【把握高考】高三数学最新专题课件 第八章 8.4《椭圆》人教版选修

第八章 平面解析几何
【即时巩固1】 若动圆P过定点A(－3,0)，并且内切 于圆C：(x－3)2＋y2＝64，则动圆P的圆心P的轨迹是什么 图形？
解：如图，圆的圆心C的坐标为(3,0)，半径为8，动 圆P的半径设为R，
则有|PC|＝8－R，|PA|＝|PB|＝R， 所以|PC|＝8－|PA|， 所以|PC|＋|PA|＝8. 因为|AC|＝6，|PC|＋|PA|＞|AC|， 所以P点的轨迹是椭圆．
第八章 平面解析几何
第八章 平面解析几何
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(_大__于__|_F_1_F_2_| ) 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_焦__点__，两焦
点的距离叫做椭圆的_焦__距__．
2．椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
e＝ac∈_(0__,1_)_， 其中 c＝__a_2_－__b__2
第八章 平面解析几何
1．已知 F1、F2 是椭圆1x62＋y92＝1 的两个焦点，过 F1 的直
线与椭圆交于 M、N 两点，则△MNF2 的周长为
()
A．8
B．16
C．25
D．32
解析：椭圆长轴2a＝8，由定义：△MNF2的周长＝ |MF2|＋|NF2|＋|MN|＝|MF2|＋|NF2|＋|MF1|＋|NF1|＝4a＝16.
答案：D
第八章 平面解析几何
【即时巩固4】 若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个
端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为 ( )
2 A. 2
3 B. 2
C.
5 3
D.
6 3
解析：如图所示，四边形 B1F2B2F1
为正方形，则△B2OF2 为等腰直角三角形，
所以ac＝ 22. 答案：A
第八章 平面解析几何
第八章 平面解析几何
2．注意椭圆几何性质的挖掘． (1)设椭圆方程xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上任意一点为 P(x，y)，
则 |OP| ＝ x2＋y2 ＝
x2＋ba22a2－x2 ＝
c2x2＋a2b2 a
.
因
为
－
a≤x≤a，所以 x＝0 时，|OP|有最小值 b，这时，P 在短轴端
点处；当 x＝a 时，|OP|有最大值 a，这时 P 在长轴端点处． (2)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两个焦点F1(－c,0)，
整理，得
a2＝3c2.故离心率
e＝ac＝
3 3.
第八章 平面解析几何
(2)由(1)得 b2＝a2－c2＝2c2.
所以椭圆的方程可写为 2x2＋3y2＝6c2. 设直线 AB 的方程为 y＝kx－ac2，即 y＝k(x－3c)． 由已知设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则它们的坐标满足方程组2y＝x2＋kx3－y2＝3c6，c2.
_|x_|_≤_b_，___|y_|_≤_a___
对称轴：坐___标__轴__ 对称中心：_原__点__
顶点坐标：
顶点坐标：
A1_(－___a_,0__)，A2_(_a_,0__) A1_(0__，__－__a_)_，A2_(0__，__a_)_
性
B1_(_0_，__－__b_)_，B2(_0_，___b_) B1_(－___b_,0_)_，B2_(_b_,0_)_
第八章 平面解析几何
(即时巩固详解为教师用书独有) 考点一 应用椭圆的定义解题 【案例1】 平面内的动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2a， 当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是什么？当2a<|F1F2|时呢？ 关键提示：准确理解定义中2a>|F1F2|的意义． 解：当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，点M的轨迹不存在．
，
焦距为_2_c_(_c_＞__0_)_，焦点坐标是_(_－__c_,0_)_，_(_c,_0_)_；焦点在 y
轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ay22＋xb22＝1(a＞b＞0) ， 焦 距 为
_2_c_(c_＞__0_)_，
第八章 平面解析几何
焦点坐标是_(_0_，__－__c_) ，_(_0_，__c_)．其中a、b、c的关系为 _a_2_＝__b_2＋__c_2_. 3．椭圆的简单几何性质
解：(1)设椭圆的标准方程为
xa22＋by22＝1 或ay22＋xb22＝1(a>b>0)．
由已知 a＝2b，
①
且椭圆过点(2，－6)，
第八章 平面解析几何
从而有2a22＋－b262＝1 或－a62 2＋2b22＝1.
②
由①②得 a2＝148，b2＝37 或 a2＝52，b2＝13.
故所求的方程为1x428＋3y72 ＝1 或5y22 ＋1x32＝1.
答案：B
第八章 平面解析几何
【即时巩固2】 椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，
那么k等于
()
A．－1
B．1
C. 5
解析：椭圆方程变形为：x2＋y52＝1.
k
D．－ 5
因为焦点(0,2)在 y 轴上，所以5k－1＝4，解得 k＝1. 答案：B
第八章 平面解析几何
【案例3】 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A(2，－6)． (2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂 直，且焦距为6. 关键提示：可先设出椭圆的标准方程，再结合椭圆的 几何性质求解．
中，得到 a 与 c 的关系式．
第八章 平面解析几何
本题主要考查圆锥曲线中椭圆的几何性质．左焦点 F(－c,0)，右顶点 A(a,0)，不妨设点 B 在第二象限，则 B－c，ba2.由A→P＝2P→B得：xP－xA＝2(xB－xP)，代入坐 标得 0－a＝2(－c－0)，所以 e＝ac＝12.
考点四 直线与椭圆的位置关系 【案例 5】 (2009·天津)已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的两 个焦点分别为 F1(－c,0)和 F2(c,0)(c>0)，过点 Eac2，0的直线 与椭圆相交于 A，B 两点，且 F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|.
