高一数学人教B版必修4精练：3.1.3 两角和与差的正切 Word版含解析

第三章 3.1 3.1.3
一、选择题
1．若tan(π
4－α)＝3，则cot α等于( )
A ．－2
B ．－12
C ．12
D ．2
[答案] A
[解析] ∵tan(π
4－α)＝1－tan α1＋tan α＝3，
∴tan α＝－1
2
，∴cot α＝－2.
2．设tan α、tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 [答案] A
[解析] 由已知，得tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2
＝－3.
3．若tan28°tan32°＝m ，则tan28°＋tan32°＝( ) A ．3m B ．3(1－m ) C ．3(m －1) D ．3(m ＋1) [答案] B
[解析] tan28°＋tan32°＝tan(28°＋32°)(1－tan28°tan32°) ＝tan60°(1－tan28°tan32°) ＝3(1－m )．
4．tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°的值为( ) A ．－ 3 B ． 3 C ．3 D ．
3
3 [答案] B
[解析] 原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋3tan20°·tan40°＝tan60°＝ 3.
5．已知tan α＝1
3，tan β＝－2，则cot(α－β)的值为( )
A ．17
B ．－1
7
C ．1
D ．－1
[答案] A
[解析] cot(α－β)＝1
tan (α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β＝17.
故选A ．
6．已知α＋β＝3π
4，则(1－tan α)(1－tan β)的值等于( )
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1 [答案] A
[解析] ∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan α·tan β＝－1，
∴tan α＋tan β＝tan α·tan β－1， ∴原式＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2. 二、填空题
7．若sin α＝4
5，tan(α＋β)＝1，α为第二象限角，则tan β＝________.
[答案] －7
[解析] ∵sin α＝4
5，α为第二象限角，
∴cos α＝－35，tan α＝－4
3
，
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α
1＋tan (α＋β)tan α
＝1－⎝⎛⎭⎫－431＋1×⎝⎛⎭
⎫－43＝－7.
8．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－1
3，则tan α＋β2＝________. [答案] 1
7
[解析] tan α＋β2
＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2
＝12＋⎝⎛⎭⎫－131－1
2×⎝⎛⎭⎫－13＝17.
三、解答题
9．求下列各式的值： (1)tan70°－tan10°＋tan120°
tan70°tan10°；
(2)tan50°－tan20°－3
3
tan50°tan20°. [解析] (1)原式 ＝tan (70°－10°)(1＋tan70°tan10°)－3
tan70°tan10°
＝
3＋3tan70°tan10°－3
tan70°tan10°
＝ 3.
(2)tan50°－tan20°－
3
3
tan50°tan20° ＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－3
3
tan50°tan20° ＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－3
3
tan50°tan20° ＝
33＋33tan50°tan20°－33tan50°tan20°＝33
. 10．(2015·广东文，16改编)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π
4的值； (2)求
sin 2α
sin 2 α＋sin αcos α－2cos 2α
的值．
[解析] (1) tan ⎝⎛⎭⎫α＋π
4＝tan α＋tan
π
41－tan αtan
π4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2
＝－3， (2) sin 2α
sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α
＝2sin αcos α
sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α
＝2tan α
tan 2α＋tan α－2
＝
2×2
22＋2－2
＝1.
一、选择题
1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝3
5，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．1
7
B ．7
C ．－17
D ．－7
[答案] A
[解析] 由于α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35， ∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－3
4
.
∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α
1－tan α＝1－3
41＋34＝17
，故选A ． 2.
cot70°tan (－50°)－1
tan20°－tan50°
的值是( )
A ． 3
B ．
3
3 C ．－
33
D ．－ 3
[答案] A
[解析] 原式＝－tan20°·tan50°－1
tan20°－tan50°
＝－
1tan20°－tan50°1＋tan20°·tan50°
＝－1tan (20°－50°)
＝－1－tan30°
＝ 3.
3．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2
[答案] C
[解析] (1＋tan21°)(1＋tan24°) ＝1＋tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°
＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan21°tan24°)＋tan21°tan24° ＝1＋1－tan21°tan24°＋tan21°tan24°＝2，
同理(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2， 故原式＝4.
4．已知tan α、tan β是方程x 2－3x ＋4＝0的两个根，且－π2<α<π2，－π2<β<π
2，则α＋β
的是( )
A ．π
6
B ．5π
6
C ．π6或－5π6
D ．－π3或2π3
[答案] B
[解析] 由韦达定理得⎩⎨⎧
tan α＋tan β＝3
tan α·
tan β＝4，
∴tan α>0，tan β>0， ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π
2)，
∴α＋β∈(0，π)．
又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－4＝－3
3，
∴α＋β＝5π
6.
二、填空题
5．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________． [答案] 1
7
[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝
tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)·tan α＝3－21＋3×2＝1
7
.
6．已知点P (sin
3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan(θ＋π
3
)的值为________． [答案] 2－ 3
[解析] ∵sin 3π4＝22，cos 3π4＝－2
2，
∴点P 的坐标为P (22，－22
)． ∴tan θ＝y
x ＝－1.
∴tan(θ＋π
3)＝tan θ＋tan
π
31－tan θtan
π
3
＝
tan θ＋31－3tan θ＝－1＋3
1＋3
＝2－ 3.
三、解答题
7．求证：tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β. [解析] ∵tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝
tan (α＋β)－tan (α－β)
1＋tan (α＋β)·tan (α－β)
，
∴tan2β[1＋tan(α＋β)·tan(α－β)] ＝tan(α＋β)－tan(α－β)，
∴tan2β＋tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β ＝tan(α＋β)－tan(α－β)， ∴tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β ＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β.
8．已知tan A 与tan(－A ＋π4)是方程x 2＋px ＋q ＝0的根，且3tan A ＝2tan(π
4－A )，求p 与
q 的值．
[解析] 设t ＝tan A ，则tan(π
4－A )＝1－tan A 1＋tan A ＝1－t 1＋t ，
∴3tan A ＝2tan(π
4
－A )，
∴3t ＝2(1－t )1＋t ，解得t ＝13或t ＝－2.
当t ＝13时，有tan(π
4－A )＝1－t 1＋t
＝1－1
31＋13＝12，
∴p ＝－[tan A ＋tan(π4－A )]＝－(13＋12)＝－5
6，
q ＝tan A tan(π4－A )＝13×12＝1
6
.
当t ＝－2时，有tan(π
4－A )＝1－t 1＋t ＝－3，
∴p ＝－[tan A ＋tan(π
4－A )]
＝－[(－2)＋(－3)]＝5，
q ＝tan A tan(π
4－A )＝(－2)×(－3)＝6.
综上可知，p ＝－56，q ＝1
6
或p ＝5，q ＝6.
9. 在锐角△ABC 中，
(1)求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ； (2)化简：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A
2.
[解析] (1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ．
∴tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A tan B tan C ．
(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＋C 2＝π2－A
2，
∵tan B ＋C 2＝tan(π2－A 2)＝cot A
2.
∴原式＝tan A 2(tan B 2＋tan C 2)＋tan B 2·tan C
2
＝tan A 2tan B ＋C 2(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2·tan C
2
＝tan A 2tan(π2－A 2)(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2tan C 2＝tan A 2cot A 2(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2tan C 2
＝1－tan B 2tan C 2＋tan B 2tan C 2
＝1.。