微片被动调Q激光器的Siegman方程组的优化分析

微片被动调Q激光器的Siegman方程组的优化分析
时光;廖云;王云祥;闫平;巩马理
【摘要】对Siegman被动调Q速率方程组作了理论分析,对Siegman方程组作了优化,使其更准确、更有利于计算机的系统仿真和重频的计算.优化后的方程具有一定的普遍性,有助于被动调Q激光器的优化设计.
【期刊名称】《激光技术》
【年(卷),期】2005(029)006
【总页数】3页(P636-638)
【关键词】被动调Q;Siegman速率方程组;优化;微片
【作者】时光;廖云;王云祥;闫平;巩马理
【作者单位】电子科技大学,光电信息学院,成都,610054;电子科技大学,光电信息学院,成都,610054;清华大学,精密仪器系,北京,100084;清华大学,精密仪器系,北京,100084;清华大学,精密仪器系,北京,100084
【正文语种】中文
【中图分类】TN248.1
引言
激光二极管抽运被动调Q微片激光器是一种用于实现短脉冲(亚纳秒级和纳秒级)、高重频(千赫兹以上)、大功率激光脉冲输出的新型固体激光器。

被动调Q材料
Cr4+∶YAG因其有宽的吸收带和良好的饱和性质而受到广泛的关注并应用，为充
分研究和利用Cr4+∶YAG，对其调Q特性进行理论研究是必不可少的，而通常研究采用的理论工具是速率方程组。

1 Siegman被动调Q速率方程组的理论分析
SIEGMAN提出的被动调Q速率方程组[1]为：
dn/dt=
[KgNg-KaNa-βKa(Na0-Na)-1/τc]n(1a)
dNg/dt=Rp-Ng/τg-γKgNgn(1b)
dNa/dt=(Na0-Na)/τa-KaNan(1c)
式中,n为腔中光子数；Ng为激光工作物质的反转粒子数；Na为饱和吸收体基态
粒子数；Na0为Na的起始值；Ka，Kg为对应的耦合系数；β为饱和吸收体激发态吸收因子；τc为腔中的光子寿命；Rp为抽运速率；τg为激光辐射上能级寿命，等于2.3×10-4s[2]；γ对于三能级系统为2，对四能级系统为1；τa为饱和吸收
体的恢复时间。

杨成伟等人[3]报道恢复时间为3.4μs～4.5μs，本文中采用
τa=3.4μs。

方程中Kg=W/n；Ka=Wa/n；β=We/Wa；抽运速率Rp=W03Np=W03(Np0-Ng)。

其中,W为激发介质受激跃迁几率；Wa为Cr4+∶YAG基态跃迁几率；We
为Cr4+∶YAG激发态吸收跃迁几率；W03为Nd∶Y AG基态能级受激跃迁几率; Np为Nd∶YAG基态粒子数;Np0为Np的起始值。

又W=Iσ/(hν)，I为腔内的激光光强；I=nchν/(Vpaη) ，η为折射率( Nd∶YAG和Cr4+∶YAG都约等于
1.83);Vpa为Nd∶YAG和Cr4+∶YAG的体积之和。

σ为Nd∶YAG的受激辐射
截面;hν=1.869×10-19J(λ=1.064μm)。

Wa=Iσgs/(hν) ,σgs为Cr4+∶YAG的基态吸收交叉截面。

We=Iσes/(hν)，这里σes为Cr4+∶YAG的激发态吸收交叉截面。

原方程组化为：
dn/dt=Ngncσ/(Vpaη)-Nancσgs/(Vpaη)-
dNg/dt=W03(Np0-Ng)-Ng/τg-Ngncσ/(Vpaη)(2b)
dNa/dt=(Na0-Na)/τa-Nancσgs/(Vpaη)(2c)
式中，τc=L/(γc)=η(dp+da)/(γc)，L为腔的光学长度;dp为Nd∶YAG片的厚度;da为Cr∶YAG片的厚度;γ为腔的总损耗。

