2009年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试答案

2009年成都市高中阶段教育学校统一招生考试
数学试卷参考答案
1．A 2×1)2
1(-=-
．
2．C 013≠-x ，3
1≠x ．
3．B 4．D
5．B 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，△ABC ∽△DEF ，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为1：4．
6．C ∵A （2，3），将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到OA ’，∴A ’（－2，－3）．
7．B ⎩
⎨⎧>+≠0440
k k ，∴1->k 且k ≠0．
8．C
ππ41806=︒
⨯n ，︒=120n ．
9．A 方法一：设一次函数解析式为b kx y +=，把（30，300），（50，900）代入可得：
⎩⎨
⎧=+=+9005030030b k b k ，解得⎩
⎨⎧-==60030
b k ．所以60030-=x y ，当0=y 时，x =20． 所以旅客可携带的免费行李的最大质量为20 kg ．
方法二：设旅客可携带的免费行李的最大质量为x kg ，由图象可得：
900
50300
30x x -=-，
20=x
所以旅客可携带的免费行李的最大质量为20 kg ． 10．D 中位数是7度． 11．x =2
1
132+=
x x
，去分母，得x x 322=+，2=x ,经检验，x =2是原方程的解．
12．60° ∠ABE=∠A ’BE=2
1（90°－30°）=30°，∠A=∠A ’=90°．∴∠BEA ’=90°一
30°=60°．
13．② 用科学记数法表示4 410 000=4．41×106．
14．33 AB=BC ，∠ABC=120°，∴∠C=30°，∴∠D=∠C=30°，∵AD 为⊙O 的直径，AD=6，∴BD=ADcos 30°=6×
332
3=
15．（1）原式=)1(2
241222-+⨯-⨯+ （4分）
=122222--+
=1．
（6分）
（2）原式=1232332+-+-x x x x （2分）
=2x +1．
（4分）
所以当3=x 时，原式=（3）2
+1=4．
（6分）
16．解不等式)1(213+<-x x ，得x <3 （2分） 解不等式
12
3≥+x ，得x ≥－1．
（4分）
所以不等式组的解集为：－1≤x <3． （5分） 在数轴上表示其解集为
（6分）
17．（1）∵一次函数2+=x y 的图象经过点P （k ，5）， ∴25+=k ． （2分）
∴k =3．
∴反比例函数的表达式为x
y 3=
． （4分）
（2）由⎪⎩
⎪⎨⎧=
+=x y x y 3
2消去y ，得0322
=-+x x ． （5分） 即0)1)(3(=-+x x ．
∴3-=x 或1=x ． 可得1-=y 或y =3．
于是⎩⎨⎧-=-=13y x 或⎩
⎨⎧==31
y x ． （7分）
∵点Q 在第三象限，
∴点Q 的坐标为（－3，－1）
（8分）
18．如图，由已知，可得∠ACB=30°，∠ADB=45°． （2分）
∴在Rt △ABD 中，BD=AB ． （3分） 又在Rt △ABC 中，∵tan 30°=
BC
AB
∴
3
3=
BC
AB ．即BC=3AB （4分）
∵BC=CD+BD ．∴3AB=CD+AB ． 即（13-）AB=60． （6分） ∴AB=
)13(301
360+=-（米）．
（7分）
即教学楼的高度为30（3+1）米．
19．（1）画树状图：
或用列表法：
（4分）
（2）由图（或表）可知，所有可能出现的结果有12种，其中S=0的有2种，S<2的有5种 （6分）
∴P （S=0）=
6
1122=； （8分）
P （S<2）=12
5． （10分）
20．（1）∵AB ⊥l 于B ，DC ⊥l 于C ，
∴∠ABE=∠ECD=90°．
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°． 且∠AED=90°，
