2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)

2018年高考数学理科试卷(江苏卷）
数学Ⅰ
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．
． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ,{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．
2．若复数z 满足i z i 21+=⋅，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．
3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．
5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．
6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．
7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=22
2sin ππ
ϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称,则ϕ的值
是 ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点()0,c F 到一条
渐近线的距离为
c 2
3
,则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x
x f π，
则()()15f f 的值为 ．
10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．
11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122
3
在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上
的最大值与最小值的和为 ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点,()0,5B ,以AB 为
直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅CD AB ,则点A 的横坐标为 ．
13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，
120=∠ABC ，ABC ∠的平
分线交AC 于点D ,且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．
14．已知集合{
}*
∈-==N
n n x x A ,12|，{}*
∈==N n x x B n
,2|．将B A ⋃的所有元素
从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得
112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．
二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证:（1）11AB A B C 平面∥； (2）111ABB A A BC ⊥平面平面．
16．（本小题满分14分）
已知,αβ为锐角，4
tan 3
α=,5cos()αβ+=．
(1)求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．
17．(本小题满分14分)
某农场有一块农田,如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为
CDP △，要求,A B 均在线段MN 上,,C D 均在圆弧上．设OC
与MN 所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围;
（2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．(本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点1
(3,)2,焦点
12(3,0),(3,0)F F ,圆O 的直径为12F F ．
(1)求椭圆C 及圆O 的方程;
（2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26
，求直线l 的方程．
19．(本小题满分16分）
记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．
(1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”;
（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；
（3）已知函数2
()f x x a =-+,e ()x
b g x x
=．对任意0a >，判断是否存在0b >,使函数
()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由．
20．（本小题满分16分)
设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ,公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===,若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围;
（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,
,1n m =+均成立,并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示)．
数学Ⅱ(附加题）
21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
作答．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．[选修4—1:几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点,过P 作圆O 的切线,切点为C ．若23PC = BC 的长． B ．［选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分)
已知矩阵2312⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
A ． （1)求A 的逆矩阵1-A ;
（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P ',求点P 的坐标． C ．［选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中,直线l 的方程为π
sin()26
ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l
被曲线C 截得的弦长．
D ．[选修4—5:不等式选讲］（本小题满分10分)
若x ，y ,z 为实数,且x +2y +2z =6,求222x y z ++的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科#网
22．（本小题满分10分）
如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，
BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
23．(本小题满分10分）
设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ,如果当s <t 时,有s t i i >,则称(,)s t i i 是排列
12
n i i i 的一个逆序,排列12
n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2，3的
一个排列231，只有两个逆序(2，1),(3，1），则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1,2，···,n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． （1)求34(2),(2)f f 的值；
（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式（用n 表示)．
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1,8｝
2．2
3．90
4．8 5．［2，+∞） 6．
310 7．π6
-
8．2 9．
2
2
10．
43
11．–3
12．3
13．9
14．27
二、解答题
15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象
能力和推理论证能力．满分14分．
证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．
（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形, 因此AB 1⊥A 1B ．
又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1, 所以AB 1⊥BC ．
又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1, 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．
16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求
解能力．满分14分． 解：（1）因为4tan 3α=
，sin tan cos ααα=，所以4
sin cos 3
αα=． 因为22sin cos 1αα+=,所以29
cos 25
α=， 因此,27cos22cos 125
αα=-=-
． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．
又因为5cos()5αβ+=-
，所以225sin()1cos ()5
αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．
因为4tan 3α=
,所以22tan 24
tan 21tan 7
ααα==--， 因此，tan 2tan()2
tan()tan[2()]1+tan 2tan()11
ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．
17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建
模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ,所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，
则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ+10）=800(4sin θcos θ+cos θ）, △CDP 的面积为
1
2
×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6
）． 当θ∈［θ0，
π
2
）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[
1
4
，1）． 答:矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ)，sin θ的取值范围是［
1
4
,1)． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,
设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ) =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈［θ0,π
2
)． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ,θ∈[θ0,
π2
）, 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′
． 令()=0f θ′
，得θ=π
6
， 当θ∈（θ0，
π
6
）时，()>0f θ′
,所以f (θ)为增函数；
当θ∈（
π6，π
2）时，()<0f θ′，所以f （θ)为减函数, 因此，当θ=π
6
时，f （θ)取到最大值． 答：当θ=
π
6
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、
直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C
的焦点为12(),F F -，
可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>
．又点1
)2在椭圆C 上，
所以2222311,
43,
a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩
，解得2
24,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2
214
