上海市20182019年沪教版(五四制)八年级第一学期勾股定理及其逆定理

上海市20182019年沪教版（五四制）八年级第一学期勾股定理及其逆定理
1.什么是勾股数？
2.暑假标杆学员：你还记得这个表吗？？ 3，4，5 5，12，13， 7，24，25 8，15，17 9，40，41
6，8，10
15，36，39
27，
120，123
28，96，100
40，75，85
3.观察勾股数组的形成规律,你能得出什么结论呢?
例1 在钝角三角形ABC 中，CB=9cm ，AB=17cm ，AC=10cm ，AD 垂直于
2 3 4 5
BC 的延长线于D ，求AD 的长． 变式一已知△ABC 中，AB=AC ，AB=10cm ，BC=16cm ．求（1）S
△ABC
；
（2）腰AC 上的高BE ．
变式二如图，已知△ABC 中，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，
AB=9，AC=7，BC=8，求DE 的长． 例 4 直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，那么这个三角形 的面积为多少？
变式一直角三角形的周长为32cm ，斜边长为12cm ，那么这个三角形 的面积为多少？
变式二已知直角三角形周长为24，面积为24，求斜边之长．
【知识板块三】与勾股定理相关的证明
例1 如图所示，在△ABC 中， AD ⊥BC 于点D ，
cm cm cm D
B
C
A
M 为AD 上任一点， 求证：
2
222AC AB MC MB -=-.
例2 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P 是边BC 上的一点． 求证：PC
BP AP AB
•+=22
.
【知识板块四】勾股定理逆定理
勾股定理的逆定理：
例1 判断以下各组线段为边能否组成直角三角形．
（1）9、41、40；（） （2）5、5、5；（）（3）
、、；（）
（4）、、；（） （5）、、.（）
例 2 若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足条件，
=+++338222c b a c
b a 262410++，判断△ABC 的形状，并求
出此三角形的面积．
【大展身手】
一、选择题
1．如图，分别以Rt △ABC 的三边AB 、
213
1
415
2
32
42
5235
BC 、CA 为直径向外作半圆，设直
线AB 左边阴影部分的面积为1
S ，右边阴影部分的
面积和为2
S ，则（）
A ．21
S S = B ．2
1
S S
<
C ．2
1
S S
>
D ．无法确定
2．在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=48，BC=7，AC 边上中线BD 的长为（） A ．24 B ．14 C ．25
D ．27
3．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=25，BD=7，DC=18，则AC=（） A ．24 B ．25 C ．30
D ．35
4．一个三角形水池，它的三边分别为8.5cm ，7.5cm ，4cm ，则三角形 中最大的角是（） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．不能确定
5．直角三角形的两边为9和40，则第
三边长为（） A ．50
B ．41
B
F
E D
B
A
C
C ．31
D ．以上答案都不对
6．如图，正方形ABGF 和正方形CDEB 的面积分别是100和36，则以AC 为直径的半圆的面积是（） A ．8π B ．16π C ．32π D ．64π
7．如图，△ABC 中，BC AD ⊥于D 点，BC=7，DE=3，
若△ABD
与△EDC 都是等腰三角形，则AC 的长是（） A ．7 B ．5 C ．4
D ．3 8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝
左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距( )
A. 50cm
B. 100cm
C. 140cm
D. 80cm 二、填空题 1．已知和
是相反数，以x 、y 、
z 为
边的三角形是三角形．
1213
x z -+-21025
y y -+
2．如果△ABC 三边c b a ,,满足c
b a
c b a 108650222
++=+++，
此
三角形是三角形.
3．在△ABC 中，∠C=90°，三内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若
a=9，b=12，则c=；若b=7，c=25，则a=. 4．一根铁丝折成Rt △ABC ，∠C=
90，AC=15cm ，
BC=8cm ，若用这根
铁丝折成正方形，则它的边长为cm ．
5．△ABC 中，BC 边上的中线，则△ABC 是三角形．
6．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足，
试判断 △ABC 的形状． 7．在△ABC 中，0
90=∠C ．
（1）若6,2==b a ，则c = （2）若60,61==b c ，则a =
（3）若，，则a =，b = 8．三角形三边之比为13:12:5，周长为120，则它
的面积为
532222()()0
a b a b c -+-=:3:4a b =10c =D
C
B
9．已知直角三角形的两边长为10、6，另一边长为
10．如果三角形的三边分别为()
b a ab b a b a >-+2,,2222
，
则这个三角形的形状是 三、解答题
1．如图，已知四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，0
90=∠B ，
求证:0
180=∠+∠C A .
2．如图，在△ABC 中，0
90=∠ACB ，BC=8cm ，AC=15cm ，
CD ⊥AB ，
D 为垂足，求CD 的长．
3．如图，一个古代棺木被探明位于A 点地下24米C 处，由于A 点地面
下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距A 点10米
远的B 点处挖掘，若考古人员要沿最短路线挖到棺木，则需要挖多长的 距离？
4．如图，在△ABC 中，∠C=90º，AD 为∠CAB 的平分线，交BC 于D ，
D
A
D
A
第 11 页 BC=4，CD=1.5，求AC 的长．
5．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理
的一种新的证明方法，如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到
'''D C AB 的位置，连结'
CC ，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用 四边形''D BCC 的面积证明勾股定理：222c b a
=+． 6．在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且BC EC 41=，
如图，AF 与EF 垂直吗？试加以说明.。