2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第一章 §1.1 集 合
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2025年新人教版高考数学一轮复习讲义
第一章
§1.1 集 合
1.了解集合的含义,了解全集、空集的含义.
2.理解元素与集合的属于关系,理解集合间的包含和相等关系.
3.会求两个集合的并集、交集与补集.
4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.
第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练
第一部分
落实主干知识
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性: 、 、 .(2)元素与集合的关系是 或 ,用符号 或 表示.(3)集合的表示法: 、 、 .确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法图示法(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)
正整数集整数集有理数集实数集符号
___ N *(或N +)
___ ___
___ N
Z
Q R
2.集合的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中 都是集合B 中的元素,就称集合A 为集合B 的子集,记作
(或B ⊇A ).(2)真子集:如果集合A ⊆B ,但存在元素x ∈B ,且 ,就称集合A 是集合B 的真子集,记作
(或B A ).(3)相等:若A ⊆B ,且
,则A =B .(4)空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为∅.空集是 的子集,是 的真子集.
任意一个元素A ⊆B x ∉A A B B ⊆A 任何集合任何非空集合
3.集合的基本运算
表示运算集合语言图形语言
记法并集________________ ______ 交集________________
______ 补集
________________
____
{x |x ∈A ,或x ∈B }A ∪B {x |x ∈A ,且x ∈B }A ∩B {x |x ∈U ,且x ∉A }∁U A
常用结论
1.若集合A有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,2n-1个真子集.
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.
4.∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B),∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x ∈N |x 3=x },用列举法表示为{-1,0,1}.( )(2){x |y =x 2+1}={y |y =x 2+1}={(x ,y )|y =x 2+1}.( )(3)若1∈{x 2,x },则x =-1或x =1.( )(4)对任意集合A ,B ,都有(A ∩B )⊆(A ∪B ).( )
√×××
2.(必修第一册P14T4改编)设集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则(∁R A)∩B等于
A.{x|2<x≤3}
B.{x|7<x<10}
√
C.{x|2<x<3或7≤x<10}
D.{x|2<x≤3或7<x<10}
因为∁R A={x|x<3或x≥7},B={x|2<x<10},所以(∁R A)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.
3.(必修第一册P35T9改编)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若
2
A∪B=A,则实数a=________.
因为A∪B=A,所以B⊆A,所以a+2∈A.
当a+2=3,即a=1时,A={1,3,1},不满足集合中元素的互异性,不符合题意;
当a+2=a2时,a=-1(舍去)或a=2,此时A={1,3,4},B={1,4},符合题意.综上,实数a=2.
4.(必修第一册P9T5改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|0<x<2},若B⊆A,
[2,+∞)
则实数a的取值范围为___________.
因为B⊆A,所以利用数轴分析法(如图),可知a≥2.
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第二部分
探究核心题型
例1 (1)(2023·长春模拟)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=4},B ={(x ,y )|x +y =0},
则A ∩B 的子集个数为
A.1
B.2
C.3
D.4√题型一 集合的含义与表示
集合A={(x,y)|x2+y2=4}表示以(0,0)为圆心,2为半径的圆上的所有点,
集合B={(x,y)|x+y=0}表示直线x+y=0上的所有点,
因为直线x+y=0经过圆心(0,0),
所以直线与圆相交,
所以A∩B的元素个数为2,
则A∩B的子集个数为4.
(2)已知集合A={0,m,m2-3m+2},且2∈A,则实数m的值为
√
A.2
B.3
C.0
D.-2
因为集合A={0,m,m2-3m+2},且2∈A,
则m=2或m2-3m+2=2,解得m∈{0,2,3}.
当m=0时,集合A中的元素不满足互异性;
当m=2时,m2-3m+2=0,集合A中的元素不满足互异性;
当m=3时,A={0,3,2},符合题意.综上所述,m=3.
