).
故答案为：1.3 .
点评：本题利用转化思想把立体问题转化为平面问题，从而使问题简单化、 直观化。

将图形
展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键. 同时也考查了同学们的创造性
思维能力. 对应训练
3. （ 2013?牡丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过 105700元购进40台电脑，其中A 型电脑每台进价 2500元，B 型电脑每台进价 2800元， A 型每台售价3000元，B 型每台售价3200元，预计销售额不低于 123200元.设A 型电
此时一只壁虎 1.2m ，底面周长为1m ,在容器内壁离容器底部
离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，
0.3m 的点B
••• PD 丄AC 于点D , PE 丄CB 于点E ,
高为 / C=90 , AC=8 , BC=6 ,
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•四边形DPEC是矩形，
• DE=CP ,
CP丄AB时，贝U CP最小, 当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当
6汉8
• DE=CP= =4.8 ,
10
故答案为4.8 .
考点三：分类讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）—次分类按一个标准；（3 ）分类讨论应逐级进行•正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏.
例3 （2013?山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要. 两种印刷方式的费用y （元）与印刷份数x （份）之间的关系如图所示：
(1)
填空：甲种收费的函数关系式是.
乙种收费的函数关系式是.
该校某年级每次需印制100〜450 （含100和450）
份学案，选择哪种印刷方式较合
思路分析：（1）设甲种收费的函数关系式y“=kx+b ,
乙种收费的函数关系式是y2=k1X，直接运用待定系
数法就可以求出结论；
（2 ）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1
>y2时，当y1=y2时，当y〔v y2时分别求出x的取值范围就
可以得出选择方式.
解：（1）设甲种收费的函数关系式y^kx+b ,乙种收
费的函数关系式是y2=kM，由题意，得
6" , 12=100k 1,
16=100k b
二y1=0.1x+6 , y2=0.12x ;
（2）由题意，得
当y1> y2时，0.1x+6 > 0.12x，得x v 300 ;
当时，0.1x+6=0.12x，得x=300 ;
当y1 V y2 时，0.1x+6 v 0.12x，得x > 300 ;
•••当100<xv 300时，选择乙种方式合算；
当x=100时，甲乙两种方式一样合算；
当300 v x w4500时，选择甲种方式合算.
故答案为：y1=0.1x+6 , y2=0.12x .
点评：本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的
运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点.
对应训练
脑购进x台、商场的总利润为y (元)•
(1 )请你设计出进货方案；
(2)求出总利润y (元)与购进A型电脑x (台)的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最
大，最大利润是多少元？
(3)商场准备拿出(2)中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另
一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶.在钱用尽三样都购买的前提下请直接
写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案.
(2)由题意，得
y= ( 3000-2500 ) x+ (3200-2800 ) (40-x ), =500x+16000-400x ,
=100x+16000 .
•/ k=100 > 0,
••• y随x的增大而增大，
/• x=24 时，y 最大=18400 元.
(3)设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶，由题意，得
2500a+2800b+500c=18400 ,
184-25a -28b
c= ------------------------
5
■/ a>2, b>2, c>1,且a、b、c 为整数，
• 184-25a-28b > 0 ,且是5的倍数.且c随a、b的增大而减小.
当
a=2 , b=2 时，184-25a-28b=7
8
，舍去；
当
a=2 , b=3 时，184-25a-28b=5
，故c=10 ;
当
a=3 , b=2 时，184-25a-28b=5
3
，舍去；
解得：21 w x< 24•/x为整数，
• x=21,22, 23, 24
..有4种购头方案：
万案1:购A型电脑2
1
台
，
B型电脑
万案2:购A型电脑2
2
台
，
B型电脑
万案3:购A型电脑2
3
台
，
B型电脑
万案4:购A型电脑2
4
台
，
B型电脑
19 台;
18 台;
17 台;
16 台;
3.解：(1 )设A型电脑购进x台，则
2500x 2800(40- x)乞105700
3000x 3200(40- x) _ 123200 '
B型电脑购进(40-x )台，由题意，得
当
a=3 , b=3 时，184-25a-28b=2
5
，故c=5 ;
当
a=3 , b=4 时，184-25a-28b=-2，舍去，
当
a=4 , b=3 时，184-25a-28b=0，舍去.