(1)求椭圆的离心率； (2)求直线AB的斜率； (3)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 F2B 上有 一点 H(m，n)(m≠0)在△AF1C 的外接圆上，求mn 的值．
()
A．2
B．－2
C.
1 2
D．－12
第八章 平面解析几何
解析：设直线 m 的方程为 y＝k1(x＋2)，代入椭圆方 程，得(1＋2k21)x2＋8k21x＋8k21－2＝0，设 P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，则 x1＋x2＝－1＋8k212k12，所以 y1＋y2＝k1(x1＋x2＋4)＝ 1＋4k21k21，所以 P－1＋4k221k21，1＋2k21k21，所以 k2＝－21k1，所 以 k1k2＝－21.
质 顶点 长 轴 _线__段___A_1_A_2_ 的 长 为 长 轴 _线__段__A__1_A_2_ 的 长 为
_2_a_
_2_a_
短 轴 _线__段__B__1_B_2_ 的 长 为 短 轴 _线__段__B__1_B_2_ 的 长 为
_2_b_
_2_b_
Hale Waihona Puke 离心率e＝ac∈_(_0_,1__) ， 其中 c＝__a_2_－__b__2
第八章 平面解析几何
关键提示：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性 质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法 研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和 推理能力．
解：(1)由 F1A∥F2B 且|F1A|＝2|F2B|， 得||EEFF21||＝||FF21BA||＝21，从而aacc22＋－cc＝12.
(2)如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角 形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c， |A1A2|＝2b， 所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18. 故所求的椭圆的方程为1x82 ＋y92＝1.
第八章 平面解析几何
【即时巩固 3】 已知椭圆88x12＋3y62 ＝1 上一点 M 的纵 坐标为 2.
解得|PF1|·|PF2|＝34.
所以△F1PF2 的面积为12|PF1|·|PF2|sin
60°＝
3 3.
第八章 平面解析几何
1．求椭圆标准方程的方法，除了直接根据定义外， 常用待定系数法(先定型，后定参)．
椭圆的标准方程有两种形式，所谓“标准”，就是 椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上．焦点F1、F2的位置 决定椭圆标准方程的类型，是椭圆的定位条件；参数a、b 决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．对于方程： xm2＋yn2＝1(m＞0，n＞0)，若 m＞n＞0，则椭圆的焦点在 x 轴上；若 0＜m＜n，则椭圆的焦点在 y 轴上．焦点位置不 明确时，要注意分类讨论．
答案：D
第八章 平面解析几何
4．已知 P 点为椭圆x42＋y2＝1 上的点，F1，F2 是椭圆
的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2 的面积． 解：依题意得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. 在△F1PF2 中，由余弦定理得 (2 3)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60° ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
第八章 平面解析几何
考点二 椭圆的标准方程及其求法 【案例 2】 若方程25x－2 m＋16y＋2 m＝1 表示焦点在 y
轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是
()
A．－16<m<25
9 B.2<m<25
C．－16<m<29
D．m>92
关键提示：注意椭圆标准方程的“x”型与“y”型的区别．
解析：由题意2156－ ＋mm>>025，－m， 解得92<m<25.
所以 c2＋b2＋a2＋b2＝(a＋c)2.
又 b2＝a2－c2，所以 e2＋e－1＝0，e＝
5－1 2.
答案：A
第八章 平面解析几何
3．过点 M(－2,0)的直线 m 与椭圆x22＋y2＝1 交于 P1、P2
两点，线段 P1P2 的中点为 P，设直线 m 的斜率为 k1(k1≠0)，
直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 的值为
(1)求 M 的横坐标； (2)求过 M 且与x92＋y42＝1 共焦点的椭圆的方程． 解：(1)把 M 的纵坐标代入88x12＋3y62 ＝1， 得88x12＋346＝1，即 x2＝9. 所以 x＝±3，即 M 的横坐标为 3 或－3.
第八章 平面解析几何
(2)对于椭圆x92＋y42＝1，焦点在 x 轴上且 c2＝9－4＝5， 故设所求椭圆的方程为xa22＋a2y－2 5＝1(a2>5)． 把 M 点坐标代入得a92＋a2－4 5＝1，解得 a2＝15. 故所求椭圆的方程为1x52＋1y02 ＝1.
第八章 平面解析几何
考点三 椭圆的几何性质 【案例 4】 已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，
右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF⊥x 轴，直线 AB 交 y 轴
于点 P.若A→P＝2P→B，则椭圆的离心率是
()
3 A. 2
2 B. 2
1
1
C.3
D.2
关键提示：利用数形结合求出 B 点坐标，代入A→P＝2P→B
标准方程 xa22＋by22＝1(a＞b＞0) xb22＋ay22＝1(a＞b＞0)
图形
第八章 平面解析几何
标准方程 范围 对称性
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
_|x_|_≤_a__，__|y_|_≤__b__ 对称轴：坐___标__轴__ 对称中心：_原__点__
xb22＋ay22＝1(a＞b＞0)
答案：B
第八章 平面解析几何
2．如图，A、B、C 分别为椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的顶 点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为 ( )
－1＋ 5 A. 2 C. 2－1
B．1－
2 2
2 D. 2
第八章 平面解析几何
解析：因为∠ABC＝90°，所以|BC|2＋|AB|2＝|AC|2，
F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，周长为2(a＋c)． (3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角
三角形，其边长满足a2＝b2＋c2.
第八章 平面解析几何
3．求动点M(x，y)的轨迹方程时，不直接建立x、y间 的关系，而是先寻求x、y与中间变量x0、y0间的关系．利 用已知关于x0、y0间关系的方程得到x、y之间的关系方 程，也称为代入法求轨迹方程．要注意平面向量与椭圆结 合的题目，能够根据平面向量的坐标运算解决有关问题．