2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第三章 第五节 两角和与差及二倍角的三角函数 Word版含解析

课时作业 A 组——基础对点练
1．设sin(π－θ)＝1
3，则cos 2θ＝( )
A ．±42
9
B.79 C ．－429
D ．－79
解析：因为sin(π－θ)＝sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝7
9，故选B.
答案：B
2．计算sin 110°sin 20°
cos 2155°－sin 2155°的值为( )
A ．－1
2
B.12
C.32
D ．－
32
解析：sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°
cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝1
2sin 40°
sin 40°＝12.
答案：B
3．若tan α＝13，tan(α＋β)＝1
2，则tan β＝( )
A.1
7 B.16 C.57
D.56
解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
＝1
3＋tan β
1－13tan β＝1
2，
解得tan β＝1
7.
答案：A
4．(2018·西安质量检测)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12 C.3
2
D ．－12
解析：sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋(－cos 45°)·sin 15°＝sin(45°－15°)
＝sin 30°＝1
2.
答案：B
5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－7
8，则sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值为( ) A.1
4 B.78 C ．±14
D ．±78
解析：因为cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝78，所以有sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝12⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2π3＝12⎝⎛⎭⎫1－78＝116，从而求得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值为±14，故选C. 答案：C
6．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－3
3，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．－23
3
B ．±233
C ．－1
D ．±1
解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，∴cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋3
2sin x ＝3⎝⎛
⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×⎝⎛⎭
⎫－33＝－1. 答案：C
7．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan(α＋π
4)的值为( )
A ．－3
B ．3
C ．－3或3
D ．－1或3
解析：∵2sin 2α＝1＋cos 2α， ∴4sin αcos α＝1＋2cos 2α－1， 即2sin αcos α＝cos 2α，
①当cos α＝0时，α＝k π＋π2，此时tan(α＋π
4)＝－1，
②当cos α≠0时，tan α＝12，此时tan(α＋π
4)
＝tan α＋tan
π
4
1－tan αtan
π
4
＝3，
综上所述，tan(α＋π
4
)的值为－1或3.
8．已知sin 2α＝23，则cos 2(α＋π
4)＝( )
A.1
6 B.13 C.12
D.23
解析：cos(α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝1
2(1－2sin αcos α)
＝12(1－sin 2α)＝1
6. 答案：A
9．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π
3＋2α＝( ) A ．－7
8
B ．－14
C.14
D.78
解析：cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－⎣⎡⎦
⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π
3－α＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78
.
答案：A
10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝1
5，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α的值是( ) A.23
25 B.15 C ．－15
D ．－2325
解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝15，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝2325. 答案：A
11．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10
2
，则tan 2α＝( ) A.4
3 B.3
4 C ．－34
D ．－43
解析：两边平方，再同时除以cos 2α，得3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－1
3，
代入tan 2α＝2tan α1－tan 2α
，得到tan 2α＝－3
4.
12．若tan θ＋1
tan θ
＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13
D.12
解析：∵tan θ＋1
tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2 θ，
∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝1
2. 答案：D
13．已知tan α＝3，则cos 2α＝________. 解析：cos 2α＝2cos 2 α－1＝2·cos 2αsin 2α＋cos 2α－1＝2×1tan 2α＋1
－1＝－4
5. 答案：－45
14．(2018·长沙市模拟)已知α－β＝π
3，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为________．
解析：由tan α－tan β＝sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＝sin (α－β)cos αcos β＝3，解得cos αcos β＝3
6，又cos(α
－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，所以sin αsin β＝12－36，所以cos(α＋β)＝33－1
2.
答案：
33－1
2
15．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
4－22sin 2x 的最小正周期是__________． 解析：∵f (x )＝
22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋2
2
cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π.
答案：π
16．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是__________． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435， ∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝43
5，
∴32sin α＋32cos α＝435
，
即
32sin α＋12cos α＝45
， 故sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6 ＝－⎝⎛
⎭
⎫32sin α＋12cos α＝－45.