•••有2种购买方案：
方案1 :购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶, 方案2 :购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶.
四、中考真题演练 、选择题
1. （ 2013?杭州）若 a+b=3 , a-b=7，贝U ab=（
）
A . -10
B . -40
C . 10 1. A 2 （2013?黄冈）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形,
C . 2 •. 5 cm 或4 .5 cm
D . 2 cm 或
6.
（ 2013?钦州）等腰三角形的一个角是 80°则它顶角的度数是（ ）
A . 80°
B . 80° 或 20°
C . 80° 或 50°
D . 20°
6 . B
7.
（ 2013?新疆）等腰三角形的两边长分别为 3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A . 12
B . 15
C . 12 或 15
D . 18
7 . B
& （ 2013?荆州）如图，将含60°角的直角三角板 ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到厶
AB' C ；点B 经过的路径为弧 BB',若/ BAC=60 , AC=1 ,则图中阴影部分的面积是 （ ）
A . —
B . —
C .
— D . n
2
3
4
B r
D . 40
则其底面圆的面积为（
）
2 . C
3. （ 2013?达州）如图，在 Rt △ ABC 中，/ B=90° , AB=3 , 为
?ADCE 中，DE 最小的值是（
） B . 3
C . 4
BC=4，点D 在BC 上，以 AC
3 . B
4. （2013?齐齐哈尔）CD 是O O 的一条弦，作直径 垂
足为E ,若AB=10 , CD=8，贝U BE 的长是（
AB ，使 AB 丄 CD ,
） B . 2 C . 2 或 8 D . 3 或 7
B
5. （ 2013?泸州）已知O AB=8cm ，贝U AC 的长为（
的直径 CD=10cm , AB 是O O 的弦，AB 丄CD ，垂足为 M ，且 ） 4 一 5
cm
A .
D 4 .
8 . A 二、填空题
1
1
9. （ 2013?枣庄）若 a 2- b 2= , a-b =
，贝卩 a+b 的值为.
6 3
若（a-1）2+|b-2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为
10 . 5 11. （2013?宿迁）已知O 01与O 02相切，两圆半径分别为3和5，则圆心距O 1O 2的值是 11. 8 或 2
12 . （2013?咸宁）如图，在 Rt △ AOB 中，OA=OB=3 2 , O O 的半径为1，点P 是AB
边上的动点，过点 P 作O O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切
线PQ 的最小值为. 2.2
2
（2013?宿迁）若函数 y=mx +2x+1的图象与x 轴只有一个公 ,则常
数m 的值是.
0或1
14.（ 2013?黄石）若关于x 的函数y=kx 2+2x-1与x 轴仅有一个公共点，则实数 k 的值为.
14. 0 或-1
15 . （2013?雅安）在平面直角坐标系中，已知点 A （-J5 , 0）, B （J 5 , 0），点C 在坐标
轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点 C 的坐标.
15 . （0 , 2）, （0, -2）, （-3 , 0）, （3, 0）
16.（ 2013?绥化）直角三角形两直角边长是 3cm 和4cm ，以该三角形的边所在直线为轴
旋转一周所得到的几何体的表面积是 cm 2.（结果保留n ）
84 16. 24 n , 36 n ,——n
5
17 . （2013?绍兴）在平面直角坐标系中， O 是原点，A 是x 轴上的点，将射线 OA 绕点O
10 . （2013?雅安）
12.
13. 秽共点 13. O O
旋转，使点A 与双曲线y=—3上的点B 重合，若点B 的纵坐标是1，则点A 的横坐标是.
x
17 . 2 或-2 1,则图中阴影部分面积的和是（结果
18.（ 2013?广东）如图，三个小正方形的边长都为 保留n ）.
19 . （2013?盘锦）如图，在平面直角坐标系中，直线 I 经过原点O ,且与x 轴正半轴的夹角 为30°点M 在x 轴上，O M 半径为2 , O M 与直线I 相交于A , B 两点，若△ ABM 为等腰 直角三角
形，则点 M 的坐标为.
