吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.6三角函数模型的简单应用学案 文 新人教A版必修4

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.6三角函数模型的简单应
用学案 文 新人教A 版必修4
【学习目标】
1.掌握三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型 【典型例题分析】
.1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x =的图象有什么联系？
2．已知：1sin 2α=-，若(1),22ππα∈-⎛⎫
⎪⎝⎭
； (2)(0,2)απ∈；
(3)α是第三象限角；(4)α∈R．分别求角α。

3．已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程2
10x kx k -++=的两个根，求角θ．
4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ；
（2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ．
5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大?
6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？
7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖
时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线：cos
x y a a
的一
个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时，a 应是多少cm ?
9、（14分）如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为4
π
，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ，
（1） 试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；
（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.
10．某港口水的深度y （米）是时间
t ，单位：时）（24t 0≤≤，记作y=f(x),下面是某日水深的数
据：
经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t Asin
y +=ϖ的图象。

A
B P
O S Q
参考答案
1． 略 2．(1)6
π
α=-
(2)76
πα=
或116
πα=
(3)76
2,k k Z παπ=
+∈(4)76
2,k k Z παπ=
+∈或
6
2,k k Z π
απ=-
+∈。

3．由已知得：sin cos (1)sin cos 1(2)
k
k θθθθ+==+⎧⎨
⎩2(1)2(2)-⨯得212(1)k k ++=
∴k 2
-2k-3=0即k=3或k=-1.
又sin 1,cos 1θθ≤≤则sin cos 2k θθ+=≤，因此k=3舍去。

∴k=-1, 则sin cos 1θθ+=-, sin cos 0θθ=, ∴32
πθ=
或θπ=
4．由已知A ＋C ＝，A ＋B ＋C ＋D ＝得A ＝－C ，则sin A ＝sin （－C ）＝sin C ，
又A ＋B ＝
－（C ＋D ），
故cos （A ＋B ）＝－（C ＋D ）]＝cos （C ＋D ）. tan （A ＋B ＋C ）＝tan （
－D ）＝－tan D ．
5．设出厂价波动函数为y 1＝6+Asin(ω1x+φ1) 易知A ＝2 T 1＝8 ω1＝
4π 43π+φ1＝2π⇒ φ1＝-4π ∴y 1＝6+2sin(4πx-4
π
)
设销售价波动函数为y 2＝8+Bsin(ω2x+φ2) 易知B ＝2 T 2＝8 ω2＝
4π 45π +φ2＝2
π⇒φ2＝-43π
∴y 2＝8+2sin(
4
πx-43π
) 每件盈利 y ＝y 2-y 1＝［8+2sin(
4πx-43π)］-［6+2sin(4πx-4
π
)］ ＝2-22sin
4
π
x
当sin
4πx ＝-1⇒ 4πx ＝2k π-2
π
⇒x ＝8k-2时y 取最大值 当k ＝1 即x ＝6时 y 最大 ∴估计6月份盈利最大 6．略
7．弯脖的直径为12 cm ，则周长为12cm π，周长正是函数cos
x y a a
=的一个周期，即
212T a ππ==，得6a cm =．
8．解：f (x )=|sin2x|
f (-x )=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x )
∴f (x )为偶函数 T=2
π
在[0,4π]上f (x )单调递增；在[4π,2
π
]上单调递减
9．解：（1）在直角三角形OPS 中 SP=2sin θ，OS=2cos θ 矩形的宽SP=2sin θ
因∠ROQ=
4
π
所以OR=RQ=SP=2sin θ
矩形的长RS=OS －OR=2cos θ－2sin θ
所以面积：y=(2cos θ－2sin θ)2sin θ (0﹤θ<4
π) 10． 1）10t 6
sin
3y +π
= 2）由5.1110t 6sin
3≥+π，即21t 6sin ≥π，解得z k ,k 26
5t 6k 26∈π+π≤π≤π+π -1
)z k (5k 12t 1k 12∈+≤≤+，在同一天内，取k=0，1得17t 13,5t 1≤≤≤≤
∴该船希望在一天内安全进出港，可1时进港，17时离港，它至多能在港内停留16小时。

【补充例题】 一、选择题
1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（ ）
A.t v y 0=
B.202
1
sin t g t v y ⋅-
⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 0 2. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（ ）
A ．
2
π
B.0
C.π
D.
π3
2 3.某人向正东方向走x 千米后向右转
150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为 （ ）
A ．3 B.32 C.332或 D.3
二、填空题
4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为0
45，从甲楼顶望乙楼顶俯角为
30，则甲、乙两楼的高度分别为_______。