x y +=．
因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．
（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =-
-+，即000
3x y x y y =-+． 由22
0001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
,消去y ，得
222200004243640()x y x x x y +-+-=．（＊） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以222222000000()()(
24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >
，所以001x y ==． 因此，点P
的坐标为． ②因为三角形OAB
，所以1 2AB OP ⋅=
从而AB ． 设1122,,()(),A x y B x y ，
由（＊）得2200022001,22448(2)
2(4)
x y x x x y ±-=
+，
所以2222121()()x B y y x A =-+- 2220002222
00048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．
因为22003x y +=,
所以22
022
016(2)32
(1)49
x AB x -==+,即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去),则201
2
y =，因此P 的坐标为102(,)22．
综上，直线l 的方程为532y x =-+．
19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解
决问题以及逻辑推理能力．满分16分．
解：（1）函数f (x ）=x ，g （x )=x 2+2x —2，则f ′(x ）=1，g ′（x )=2x +2． 由f (x )=g （x ）且f ′（x )= g ′(x ），得 222
122x x x x ⎧=+-⎨
=+⎩
，此方程组无解, 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．
(2）函数21f x ax =-（
），()ln g x x =， 则1
2f x ax g x x
'='=
（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点,由f （x 0）与g （x 0）且f ′(x 0)与g ′（x 0），得
200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩
，即2
00
201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，(*） 得01
ln 2
x =-，即1
20e x -=，则12
21e 2
2(e )
a -=
=
． 当e
2
a =时，1
20e x -=满足方程组（＊），即0x 为f (x ）与g (x ）的“S ”点．
因此，a 的值为e
2
．
（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．
因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，,且h (x ）的图象是不间断的,
所以存在0x ∈（0,1），使得0()0h x =,令030
02e (1)
x x b x =-，则b 〉0．
函数2
e ()()x
b f x x a g x x
=-+=，，
则2e (1)
()2()x b x f x x g x x -=-=
′，′． 由f （x )与g (x ）且f ′（x ）与g ′（x ），得
22e e (1)2x
x b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即003
200
30
202e e (1)2e (1)2e (1)x x x
x x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩
（＊＊) 此时,0x 满足方程组（＊＊），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点"．
因此，对任意a 〉0，存在b >0,使函数f (x ）与g （x ）在区间（0,+∞）内存在“S 点"． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、
转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解:(1）由条件知:112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1,2,3，4均成立, 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1,2，3，4均成立， 即1≤1,1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得
75
32
d ≤≤．
因此，d 的取值范围为75
[,]32
．
（2)由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=． 若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3,···,m +1）成立，
即1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+,
即当2,3,
,1n m =+时,d 满足11
11211
n n q q b d b n n ---≤≤--．
因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，
从而11201n q b n --≤-，1
101n q b n ->-，对2,3,
,1n m =+均成立．
因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,
,1n m =+均成立．
下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1
{}1n q n --的最小值(2,3,,1n m =+）
． ①当2n m ≤≤时,111 2222
111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---, 当1
12m
q <≤时,有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．
因此,当21n m ≤≤+时，数列12
{}1n q n ---单调递增,
故数列12{}1n q n ---的最大值为
2
m q m
-． ②设()()21x f x x =-，当x 〉0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．
当2n m ≤≤时，1
11112111
()()()n
n n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1
{}1n q n --单调递减，
故数列1{}1n q n --的最小值为
m
q m
． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m m
b q b q m m
-．
数学Ⅱ(附加题）参考答案
21．【选做题】
A ．[选修4—1：几何证明选讲］
本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．
又因为PC =OC =2,
所以OP ．
又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．［选修4—2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
． （2）设P （x ，y ),则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
A ， 因此,点P 的坐标为（3，–1)． C ．［选修4-4:坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解:因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0）,直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为π
sin()26
ρθ-=,
则直线l 过A （4，0)，倾斜角为
π6
, 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =
π6
． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2
，
所以π
4cos
6
AB ==
因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．[选修4—5:不等式选讲］
本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明:由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥, 当且仅当
122x y z ==时，不等式取等号，此时244333
x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．
22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查
运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网
解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ,A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ,OO 1
⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底,建立空间直角坐标系O −xyz ．
因为AB =AA 1=2， 所以
1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()
A B C A B C --．
（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以
31
(
,2)2P -，
从而
131
(,,2)(0,2,222),BP AC ==-
-,
故
111|||310
|cos ,|||||
522
BP AC BP AC BP AC ⋅-=
=
=
⋅⨯．
因此，异面直线BP 与AC 1
所成角的余弦值为．
（2）因为Q 为BC 的中点，
所以
1,0)2Q ,
因此
33
(
,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．
设n =(x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，
则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨
⎪⎩
⋅=⋅
=n n 即3
0,2220.y y z +=⎪
+=⎩ 不妨取
1,1)
=-n ，
设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，
则
111||sin |cos |,|||
CC CC CC |
θ==
⋅⋅=
=
n n n ,
所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．
23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证
能力．满分10分．
解:（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2,3的所有排列,有
(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，
所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1,2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此,4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．
(2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以(1)1n f n =-．
为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1
在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当n ≥5时，
112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…
242
(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=
， 因此，n ≥5时，(2)n f =22
2n n --．
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）(北京卷)
本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

