傅里叶基本公式及证明

傅里叶基本公式及证明
三角函数形式的傅里叶级数
f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty[a_n\cos(n\omega
t)+b_n\sin(n\omega t)]\\
a_0=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\mathrm{d}t\\
a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos(n\omega
t)\mathrm{d}t,\,\,b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t )\sin(n\omega t)\mathrm{d}t
f(t)=c_0+\sum_{n=1}^\infty c_n\cos(n\omega t+\phi_n)\\ a_n=c_n\cos\phi_n,\,\,b_n=-c_n\sin\phi_n\\ \tan
\phi_n=-\frac{b_n}{a_n}
指数形式的傅里叶级数
由复变函数知识，即有以下变换： \cos(n\omega
t)=\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega
t }}{2},\,\,\sin(n\omega t)=\frac{e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}}{2j}
代入三角形式傅里叶级数，整理后即可得：
f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty(\frac{a_n-
jb_n}{2}e^{jn\omega t}+\frac{a_n+jb_n}{2}e^{-jn\omega t})\\
令 F(n\omega)=\frac{1}{2}(a_n-jb_n) ，则有：
f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty[F(n\omega)e^{jn\omega
t}+F(-n\omega)e^{-jn\omega t}]\\
不妨令 F(0)=a_0 ， f(t) 即可简化为 f(t)=\sum_{n=-
\infty}^{\infty}F(n\omega)e^{jn\omega t}
同时可以得到
F(n\omega)=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-
jn\omega t}\mathrm{d}t ，证明如下：
\begin{aligned} F(n\omega)=&\frac{a_n-jb_n}{2}\\
=&\frac{1}{2}[\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos(n\ omega t)\mathrm{d}t-
j\times\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin(n\omega t)\mathrm{d}t]\\
=&\frac{1}{T}[\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)(cos(n\omega t)-
j\sin(n\omega t))\mathrm{d}t]\\
=&\frac{1}{T}[\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)(\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega t }}{2}-j\times\frac{e^{jn\omega t}-
e^{-jn\omega t}}{2j}\mathrm{d}t]\\
=&\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-jn\omega
t}\mathrm{d}t \end{aligned}
同时由 F(n\omega)=\frac{a_n-jb_n}{2} 可推知
|F_n|=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2} ，利用此式可推帕塞瓦尔定理，即周期信号 f(t) 的平均功率 P 与傅里叶系数存在如下关系：
P=\bar{f^2(t)}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f^2(t)\mat hrm{d}t\\
=a_0^2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)=\sum_{-
\infty}^{\infty}|F_n|^2
利用三角函数的正交性质即可消去交叉项，从而得到倒数第二个等号的关系，再利用上述 |F_n| 与 a_n,b_n 的关系即可得到最后一个等号关系
特殊周期信号的傅里叶级数
•为偶函数，则仅含有余弦分量
•为奇函数，则仅包含正弦分量
•为奇谐函数，只含有奇次谐波分量
•为偶谐函数，只含有偶次谐波分量
非周期信号的傅里叶变换
F(j\omega)=\int^\infty_{-\infty}f(t)e^{-j\omega
t}\mathrm{d}t, f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-
\infty}^\infty F(j\omega)e^{j\omega
t}\mathrm{d}\omega\\
F(j\omega)=|F(j\omega)|e^{j\phi(\omega)}=R(\omega)+jX( \omega)
傅里叶变换存在的充要条件:无限区间上的绝对可积性。

傅里叶变换推导过程如下所示： F_nT=\int_{-
\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\omega
t}\mathrm{d}t,f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty F_n
e^{jn\omega t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n
Te^{jn\omega t}\cdot\frac{\omega}{2\pi}\\
F(j\omega)=\lim_{T\to\infty} F_nT=\int_{-
\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t\\
f(t)=\lim_{T\to\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n
Te^{jn\omega
t}\cdot\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sum_{-
\infty}^\infty (\lim_{T\to\infty}F_n T)e^{j\omega
t}\mathrm{d}\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega)e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega
常用信号的傅里叶变换对。