高等数学(下) 第3版课件-行列式的性质

2
1
0
3
1
4
1
1
5
3
3
3 6 7
a
0
b
a
0
b
0
0
0
0
0
b
0
0
0
0
a
b
a
4.
0
2 1 1 1 1
1 3 1 1 1
3. 1 1 4 1 1
1 1 1 5 1
1 1 1 1 6
1 a1
2 a1
n a1
5. 1 a2
2 a2
n a2
1 an
2 an
n an
《高等数学》
3 1
0
0
0
3
1
1 1
1
1
21
按第二行展开 (1) 3
(4) 1
3 1
12
4
例2 用行列式的性质计算下列行列式：
1
1
2
2
1
0
3
1
4
1
1
5
3
3
3
（1） 5
解：(1)
3
1
1
2
1
3
1
2
5
1
3
5
3
4
2
0
1
4
1
〔〕
1 〔2〕
1
0
2
1
1
5 3 3
5 1 3 3
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1
ai 2
ain
ai1 cak 1
ai 2 cak 2
ain cakn

ak 1
ak 2
akn
ak 1
ak 2
akn
an1
an 2
ann
an1
an 2
ann
分析：把右式按第行展开，再结合性质3及性质4的推论可证。
阶行列式
性质6
a11
a12
a1n
利用这个特点，把其余的行都加到第一行上，得
b
a
a
b
a
a
a
a
a
a
b
a
a
a
(n 1)a b (n 1)a b (n 1)a b
(n 1)a b
a
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
a
b
1
1
1
1
a
[(n 1)a b] a
b
a
a
b
a
（第1列乘−加到其余各列上）
a
a
a
a
b
三角行列
式等于主对角
线（从左上角
到右下角的这
条对角线）上
各元素的乘积。
性质2 行列式某行（列）有公因子，可以提到行列式符号的外面。
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
kai1
kai 2
kain k ai1
ai 2
ain
an1
an 2
ann
an1 an 2
ann
证明：
a11
a12
a1n
kai1 kai 2
bn cn b1
b2
bn c1
an1
ann
an 2
ann
an 2
证：行列式按 bi
an1
ci 行展开即可
。
a12
a1n
c2
cn
an1 an 2
ann
性质4 互换行列式的两行（列），行列式符号改变。（证略）
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1
ai 2
ain
a j1
a j2
a jn
由此可知：行列式也可以按列展开。
例1 证明：上三角行列式
a11 a12
0 a22
a1n
a2 n
a11a22
0
0
a11 a12
0 a22
a1n
a2 n
a11 0
a21 a22
0
0
0
ann
an1 an 2
ann
ann
ann
证: 由性质1，得
0

a11a22
上、下三角行列式统称为三角行列式。
ann
注：使用行的性质用“（）”表示；使用列的性质用“[ ]”表示。
2
1
5
（1） 1
3
2
1
6
3
1
2
（2） 1
2
0
0
1
6
1

6
2
6
0
1

12
1
12
1
12
3
12
1
2
1

2
1

2
1
2
2
1
5
解: (1) 1
3
2
1
6
3
= 2 × −1
1+1
按第一行展开
3 −2
+ 1 × −1
−1 6
1+2
= 2 × 16 + −1 × 12 + 5 × −10
an 2
0
ann
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1
ai 2
ain 第i行
ai1
ai 2
ain 第j行
ai1
ai 2
ai1
ai 2
an1
an 2
ain 第j行
ann
an1
an 2
ain 第i行
ann

D
性质5 行列式一行（列）乘以一个非零常数,
加到另一行（列）上，行列式不变。
= −30
1 −2
+ 5 × −1
3 6
1+3
1 3
3 −1
解: (2)
1
2
1
2
0
1
6
1

6
2
6
0
1

12
1
12
1
12
3
12
1
6
1

6
2
6

1
12
1
12
1
12
3
12
1
2
1
1

2
1
1
1
11




1
2
6
12 2 0

2
0
1
2
1
0
0
2
1
1

2
1
1
1
11




1
2
6
12 2 0

2
0
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
0
3
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
0
3
1
1
1
1
1
1
1 1 1




2
6
12 2 0 2
0 0
1
1
1
1
1
3
1 1 1
1
按第一行展开
2
12
0
2
0
0
0
1 1 1 1 1
(2) (1)
1
24 0 2 1 1
1
0 0 3 1
1 1 1
1
1 1 (1) (2)
3
12
1 3 1 2
1 3 1 2
0 2 1 1
2 ＋1 1 0 8 4 2
－
2 3
0 8 4 2
4 ＋1 5 0 2 1 1
0 16 2 7
0 16 2 7
1
1 3 1
（3）
＋2 （4）0 2
（4）
＋2 （3）0 0
0 0
1
8
6
2
1 3 1
谢谢观看
kain kai1 Ai1 kai 2 Ai 2
an1
ann
an 2
k (ai1 Ai1 ai 2 Ai 2
a11
a12
a1n
k ai1
ai 2
ain
an1 an 2
ann
ain Ain )
kain Ain
性质3
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
a11
b1 c1 b2 c2
a21
a22
a2 n 中，
an1 an 2
ann
某一行（列）的各元素与另一行（列）相应元素的代数
余子式的乘积之和等于零
n
a
k 1
ik
Ask ai1 As1 ai 2 As 2
i s; i, s 1, 2,
i 1, i 1
ain Asn 0
n
例1 用降阶法计算行列式。（即按某行或列展开）
1
a
[(n 1)a b] a
a
0
0
ba
0
0
ba
0
0
0
0
0
ba
[(n 1)a b](b a ) n 1
小结： 本节主要内容：
利用行列式的性质计算行列式
解题方法：
1.降阶法
2.化为三角行列式
作业： 用性质计算下列行列式
2
5
4
1. 1 1 3
3
1
1
2
2. 5

a j1
a j2
a jn
ai1
ai 2
ain
an1
an 2
ann
an1
an 2
ann
推论1 行列式中如果有两行（列）相同，则此行列式为零。
推论2 行列式中有两行（列）成比例，行列式为零。
证：设
D
所以 D 0
a11
a12
a1n
ai1
ai 2
ain
第i行
ai1
ai 2
ain
第j行
an1




=××+××+××−××−××−××
性质1 行列式与它的转置行列式相等。（证略）
a11
a21
a12
a22
a1n
a2 n
an1 an 2
ann

a11
a12
a21
a22
an1
an 2
a1n
a2 n
ann
这个性质说明了行列式中行、列地位的对称性。
行列式中有关行的性质对列也同样成立；
《高等数学》
第二节 行列式的性质
基础课教学部
第二节 行列式的性质
一、6个性质，2个推论
二、例题
三、小结
高等数学（下） 第3版
引言：
行列式的计算很重要，也很繁琐。n阶行列式的展开式一共
有n!
项，当n较大时， n!是一个相当大的数字。 直接根据定义来计算行列
式几乎是不可能的。
因此，我们有必要进一步讨论行列式的性质，以简化行列式的计算。
定义：记
D
a11
a12
a1n
a11
a21
an1
a21
a22
a2 n
a12
a22
an 2
an1 an 2
ann
a1n
a2 n
ann
D
行列式 D 称为行列式 D的转置行列式。
例:

=




=××+××+××−××−××−××

′ =
0 2
1
6
（4）
＋
（3）（ ）0 0
2
8
11
0 0
2
1
8
1
2 ＝200
0
25
2
练习： 计算行列式的值
例1：（
3
1
6
（要求：化为上三角行列式求解）
例3 计算n阶行列式
b
a
a
b
a
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
解：这个行列式的特点是各行（列）元素之和都是 − + 。