学科:网
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={x|｜x｜<2}，B={–2，0，1，2｝，则A B=
(A）{0，1} （B）｛–1，0,1}
(C）{–2,0，1，2} （D）｛–1，0，1，2｝
（2）在复平面内,复数
1
1i
的共轭复数对应的点位于
（A）第一象限(B）第二象限(C）第三象限(D)第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）1
2
（B)
5
6
（C)
76
(D)
712
（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 （A ）32f （B ）322f (C ）1252f
（D ）1272f
(5)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
(A ）1 （B ）2 （C ）3
（D)4
(6）设a ，b 均为单位向量,则“33-=+a b a b "是“a ⊥b "的 （A ）充分而不必要条件
(B ）必要而不充分条件
（C)充分必要条件
（D)既不充分也不必要条件
（7)在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ,sin θ)到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 （A ）1 （B ）2 (C ）3
（D ）4
（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则 （A ）对任意实数a ,(2,1)A ∈
（B ）对任意实数a ，（2，1）A ∉
(C ）当且仅当a <0时，（2,1）A ∉
（D ）当且仅当3
2
a ≤
时,（2,1）A ∉
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分,共30分。

（9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．
（10）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切,则a =__________． （11）设函数f (x ）=πcos()(0)6x ωω->,若π
()()4
f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小
值为__________．
（12）若x ,y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y –x 的最小值是__________．
（13）能说明“若f （x ）〉f （0）对任意的x ∈(0,2]都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
(14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：,双曲线22
221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与
椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

学@科网 （15)（本小题13分） 在△ABC 中,a =7，b =8,cos B =–1
7
． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．
（16）（本小题14分）
如图，在三棱柱ABC —111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ,D ,E ,F ，G 分别为1AA ，AC ,11A C ,1BB 的中
点,AB=BC ,AC =1AA =2．
(Ⅰ）求证:AC ⊥平面BEF ；
（Ⅱ）求二面角B-CD —C 1的余弦值; （Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．
（17）(本小题12分)
电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率
0。