数据（单位：cm ）,从点N 沿折线NF-FM （ NF // BC , FM // AB ）切割，如图1所示.图2 中的矩形EFGH 是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图 （不重叠，无缝隙，
不记损耗），则CN , AM 的长分别是. 23. 18cm 、31cm
24 . （2013?乐亭县一模）如图，已知直线 y=x+4与两坐？？？轴分别交于 A 、B 两点，O C 的圆
19 . ( 2、一 2 , 0 )或(-2 J2 , 0)
20 . （2013?凉山州）如图，在平面直角坐标系中， 矩形 OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10 , 0）, （ 0 , 4）, 点D 是OA 的中点，点 P 在BC 上运动，当△ ODP 是 腰长为5的等腰三角形时，点 P 的坐标为.
20 . (2 , 4) 21 . （2013?呼和浩特）在平面直角 知点 A （4, 0 ）、B （-6 , 0）,点 C 个动点，当/ BCA=45 时，点C 的 21 . （ 0 , 12 ）或（0, -12）
或（3 , 4 ）或
22 . （2013?泰州）如图，O O 的半径为4cm ,直线I 与O O 相交于A 、B 两点，AB=4 •. 3 cm , P 为直线I 上一动点，以1cm 为半径的O P 与O O 没有公共点.设 PO=dcm ，则 是.
d 的范围
22 . d > 5cm 或 2cm <d v 3cm
23 . （2013?温州）一块矩形木板， 上角有一个圆洞， 它的右
现设想
4
1吆
W ------------
C
........... Q
o\
将它改造成火锅餐桌桌 面，要求木板大小不变， 且使
（8 , 4） 坐标系中，已 是y 轴上的一 坐标为.
心坐标为（2, O）,半径为2，若D是O C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E , 则厶ABE面积的最小值和最大值分别是
24 . 8-2,2 和8+2 “ 2
25 . （2013?内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8 , M、N分别是边BC、CD 的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=.
25 . 5
26 . （2013?天门）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,正三角26. 15 或165
庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜
农小李分别承包了种植蔬菜和水果的
菜的工资y （元）与种植面积m （亩）
之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z （元）与种植面积n （亩）之间函数关系忖（元）
图①图②
如图②所示.
（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是元，小张应得的工资总额是元，此时，小李种植水果亩，小李应得的报酬是元；
E
（2）当10 v n W 30时，求z与n之间的函数关系式；
（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w （元），当10 v m W 30时，求w与m之间的函数关系式.
一一一1
27 .: （1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是（160+120 ）
2
=140 元，
小张应得的工资总额是：140X20=2800元，
此时，小李种植水果：30-20=10亩，
小李应得的报酬是1500元；
故答案140 ; 2800 ; 10 ; 1500 ;
(2)当10 v n W30时，设z=kn+b (k^0),
•••函数图象经过点(10 , 1500 ), (30 , 3900 ),
10k b =1500 30k b 二 3900 t
所以，z=120n+300
(10 < n W 3Q);
(3 )当 10 v m W 30 时，设 y=km+b ,
•••函数图象经过点(10 , 160 ), (30 , 120 ),
10k b =160 --
30k b =120 k = -2
解得
，
b=180
/• y=-2m+180 , ■/ m+n=30 , /• n=30-m ,
•••①当 10 v m W 20 时，10 v n W 20, w=m (-2m+180 ) +120n+300 , =m (-2m+180 ) +120 (30-m ) +300 , 2
=-2m +60m+3900 ,
②当 20 v m W 30 时，0v n W 10, w=m (-2m+180 ) +150n , =m (-2m+180 ) +150 (30-m ), 2 =-2m +30m+4500 ,
-2 m2 60m 3900(10 ： m 乞 20)
所以，w 与m 之间的函数关系式为 w=
.
卜
2 m2 十 30 m + 4500(20 < m 乞 30)
28. (2013?杭州)已知抛物线 y 1=ax 2+bx+c (
0)与x 轴相交于点 A , B (点A ,
3
O 两侧)，与y 轴相交于点C ,且点A , C 在一次函数y 2= x+n 的图象上，线段
4
16,线段OC 长为8,当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量 x 的取值范围.