γ=γop+γpar，γop为输出引起的损耗;γpar为腔内寄生损耗。

γpar=αsc(dp+da)，αsc为散射损耗系数，对于Nd∶YAG，αsc=0.2/m[4]。

γop=-1/2 ln(r1r2)=-1/2ln[(1-Tp)(1-T0)]。

其中,r1为抽运端反射率，约为100%;Tp=1-r1;r2为输出端反射率;T0=1-r2。

所以有：
γ=-1/2 ln[1-Tp)(1-T0)]+αsc(dp+da)(3)
τc=η(dp+da)/{c0[-1/2ln[(1-Tp)(1-T0)]+
式中，Vpa=πa2(da+dp)，Vp=πa2dp，Va=πa2da。

a为腔内激光注截面半径;np0为Nd∶YAG的总粒子数密度；c0为真空光速。

将以上代入原方程组化为：
dn/dt=nc0σ/[πa2(da+dp)η]Ng-nc0σgs/
[πa2(da+dp)η]Na-nc0σes/[πa2(da+dp)η]×
(πa2dana0-Na)+nc0{-1/2 ln[(1-Tp)(1-T0)]+
αsc(dp+da)}/[η(dp+da)](5a)
dNg/dt=
Rp-Ng/τg-nc0σ/[πa2(da+dp)η]Ng(5b)
dNa/dt=(πa2dana0-
Na)/τa-nc0σgs/[πa2(da+dp)η]Na(5c)
式中,c0=3×108m/s;na0=Na0/(πa2da);σ=2.7×10-23m2[3，
4];η=1.83;σgs=1.1×10-22m2;σes=1.2×10-23m2[5];τg=2.3×10-
4s;τa=3.4μs;Rp=W03(Np0-Ng);dp,da,a,T0,na0是可优化的量，在文献[6]中取：dp=5.0×10-4m,da=2.5×10-4m,T0=6.0×10-2,a=7.0×10-
5m2,na0=5.59×1024m-3。

2 Siegman被动调Q速率方程组的优化
在Siegman被动调Q方程组第1个方程(1a)式中加入自发辐射项：r1Ng/τg，该方程改为：
=[KgNg-KaNa-βKa(Na0-Na)-]n+ (6)Siegman方程组只能对输出一个有效脉冲进行分析计算和讨论，因而无法计算多重复频率输出脉冲，而且求解原Siegman
方程需要预先计算出激光器稳定振荡时的一个上升沿初始值，比较烦琐。

加入自发辐射项r1Ng/τg以后，激光器可以连续的振荡，而且可以取最简单的初值：t=0时,n=0,Ng=0,Na=Na0，此外可以连续计算几个脉冲。

在r1Ng/τg中,r1为常数,表示自发辐射产生的TEM00模光子占全部自发辐射光子的比例，一般取10-10～10-14，本文中取r1=10-12。

在(5a)式中，项中乘以修正常数r2,考虑到所要计算的脉宽为亚纳秒量级脉冲,而Nd∶YAG E1能级的寿命为几十纳秒量级，E1能级上的粒子此时不可忽略,因而加入此常数。

当E1能级上存在粒子时,有效的反转粒子数为E2能级粒子数减去E1
能级粒子数,而在原SIEGMAN的方程组中是假设E2能级粒子数即为反转粒子数,
因而当考虑到E1能级的粒子数时,真实的有效反转粒子数是小于E2能级上的粒子
数的。

因而应取修正常数r2<1。

在方程组第2个方程(1b)式中加入反映抽运速率变化项，方程变为：
考虑到:
在初始状态Ng=0,Rp=W03Np0，-W03Ng反映随着Ng的增加抽运速率减小,
将W03=Rp/Np0代入-W03Ng，得到反映抽运速率变化的一项可表示为:-。

在微片激光器中增益介质激发态粒子数Ng可以达到基态粒子数Np0的1/10，在所要求的精度下已不可忽略，因此添加此项。

在后面的结果分析中将看到这一项对重频影响最大,因而在重频为主要考虑因素的情况下,更应该添加此项。

3 优化后的速率方程组的仿真
上面已经对Siegman被动调Q速率方程作了进一步分析，对原方程进行了3点
优化，包括：在被动调Q方程组第1个方程中加入自发辐射项：r1Ng/τg，在方
程中项中乘以修正常数r2,在方程组第2个方程中加入反映抽运速率变化的一项：。