4
0.2
0.15
0。

25
0.2
0。

1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； (Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢,“0k ξ="表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k =1,2,3，4，5，6）．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．
(18）(本小题13分)
设函数()f x =［2(41)43ax a x a -+++］e x ．
（Ⅰ)若曲线y= f （x )在点（1，(1)f ）处的切线与x 轴平行，求a ; （Ⅱ)若()f x 在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．
(19)(本小题14分)
已知抛物线C ：2y =2px 经过点P (1，2）．过点Q （0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证:1
1
λ
μ
+
为定值．
（20）（本小题14分）
设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,
,}n n t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元
素12(,,
,)n x x x α=和12(,,
,)n y y y β=，记
M (αβ，)=111122221
[(||)(||)(||)]2
n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+
++--．
（Ⅰ)当n =3时，若(1,1,0)α=,(0,1,1)β=，求M (,αα)和M (,αβ）的值；
（Ⅱ)当n =4时,设B 是A 的子集，且满足:对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时,M （αβ，）是奇数;当,αβ不同时,M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n ,设B 是A 的子集,且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ， M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．学科&网
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题 1．A
2．D
3．B
4．D
5．C
6．C
7．C
8．D
二、填空题
9．63n a n =-
10．12+
11．
23
12．3
13．y =sin x (答案不唯一）
14．312-；
三、解答题 (15）（共13分）
解:(Ⅰ）在△ABC 中,∵cos B =–
17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =243
1cos 7
B -=． 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A =8
437
，∴sin A =32
． ∵B ∈（
π2，π),∴A ∈(0，π2),∴∠A =π3
． （Ⅱ）在△ABC 中,∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =31143()2727⨯-+⨯
=33
14
． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337142
⨯=， ∴AC 边上的高为
33
2
．
（16）（共14分）
解：（Ⅰ）在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， ∵CC 1⊥平面ABC ， ∴四边形A 1ACC 1为矩形． 又E ，F 分别为AC ,A 1C 1的中点， ∴AC ⊥EF ． ∵AB =BC ． ∴AC ⊥BE ， ∴AC ⊥平面BEF ．
（Ⅱ)由（I ）知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ,EF ∥CC 1． 又CC 1⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ． ∵BE ⊂平面ABC ，∴EF ⊥BE ．
如图建立空间直角坐称系E —xyz ．
由题意得B （0,2，0），C （-1，0，0），D (1，0，1)，F （0，0，2），G (0，2，1）． ∴=(201)=(120)CD CB ，
，，，，， 设平面BCD 的法向量为()a b c =，，n ， ∴00
CD CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,∴2020a c a b +=⎧⎨+=⎩，
令a =2，则b =-1，c =-4，
∴平面BCD 的法向量(214)=--，，n , 又∵平面CDC 1的法向量为=(020)EB ，
，， ∴21
cos =21
||||
EB EB EB ⋅<⋅>=-
n n n ． 由图可得二面角B -CD —C 1为钝角，所以二面角B -CD —C 1的余弦值为21 (Ⅲ）平面BCD 的法向量为(214)=--，，n ,∵G （0，2，1），F (0，0，2）,
∴=(021)GF -，
，，∴2GF ⋅=-n ，∴n 与GF 不垂直， ∴GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，∴GF 与平面BCD 相交． （17）（共12分)
解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50． 故所求概率为
50
0.0252000
=． （Ⅱ）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评"． 故所求概率为P （AB AB +)=P （AB )+P （AB ）
=P (A ）(1–P （B ））+（1–P （A ））P （B )．
由题意知：P （A ）估计为0.25，P （B ）估计为0。

2． 故所求概率估计为0.25×0。

8+0。

75×0。

2=0。

35． （Ⅲ）1D ξ>4D ξ>2D ξ=5D ξ〉3D ξ〉6D ξ． (18）（共13分）
解：（Ⅰ)因为()f x =［2(41)43ax a x a -+++]e x ，
所以f ′（x ）=［2ax –（4a +1)］e x +[ax 2–（4a +1)x +4a +3］e x （x ∈R ） =［ax 2–（2a +1）x +2]e x ． f ′（1）=(1–a )e ．
由题设知f ′(1)=0,即(1–a ）e=0，解得a =1． 此时f (1）=3e ≠0． 所以a 的值为1．
（Ⅱ）由(Ⅰ)得f ′（x ）=[ax 2–（2a +1)x +2］e x =（ax –1)(x –2)e x ． 若a >
12，则当x ∈（1
a
，2)时，f ′（x ）〈0； 当x ∈（2，+∞)时，f ′(x )>0． 所以f (x ）<0在x =2处取得极小值． 若a ≤
12，则当x ∈(0,2)时，x –2<0，ax –1≤1
2
x –1<0， 所以f ′（x )〉0．
所以2不是f (x ）的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是（1
2
,+∞）． （19)(共14分）
解:（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）, 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241
y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>,解得k<0或0<k<1．
又PA ,PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，—2）．从而k ≠—3． 所以直线l 斜率的取值范围是（—∞，—3）∪（—3,0）∪（0,1)． （Ⅱ）设A （x 1，y 1)，B （x 2,y 2）．
由(I ）知12224k x x k -+=-
,12
2
1
x x k =． 直线PA 的方程为y –2=112
2(1)1
y y x x --=--．
令x =0，得点M 的纵坐标为111121
2211
M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为221
21
N kx y x -+=
+-． 由=QM QO λ,=QN QO μ得=1M y λ-,1N y μ=-． 所以
2212121212122
224112()111111=2111(1)(1)11
M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以
1
1
λ
μ
+
为定值．
(20）（共14分)
解:(Ⅰ）因为α=（1，1,0）,β=(0，1,1），所以 M （α，α）=1
2
[（1+1−｜1−1|）+（1+1−|1−1｜）+(0+0−｜0−0|)]=2， M (α，β）=
1
2
[（1+0–|1−0|）+（1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1． （Ⅱ）设α=（x 1,x 2，x 3，x 4）∈B ，则M （α，α）= x 1+x 2+x 3+x 4． 由题意知x 1，x 2，x 3，x 4∈｛0，1}，且M (α，α)为奇数， 所以x 1，x 2,x 3,x 4中1的个数为1或3．
所以B ⊆｛(1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1），（0，1,1，1)，(1，0，1,1），（1，1，0，1），（1，1，1，0）}. 将上述集合中的元素分成如下四组：
（1，0，0，0）,（1，1,1，0）；（0,1,0，0），(1,1，0,1)；（0,0,1,0)，（1，0，1，1）；(0，0,0，1）,（0,1，1，1）.
经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M (α,β）=1。