28.解：根据 OC 长为8可得一次函数中的 n 的值为8或-8. 分类讨论：①n=8时，易得A (-6, 0)如图1,
•••抛物线经过点 A 、C ,且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧， •••抛物线开口向下，则 a v 0,
•/ AB=16，且 A (-6, 0),
• B (10, 0),而A 、B 关于对称轴对称，
解得
k =120
b =300
B 在原点 AB 长为
一6+10
•对称轴直线x= 6 10=2,
2
要使y1随着x的增大而减小，则a v 0,
/• x > 2;
(2) n=-8 时，易得 A (6, 0),如图 2,
29. (2013?随州)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度.如图，
一艘海监船位于灯塔 P 的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A 处，沿正北方向航行一 段时间后，到达位于灯塔
P 的北偏东30°方向上的B 处.
(1)在这段时间内，海监船与灯塔
P 的最近距离是多少？(结果用根号表示)
(2 )在这段时间内，海监船航行了多少海里？(参数数据：
.2 ~ 1.414, _ 3胡.732 ,
• PC=AC= 亜 AP=50 72 海里;
2
(2)在 Rt △ PCB 中，•••/ BCP=90 ，/ B=30° , PC=50 海里,
\
7 *
图2
•••抛物线开口向上，则 a > 0, •/ AB=16，且 A (6, 0),
• B (-10, 0),而 A 、B 关于 对称
轴对称，
•对称轴直线x=—6T °=-2 ,
2
要使y i 随着x 的增大而减小， 且 a >0,
• x v -2.
x 轴交点A , B 在原点两侧,
PC 的
长度即
BC= 3 PC=50 6 海里,
• AB=AC+BC=50 . 2 +50 , 6 =50 G. 2^6 )〜50( 1.414+2.449 ) ~ 193.2 (海里), 答：轮船航行的距离 AB 约为193.2海里.
30. （2013?湘潭）如图，C 岛位于我南海 A 港口北偏东60方向，距A 港口 60 2 海里处, 我海监船从A 港口出发，自西向东航行至 B 处时，接上级命令赶赴 C 岛执行任务，此时 C 岛在B 处北偏西45°
方向上，海监船立刻改变航向以每小时 60海里的速度沿BC 行进，则
30 .解：•••在 Rt △ ACD 中，/ CAD=30 ,
1
• CD= X60
2 =30 2 海里，
2
•••在 Rt △ BCD 中，/ CBD=45 ,
答：从B 处到达C 岛需要1小时.
31. （2013?三明）如图①，AB 是半圆O 的直径，以OA 为直径作半圆 C , P 是半圆C 上的 一个动点（P 与点A , O 不重合），AP 的延长线交半圆 O 于点D ，其中OA=4 . （1 ）判断线段AP 与PD 的大小关系，并说明理由；
（2）连接0D ，当0D 与半圆C 相切时，求 A P 的长;
曰、［/
是半 的直
又••• OA=OD , • AP=PD ;
(2)如图①，连接 PC 、OD .
••• BC=30 2 X 2 =60 海里,
（3）过点D 作DE 丄AB ，垂足为E （如图②），设AP=x , OE=y ，求y 与x 之间的函数关 系式，并写出x 的取值范围.
D
图①
图②
备用图
31 . 解 ： (1 ) AP=P D .理 由如
下：
如图①，连接0P .
•/ OA 圆C 径， • / APO=90 ,
•/ OD是半圆C的切线，•/ AOD=90 .
由(1)知，AP=PD . 又••• AC=OC , ••• PC // OD ,
•••/ ACP= / AOD=90
(3) 分两种情况：
① 当点E 落在OA 上(即0 V X W2J 2时)，如图②，连接 OP ，则/ APO= / AED . 又•••/ A= / A , • △ APO AED , • AP AO
AE 一 AD .
■/ AP=x , AO=4 , AD=2x , AE=4-y , x 4 …—
4 -y 2x
• y=- — x 2+4 (0 V x < 2 2 );
2
② 当点E 落在线段OB 上(即2,2 V x V 4)时，如图③，连接 OP . 同①可得，△ APO AED ,
• AP _ AO "AE 一 AD .
■/ AP=x , AO=4 , AD=2x , AE=4+y ,
x 4
•-—
4 y 2x
• y= —
x 2+4 (2^2 V x V 4).
2
2. ( 2013?宁德质检)如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90° , AC=8 , BC=6，点P 是AB 上的任 意一点，作 PD 丄AC 于点D , PE 丄CB 于点E ,连结DE ，贝U DE 的最小值为.
A P 的长= 90 二 2
180。