北师大版高中数学选修1-1模块同步练测.docx

高中数学学习材料
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模块同步练测（北京师大版选修1-1）
建议用时实际用时满分实际得分
45分钟
一、选择题（每小题5分）
1.下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；
③“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命
题共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.下列判断正确的是( )
A.设x是实数，则“x＞1”是“｜x｜＞1”的充分不必要条件
B.p:“x∈R,≤0”则有p:不存在x∈R,＞0
C.命题“若=1,则x=1”的否命题为：“若=1，则x≠1”
D.x∈(0,+∞),＞为真命题
3.若集合A={1,},B={3,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.过点（2，4）作直线与抛物线=8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A.一条
B.两条
C.三条
D.四条
5.已知对任意的k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是( )
A.（0，1）
B.（0，5）
C.［1，5）∪（5，+∞）
D.［1，5）
6.已知抛物线y=-+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A，B，则AB等于( )
A.3
B.4
C.3
D.4
7.已知抛物线=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
8.若原点到直线bx+ay=ab的距离等于+1，则双曲线-=1（a＞0，b＞0）的半焦距的最小值为( )
A.2
B.3
C.5
D.6
9.已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为( )
A．－1 B．0 C．1 D．±1
10.若函数f(x)＝a－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a≤1
C．0＜a＜1 D．0＜a≤1
二、填空题（每小题5分）
11.已知命题p:x∈R,a+2x+3≥0，如果命题p为真命题，则实数a的取值范围是.
12.函数f(x)=-+3+9x+a在区间[-2,2]上的最大值是20,则它在该区间上的最小值是.
13.下列四个结论中，正确的有(填序号).
①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；
②“是“一元二次不等式a＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；
③“x≠1”是“≠1”的充分不必要条件；
④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.
三、解答题
14.（10分）设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记
点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程.
（2）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，|EG|是否为定值?为什么?
15.（12分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
16.（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入
2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)
万元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？(注：年利润＝年销
售收入－年总成本)
17.（14分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，2），点C满足=α+β，
其中α，β∈R，且+=1.
（1）求点C的轨迹方程；
（2）过点D（2，0）的直线l和点C的轨迹交于不同的两点M，N，且M在D，N之间，=λ，求λ的取值范围
1.B 解析：①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题.
2.A 解析：A中x＞1|x|＞1,|x|＞1x＞1或x＜-1，所以正确;B中p:x∈R,＞0;C中否命题为：“若≠1，则x≠1”;D中x=时是错误的.
3.A 解析：若m=2，A={1,4}，则A∩B={4}；反之，若A∩B={4}，则需=4，即m=±2.故“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.
4.B 解析：因为点（2，4）在抛物线上，则过点（2，4）的抛物线的切线只有一条.当斜率为0时，直线和对称轴平行，这时也只有一个公共点，则符合题意的直线有两条.
5.C 解析：直线恒过定点（0，1），若直线与椭圆恒有公共点，只需点（0，1）在椭圆上或在椭圆内部，∴≤1.又m＞0且m≠5，∴m≥1且m≠5.
6.C 解析：设A（，3-），B（，3-），由于A，B关于直线x+y=0对称，
所以解得或
设直线AB的斜率为k，则k=1，所以AB=|-|=3，故选C.
7.B 解析：设A（，），B（，），则有=2p，=2p，两式相减得（-）（+）=2p（-）.又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有+=2p.又线段AB的中点的纵坐标为2，即+=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=-=-1.
8.D 解析：双曲线的半焦距c=（c＞0），
由题意得=+1，∴ab=+c.
∵+≥2ab，∴ab≤，∴≥+c.
又∵c＞0，∴c≥6.故选D.
9.B 解析：可以设f(x)＝－2＋c，其中c为常数．由于f(x)过(0，－5)，所以c＝－5.由f′(x)＝0，得极值点为x＝0或x＝±1.当x＝0时，f(x)＝－5，故x的值为0.
10.B 解析：f′(x)＝3a－3，由题意知f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．若a≤0，显然有f′(x)＜0；若a＞0，由f′(x)≤0，得－≤x≤，于是≥1，∴0＜a≤1.综上知a≤1.
11.a＜解析：∵p为真命题，∴p为假命题.又当p为真命题时，需a+2x+3≥0恒成立，显然
a=0时不正确，则需∴a≥，∴当p为假命题时，a＜.
12.-7 解析：f′(x)＝－3+6x+9.令f′(x)＝0,得x＝-1或x＝3.∴f(x)在[-1,2]上单调递增.又由于f(x)
在[-2,-1]上单调递减,f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,∴f(2)＞f(-2).∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.于是有22+a＝20,解得a＝－2.∴f(x)＝-+3+9x-2.
∴f(-1)＝1+3-9-2＝－7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
13.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，
∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.
x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，
∴“x≠1”是“≠1”的不充分条件.
x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.
但x＋|x|＞0x＞0x≠0，
∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.
14.解：（1）如图，依题意知，动点P到定点F（0，1）的距离等于点P到直线y=-1的距离，故
曲线C是以原点为顶点，F（0，1）为焦点的抛物线.
∵=1，∴p=2.
∴曲线C的方程是=4y.
（2）设圆M的圆心为M（a，b），
∵圆M过A（0，2），
∴圆的方程为+=+.
令y=0得-2ax+4b-4=0.
设圆与x轴的两交点分别为（，0），（，0）.
方法一：不妨设＞，由求根公式得
=，=.
∴-=.
又∵点M（a，b）在抛物线=4y上，∴=4b.
∴-==4，即|EG|=4.
∴当M运动时，弦长|EG|为定值4.
方法二：∵+=2a，·=4b-4，
∴=-4·=-4（4b-4）=4-16b+16.
又∵点M（a，b）在抛物线=4y上，∴=4b，
∴=16，|-|=4，
∴当M运动时，弦长|EG|为定值4.
15.解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.
又a＞0，所以a＜x＜3a.
（1）当a=1时，1＜x＜3，
即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.
由
得2＜x≤3，
即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.
若p∧q为真，则p真q真，
所以实数x的取值范围是2＜x＜3.
（2）若p是q的充分不必要条件，
即q，且p.
设A={x|p},B={x|q},则A B，
又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，
B={x|q}={x|x≤2或x＞3}，
则有0＜a≤2且3a＞3，
所以实数a的取值范围是1＜a≤2.
16. 解：(1)当0<x≤10时，W(x)＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；
当x>10时，W(x)＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.
∴W(x)＝
(2)①当0<x≤10时，由W′(x)＝8.1－＝0，得x＝9，且当x∈(0,9)时，W′(x)>0；当x∈(9,10］时，W′(x)<0，
∴当x＝9时，W(x)取最大值，且＝8.1×9－×－10＝38.6.
②当x>10时，W(x)＝98－(＋2.7x)≤98－2＝38，
当且仅当＝2.7x，即x＝时，W()＝38，故当x＝时，W(x)取最大值38.
综合①②知当x＝9时，W(x)取最大值38.6万元，
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．17.解：（1）设点C（x，y），∵=α+β，
∴（x，y）=α（1，0）+β（0，2），∴即
代入+=1，得点C的轨迹方程为+=1.
（2）由已知得0＜λ＜1，设M（，），N（，），
则由=λ，可得（-2，）=λ（-2，），
∴即
∵M，N在椭圆上，∴
消去，得+（1-）=1，
即-=1-.
利用平方差公式整理得=（λ≠1）.
∵||≤1，∴||≤1，解得≤λ≤3，且λ≠1.
又0＜λ＜1，∴λ的取值范围是[，1).。