思维升华
解决集合含义问题的关键点
(1)一是确定构成集合的元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
跟踪训练1 (1)(2023·苏州模拟)设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y |x∈A,y∈B},则C中元素的个数为
√
A.3
B.4
C.5
D.6
因为集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},所以C={5,6,7,8}.即C中元素的个数为4.
(2)若含有3个实数的集合既可表示成 ,又可表示成{a2,a+b,0},
1
则a2 024+b2 024=________.
此时两集合分别是{a,1,0},{a,a2,0},则a2=1,解得a=1或a=-1.
当a=1时,不满足互异性,故舍去;当a=-1时,满足题意.
所以a2 024+b2 024=(-1)2 024+02 024=1.
例2 (1)(2023·海口质检)已知集合A ={x |x >5},B ={x |1-log 2x <0},则A.A ⊆B
B.B ⊆A
C.A ∩B =∅
D.A ∪B =R
因为集合A ={x |x >5},集合B ={x |1-log 2x <0}={x |x >2},
所以A ⊆B .
√题型二 集合间的基本关系
(2)已知集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若B⊆A,则实数a的取值范围是
√
∵B⊆A,
∴①若B=∅,即ax+1≤0无解,此时a=0,满足题意.
②若B≠∅,即ax+1≤0有解,
思维升华
(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
跟踪训练2 (1)已知集合M={x|y = ,x∈R},N={x|x=m2,m∈M},则集合M,N的关系是
√
A.M N
B.N M
C.M⊆∁R N
D.N⊆∁R M
因为M={x|y= ,x∈R}={x|-1≤x≤1},N={x|x=m2,
m∈M}={x|0≤x≤1},所以N M.
(2)设集合A ={x |-1≤x +1≤6},B ={x |m -1<x <2m +1},当x ∈Z 时,集
合A 的非空真子集的个数为________
;当B ⊆A 时,实数m 的取值范围是________________________.
254{m |m ≤-2或-1≤m ≤2}
易得A={x|-2≤x≤5}.
若x∈Z,则A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,∴A的非空真子集的个数为28-2=254.
①当m-1≥2m+1,即m≤-2时,B=∅,B⊆A;
②当m>-2时,B={x|m-1<x<2m+1}≠∅,
综上所述,m的取值范围是{m|m≤-2或-1≤m≤2}.
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M={x | <4},N={x|3x≥1},则M∩N 等于
√
所以M={x|0≤x<16};因为N={x|3x≥1},
(2)(多选)已知M ,N 均为实数集R 的子集,且N ∩(∁R M )=∅,则下列结论中正确的是
A.M ∩(∁R N )=∅
B.M ∪(∁R N )=R
C.(∁R M )∪(∁R N )=∁R M
D.(∁R M )∩(∁R N )=∁R M
√√
∵N∩(∁R M)=∅,∴N⊆M,
如图,若N是M的真子集,则M∩(∁R N)≠∅,故A错误;由N⊆M可得M∪(∁R N)=R,故B正确;
由N⊆M可得∁R N⊇∁R M,故C错误,D正确.
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (1)(多选)已知A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且A∪B=A,则m的值可能为
√√√
由题意知A={x|x2+x-6=0},
由x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,所以A={2,-3},
因为A∪B=A,所以B⊆A,当B=∅时,m=0,满足题意;
(2)(2024·本溪模拟)设集合A={x|x<a2},B={x|x>a},若A∩(∁R B)=A,
则实数a的取值范围为
√
A.[0,1]
B.[0,1)
C.(0,1)
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
因为B={x|x>a},
所以∁R B={x|x≤a},
又A∩(∁R B)=A,所以A⊆∁R B,
又A={x|x<a2},所以a2≤a,
解得0≤a≤1,即实数a的取值范围为[0,1].
思维升华
对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示,此时要注意端点的情况.