所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．
所以集合B中元素的个数不超过4。

又集合{(1，0，0，0）,（0,1，0,0)，（0，0，1，0），（0，0，0,1)｝满足条件,
所以集合B中元素个数的最大值为4.
（Ⅲ）设S k=（x1，x2，…，x n）｜( x1，x2，…，x n）∈A，x k =1,x1=x2=…=x k–1=0）（k=1，2，…，n)，
S n+1={（x1，x2，…,x n）｜x1=x2=…=x n=0}，
则A=S1∪S1∪…∪S n+1．
对于S k（k=1，2，…，n–1）中的不同元素α，β，经验证,M(α，β）≥1。

所以S k（k=1，2 ，…，n–1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素．
所以B中元素的个数不超过n+1.
取e k=（x1，x2，…,x n）∈S k且x k+1=…=x n=0（k=1，2,…，n–1）.
令B=(e1，e2，…，e n–1）∪S n∪S n+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件.
故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学(理工类)
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第I 卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式:
如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ 。

如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = 。

棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。

棱锥的体积公式1
3
V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高。

一。

选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1）设全集为R,集合{02}
A x x
=<<,{1}
B x x
=≥，则()=
R
A B
（A) {01}
x x
<≤（B) {01}
x x
<<（C）{12}
x x
≤<(D）{02}
x x
<<
(2)设变量x,y满足约束条件
5,
24,
1,
0,
x y
x y
x y
y
+≤
⎧
⎪-≤
⎪
⎨
-+≤
⎪
⎪≥
⎩
则目标函数35
z x y
=+的最大
值为
(A) 6 （B）19 (C）21
(D） 45
（3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20,则
输出T的值为
(A) 1 (B） 2 （C） 3 (D)
4
(4）设x ∈R ，则“11||22
x -<"是“31x <”的 (A)充分而不必要条件 (B ）必要而不充分条件 (C)充要条件
(D ）既不充分也不必要条件
（5）已知2log e =a ，ln 2b =，12
1log 3
c =，则a ，b ，c 的大小关系为
(A ） a b c >> （B ） b a c >> （C) c b a >> (D ） c a b >>
(6）将函数sin(2)5y x π
=+的图象向右平移10
π
个单位长度，所得图象对应的函数 (A ）在区间35[,]44
ππ
上单调递增 （B)在区间3[
,]4
π
π上单调递减 (C)在区间53[,]42
ππ
上单调递增 (D)在区间3[
,2]2
π
π上单调递减
（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直
于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点。

设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为
(A ） 22
1412x y -=
(B ） 22
1124x y -=
（C) 22
139
x y -=
(D ） 22
193
x y -=
(8）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥,AD CD ⊥,120BAD ∠=︒，
1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点,则⋅AE BE 的最小值为
(A ）
21
16
（B ） 32 （C ）
25
16
(D ） 3
第Ⅱ卷
注意事项：
1。

用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2。

本卷共12小题,共110分。

二. 填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分。

（9） i 是虚数单位,复数67i
12i
+=+ 。

(10) 在5(2x x
的展开式中,2x 的系数为 .
(11) 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方
体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥
M EFGH -的体积为 。

(12)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线2
1,
2232
⎧
=-+
⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
x t y （t 为参数）与该圆相交于A ,B 两点,则ABC △的面积为 . （13)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则1
28
a b +的最小值为 .
（14）已知0a >，函数222,0,
()22,0.
x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程
()f x ax =恰有2个互异的实数解,则a 的取值范围
是 .
三。

解答题:本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(15)（本小题满分13分）
在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。

已知
sin cos()6
b A a B π
=-。

（I ）求角B 的大小;
（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值. （16)（本小题满分13分）
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16。

现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望;
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率。

（17)(本小题满分13分）
如图，AD BC
∥
∥且EG=AD，CD FG ∥且AD=2BC，AD CD
⊥，EG AD
且CD=2FG，DG ABCD
⊥平面,DA=DC=DG=2.
(I）若M为CF的中点,N为EG的中点，求证：MN CDE
∥平面;
（II）求二面角E BC F
--的正弦值；
(III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长。