答案：－4
5
B 组——能力提升练
1．(2018·洛阳市模拟)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝2
2
(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°
1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．a ＞c ＞b
解析：a ＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，b ＝2
2
(sin 56°－cos 56°)＝
22sin 56°－2
2
cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°， c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°
sin 239°＋cos 239°
cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°， ∵sin 13°＞sin 12°＞sin 11°， ∴a ＞c ＞b . 答案：D
2． (2018·吉林大学附中检测)若α∈(π2，π)，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－35
6 B ．－16
C ．－
3518
D ．－1718
解析：∵3cos 2α＝sin(π4－α)，∴3(cos 2α－sin 2α)＝－2
2(sin α－cos α)，易知sin α≠cos α，故
cos α＋sin α＝26，1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－17
18
，故选D. 答案：D
3．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝1
6，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小
关系是( )
A ．α<π4<β
B ．β<π
4<α
C.π
4
<α<β D.π
4
<β<α 解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π
4
.
又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
＝3，∴α＋β＝π3，又α>π
4，
∴β<π4<α.
答案：B
4．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A.π
4 B.π3 C.π2
D.3π4
解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan β·tan C ＝1－2，所以tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1.由已知，有tan A ＝－tan(B ＋C )，则
tan A ＝1，所以A ＝π
4.
答案：A
5．(2018·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
3＝( ) A.1＋35
8
B.1＋538
C.1－358
D.1－538
解析：由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A. 答案：A
6．(2018·贵阳监测)已知sin(π6－α)＝13，则cos[2(π
3＋α)]的值是( )
A.7
9 B.13 C ．－13
D ．－79
解析：∵sin(π6－α)＝13，∴cos(π3－2α)＝cos[2(π6－α)]＝1－2sin 2(π6－α)＝79，∴cos[2(π
3＋α)]＝
cos(2π3＋2α)＝cos[π－(π3－2α)]＝－cos (π3－2α)＝－7
9.
答案：D
7．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝7
25，则sin α＝( ) A.4
5 B ．－45
C.35
D ．－35
解析：由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ① 由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝7
25，
所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝
7
25
， ② 由①②可得cos α＋sin α＝－1
5，③
由①③可得sin α＝3
5.
答案：C
8．已知sin(π6－α)＝cos(π
6＋α)，则cos 2α＝( )
A ．1
B ．－1 C.1
2
D ．0
解析：∵sin(π6－α)＝cos(π6＋α)，∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即(12－32)sin α＝－(
1
2－32)cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2 α－sin 2
α＝cos 2 α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 答案：D
9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤
π12，7π12 B.⎣⎡⎦⎤－5π12，π
12 C.⎣⎡⎦
⎤－π3，2π3 D.⎣⎡⎦
⎤－π6，5π6 解析：由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋2cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π12
＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋π4＝22·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π
12(k ∈Z)，所以函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12，7π12，故选A. 答案：A
10．若tan α＝2tan π
5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π
10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α－3π10＋π2sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π
5sin αcos αcos π5－sin π5
＝2·sin
π
5cos π5cos π5＋sin
π52·sin π5cos π5cos π5－sin
π5＝3sin π5sin π5＝3，
故选C. 答案：C
11．若tan α＝3，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π
4的值为( ) A ．－
2
10
B.210
C.5210
D.7210
解析：sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos 2α＝cos 2α－sin 2
α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝
1－tan 2α1＋tan 2α
＝－4
5，
∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝22×⎣⎡⎦⎤35＋⎝⎛⎭⎫－45＝－210. 答案：A
12．已知1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝12，则tan θ＝( )
A.43
B.34 C ．－34
D ．－43
解析：因为1＋sin θ＋cos θ
1＋sin θ－cos θ
＝2sin θ2cos θ2＋2cos 2
θ22sin θ2cos θ2＋2sin
2θ2
＝2cos θ
2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22sin θ2⎝⎛
⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝1
tan θ2
＝12
， 所以tan θ2＝2，于是tan θ＝2tan
θ
2
1－tan 2
θ2＝－4
3
.
答案：D
13．已知cos 4α－sin 4α＝2
3
，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝__________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23
>0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－3
2×
53＝2－156
. 答案：2－156
14．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝__________. 解析：由题意得tan α＋ tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝3，
且tan α<0，tan β<0，又α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，故α，β∈⎝⎛⎭⎫－π
2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π
3.
答案：－2π
3
15．(2018·邢台摸底考试)已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－1
3，则tan β＝________.
解析：依题意得tan α＝1
2，tan β＝tan[(β－α)＋α]＝tan (β－α)＋tan α1－tan (β－α)·tan α＝17.
答案：1
7
16．已知0<θ<π，tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1
7
，那么sin θ＋cos θ＝________. 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－4
3sin θ， ∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝25
9sin 2θ＝1，
∵0<θ<π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－4
5，
∴sin θ＋cos θ＝－1
5.
答案：－1
5。