采用ZAYHOWSKI的实验数据来进行仿真，ZAYHOWSKI的实验结果为：峰值功率2.8×104W，脉冲能量1.1×10-5，脉冲宽度3.37×10-10s，重复频率6kHz。

作者的仿真结果为：峰值功率2.94×104W，脉冲能量1.0×10-5J，脉冲宽度
2.775×10-10s，重复频率6.07kHz。

对峰值功率，仿真结果与实验结果相差5%，脉冲能量相差10%，脉冲宽度相差17.7%，重复频率相差1.2% 。

这说明对Siegman方程组的优化是可行的，更符合实验结果，如表1所示。

Table 1 Comparison of the emulation result before and after adding the speedpeakpowerPp/WpulseenergyE/JpulsewidthPd/sfrequencyPrr/kHzexp erimentresult2．8×1041．1×10-53．37×10-
106beforerevising2．94×1041．0×10-52．771×10-
106．4afterrevising2．94×1041．0×10-52．775×10-106．07
另外计算了5个脉冲。

表2为各个脉冲的具体输出。

Table 2 Output every pulse
parameterspeakpower/Wpulseenergy/Jfrequency/kHzpulsewidth/spulse12．93774×1042．77490×10-10pulse22．93774×1041．00338×10-
56．068772．77501×10-10pulse32．93774×1041．00437×10-56．068772．76977×10-10pulse42．93774×1041．00368×10-56．068772．77502×10-10pulse52．93774×1041．00404×10-56．068772．77502×10-10
从上表可以看出，从理论上讲，被动调Q微片激光器的输出是很稳定的。

至于很
多文献中所报道的输出不稳定，只能从实验条件的改进上加以研究解决。

从图1可以看到，仿真单脉冲输出和实验以及作者的预期基本一致。

其中腔内光
子数n正比于输出功率，正如实验中所观测到的，输出脉冲前沿较陡，后沿较缓。

反转粒子数Ng在脉冲期间，迅速减少，降到最大值的1/10以下，与实验相符。

饱和吸收体基态粒子数Na在脉冲期间几乎耗尽。

Fig.1 The single output pulse form
通过仿真得到当单程增益等于单程损耗时，输出功率P=7.16×10-13W，非常小；而可饱和吸收体浓度为5.59×1024，与初始浓度相同，即当单程增益等于单程损
耗时可饱和吸收晶体吸收系数并未发生变化。

从而证明了激光器开始起振以后吸收系数才显著减少，而不是如有些资料所介绍的那样,即先有“吸收系数显著减少”，后有“单程增益等于单程损耗，激光器开始起振”[2]。

4 小结
对Siegman方程组进行了优化和改进，得到的优化后的方程组可以很好地与实际实验结合起来。

方程中加入的自发辐射项，使激光器可以连续稳定的振荡，而且可以取最简单的初值：t=0时,n=0,Ng=0,Na= Na0，并且通过仿真还可以连续计算几个脉冲。

这样就克服了原Siegman方程不能直接计算重频的缺点。

在方程组第
2个方程中加入反映抽运速率变化的一项：以后，仿真输出结果与实验结果更接近，尤其是重频，这说明对方程的改进是可行的。

参考文献
[1] SIEGMAN A ser [M].C A:University Science，Mill Valley, 1986.1024～1026.
[2] 周炳琨,高以智，陈倜嵘 et al.激光原理[M].4版,北京：国防工业出版社，2000.225～225.
[3] 杨成伟，陈千颂，熊柯et al.Cr4+∶YAG被动调Q激光器进展[J].激光与红外,2003，33(1)：21～24.
[4] 克希奈尔 W.固体激光工程[M].北京：科学出版社，1983.59.
[5] 巩马理,翟刚，时顺森et al.Cr4+∶YAG可饱和吸收特性测量[J].光学学报，1998，18(1)：124～127.
[6] ZAYHOWSKI J J,DILL C Ⅲ.Diode-pumped passively Q-switched picosecond microchip lasers[J].Opt Lett,1994,19(18):1427～1429.。