（18)（本小题满分13分)
设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列。

已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. (I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
(II ）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ， （i)求n T ；
（ii ）证明2
21()22()(1)(2)
2n n
k k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑
N . （19）（本小题满分14分）
设椭圆22
221x x a b
+=(a 〉b 〉0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆
A 的坐标为(,0)b ,
且FB AB ⋅= （I ）求椭圆的方程；
（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q 。

若
sin 4
AQ AOQ PQ
=
∠（O 为原点) ，求k 的值。

（20)(本小题满分14分）
已知函数()x f x a =,()log a g x x =，其中a 〉1。

（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；
（II ）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点
22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln a
x g x a
+=-
； （III)证明当1e
e a ≥时,存在直线l ，使l 是曲线()y
f x =的切线，也是曲线()y
g x =的切线.
参考答案：
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
（1）B （2）C (3）B （4）A （5)D （6）A （7）C （8）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分,满分30分．
（9）4–i （10）5
2（11)1
12
（12)1
2 （13）1
4 （14）(48)，
三、解答题
(15)本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦
公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分． （Ⅰ)解：在△ABC 中,由正弦定理
sin sin a b
A B =
，可得sin sin b A a B =,又由πsin cos()6
b A a B =-，得πsin cos()6
a B a B =-，即πsin cos()6
B B =-
，可得
tan B ．又因为(0π)B ∈，,可得
B =π3
．
（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2,c =3,B =
π3
，有
2222cos 7b a c ac B =+-=，故
b
由πsin cos()6
b A a B =-
，可得sin A =
．因为a 〈c
，故cos A =
sin 22sin cos A A A ==
21cos22cos 17
A A =-=． 所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A
B A B A B -=-
=
1127- （16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期
望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．
（Ⅰ）解:由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ)(i ）解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．
P （X =k ）=343
3
7
C C C k k
-⋅（k =0，1,2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望11218412
E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．
()0123
353535357（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C 互斥,由(i）知,P（B）=P（X=2），P（C）=P(X=1），故P(A)=P(B
．
∪C)=P（X=2)+P(X=1)=6
7
．
所以，事件A发生的概率为6
7
（17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．
依题意，可以建立以D为原点,分别以DA，DC,DG的方向为x轴,y 轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0,0,0），A（2，0,0)，B（1，2，0），C（0,2，0），E（2，0,2），F（0，1，2），G（0,0,2），M（0,3
,1），N（1，0，2）．
2
(Ⅰ)证明：依题意DC =(0，2,0),DE =(2,0，2)．设n 0=(x ，y ，z ）为平面CDE
的法向量，则00
00DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
，n n 即20220y x z =⎧⎨+=⎩，， 不妨令
z=–1，
可得n 0=（1,0，–1)．又MN =（1，3
2-，1）,可得00MN ⋅=n ，又因为直线MN ⊄平面CDE ,所以MN ∥平面CDE ．
(Ⅱ）解：依题意，可得BC =(–1，0,0），(122)BE =-，
，,CF =（0，–1，2)．
设n =（x ，y ,z ）为平面BCE
的法向量，则00BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，，n n 即0220x x y z -=⎧⎨-+=⎩，， 不妨令z =1，可得n =（0,1,1）． 设m =（x ，y ，z )为平面BCF
的法向量，则00BC BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，
，m m 即020x y z -=⎧⎨-+=⎩，， 不
妨令z =1，可得m =（0，2，1)． 因此有cos 〈m ,n >=310
||||⋅=
m n
m n sin<m ，n 〉10．
所以，二面角E –BC –F 10．
(Ⅲ)解:设线段DP 的长为h (h ∈［0，2]）,则点P 的坐标为（0，
0，h ），可得(12)BP h =--，
，． 易知，DC =（0,2,0）为平面ADGE 的一个法向量，故
cos BP DC BP DC BP
DC h ⋅<⋅>=
=
,
=sin60°,
解得h ∈［0，2］．
所以线段DP 的长为
3
. （18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及
前n 项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力。

满分13分。

(I ）解:设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得
220q q --=。

因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.
设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由
5462a b b =+，
可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =
所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =
（II ）(i ）由（I ），有122112
n
n n S -=
=--，故 111
2(12)
(21)22212n n
n
k
k
n n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑。

（ii ）证明:因为
1121
2()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，
所以，3243
212
21
()2222222()()()2(1)(2)3243212
n n n n
k k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑
. （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础。