跟踪训练3 (1)(多选)已知集合A ={x |x 2-2x >0},
B ={x |1<x <3},则A.(∁R A )∪B ={x |0≤x <3}
B.(∁R A )∩B ={x |1<x <2}
C.A ∩B ={x |2<x <3}
D.A ∩B 是{x |2<x <5}的真子集√√√
由x2-2x>0,得x<0或x>2,所以A={x|x<0或x>2},所以∁R A={x|0≤x≤2},
对于A,因为B={x|1<x<3},所以(∁R A)∪B={x|0≤x<3},所以A正确;对于B,因为B={x|1<x<3},所以(∁R A)∩B={x|1<x≤2},所以B错误;
对于C,因为A={x|x<0或x>2},B={x|1<x<3},所以A∩B={x|2<x<3},所以C正确;
对于D,因为A∩B={x|2<x<3},所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集,所
(2)已知集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x<a-1},若A∩B=∅,则实数a的取值范围为
√
A.(-∞,1]
B.(-∞,2]
C.[1,+∞)
D.[2,+∞)
因为集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x<a-1},且A∩B=∅,
则a-1≤1,解得a≤2.
题型四 集合的新定义问题
例5 (多选)群论是代数学的分支学科,在抽象代数中具有重要地位,且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响,例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一,其定义如下:设G是一个非空集合,“·”是G上的一个代数运算,即对所有的a,b∈G,有a·b∈G,如果G的运算还满足:①∀a,b,c∈G,有(a·b)·c=a·(b·c);②∃e∈G,使得∀a∈G,有e·a=a·e=a;
③∀a∈G,∃b∈G,使a·b=b·a=e,则称G关于“·”构成一个群.
则下列说法正确的有
A.G={-1,0,1}关于数的乘法构成群√
√
对于A,若G={-1,0,1},则对所有的a,b∈G,有a·b∈{1,0,-1}=G,满足乘法结合律,即①成立,满足②的e为1,
但当a=0时,不存在b∈G,使得a·b=b·a=e=1,即③不成立,故A 错误;
对于C,若G=R,则对所有的a,b∈R,有a+b∈R,
满足加法结合律,即①成立,满足②的e为0,
思维升华
集合新定义问题的“三定”
(1)定元素:确定已知集合中所含的元素,利用列举法写出所有元素.
(2)定运算:根据要求及新定义运算,将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题,或转化为数的有关运算问题.
(3)定结果:根据定义的运算进行求解,利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素.
跟踪训练4 (多选)设A 为非空实数集,若对任意x ,y ∈A ,都有x +y ∈A ,x -y ∈A ,且xy ∈A ,则称A 为封闭集.下列叙述中,正确的为
A.集合A ={-2,-1,0,1,2}为封闭集
B.集合A ={n |n =2k ,k ∈Z }为封闭集
C.封闭集一定是无限集
D.若A 为封闭集,则一定有0∈A √
√
对于A,在集合A={-2,-1,0,1,2}中,-2-2=-4不在集合A中,∴集合A不是封闭集,故A错误;
对于B,集合A={n|n=2k,k∈Z},设x,y∈A,则x=2k1,y=2k2,k1,k2∈Z,
∴x+y=2(k1+k2)∈A,x-y=2(k1-k2)∈A,xy=4k1k2∈A,
∴集合A={n|n=2k,k∈Z}为封闭集,故B正确;
对于C,封闭集不一定是无限集,如:{0}为封闭集,故C错误;
对于D,若A为封闭集,则取x=y,得x-y=0∈A,故D正确.
知识过关
一、单项选择题
1.(2022·全国乙卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁U M={1,3},则√
A.2∈M
B.3∈M
C.4∉M
D.5∉M
由题意知M={2,4,5}.
2.(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N等于
A.{-2,-1,0,1}
B.{0,1,2}
√
C.{-2}
D.{2}
方法一 因为N={x|x2-x-6≥0}=(-∞,-2]∪[3,+∞),
而M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.
方法二 因为M={-2,-1,0,1,2},将-2,-1,0,1,2代入不等式
x2-x-6≥0,只有-2使不等式成立,所以M∩N={-2}.。