∴∠CED=90°一∠BEA ．
又∠BAE=90°一∠BEA ， ∴∠BAE=∠CED ．
∴Rt △ABE ∽Rt △ECD ． （1分）
[或：∵AB ⊥l 于B ，DC ⊥l 于C ，∴AB//DC ．∴Rt △ABE ∽Rt △ECD]
∴CD
BE EC
AB =
∵BE ：EC=1：3，BC=16，
∴BE=4．EC=12．
又AB=6，∴CD 186
124=⨯=⋅=
AB
EC BE ． （3分）
在Rt △AED 中，由勾股定理，得 AD=
)()(2
2
22
2
2
CD EC
BE AB
DE
AE
+++=+
=6522608
12462
2
2
2
==+++ （4分）
（2）（i ）猜想：AB+CD=BC ． 证明：在Rt △ABE 中，∵∠ABE=90°， ∴∠BAE=90°一∠AEB ．
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°． 且∠AED=90°．
∴∠CED=90°一∠AEB ．
∴∠BAE=∠CED ．
∵DC ⊥BC 于点C ，∴∠ECD=90°． 由已知，有AE=ED ．
于是在Rt △ABE 和Rt △ECD 中，
∵∠ABE=∠ECD=90°，∠BAE=∠CED ，AE=ED ， ∴Rt △ABE ≌Rt △ECD ．（AAS ） （6分）
∴AB=EC ，BE=CD ． （7分）
∴BC=BE+EC=CD+AB ．即AB+CD=BC ． （8分）
（ii ）当A 、D 分别在直线2两侧时，线段AB 、BC 、CD 有如下等量关系： AB －CD=BC （AB>CD ）或CD －AB=BC （AB<CD ）．（10分） 21．
y
x y -2 原式=y
x y y
x y x y x y x y x y x y
x -=
---
=+--⋅
-+-
231)
)(()
3(312
．
22．2
33 如图，过P 作PF ⊥BD 于F ，PG ⊥AB 于G
∵∠CBD=∠ABC ．∴PF=PG
∵PE// AB ．∴∠BPE=∠ABC ．∴∠CBD=∠BPE ．∴PE=BE=3， ∵∠AOC=60°．∴∠ABC=∠CBD=∠BPE=30°．∴∠PEF=60°． ∴PF=PEsin60°=
2
33，
∴PG=PF=2
33，即点P 到弦AB 的距离为2
33．
23．
1
2++n n 23)411(2)1(211=
-
⨯=-=a b ，
3
4)911(23)1)(1(2212=-
⨯=
--=a a b ，
4
5)16
11(3
4)1)(1)(1(23213=-⨯=
---=a a a b ，
…… 可推测出1
2++=n n b n ．
24．（
2
4-m ，
4
8-m ），（4
8-m ，2
4-m ）
正方形OABC 的面积是4，A （－2，0），C （0，－2），如图，由面积关系可求得，MR=
2
4m -，
RN=m
-48，此时点R 的坐标是（4
8-m ，2
4-m ）
当点R 在BC 下方时，同理可求点R 的坐标是（
2
4-m ，48-m ）
所以点R 的坐标是（4
8-m ，2
4-m ）或（
2
4-m ，4
8-m ）．
25．4和5 画树状图如下：
P （Q 2）=P （Q 7）=12
1，P （Q 3）=P （Q 6）=
6
112
2=
，P （Q 4）=P （Q 5）=
4
112
3=
．
∴当Q n 的概率最大时，n 的所有可能的值为4和5．
26．（1）根据题意，得
R 1=P （Q 1一20）=]20)302
1)[(
802(-++-x x
=800202++-x x （1≤x ≤20，且x 为整数）． （3分） R 2=P （Q 2—20）=)2045)(802(-+-x
=200050+-x （21≤x ≤30，且x 为整数）． （5分） （2）在1≤x ≤20，且x 为整数时， ∵R 1=900)10(2
+--x ，
∴当x =10时，R 1的最大值为900． （6分）
在21≤x ≤30，且x 为整数时，
∵在R 2=200050+-x 中，R 2的值随x 值的增大而减小，
∴当x =21时，R 2的最大值是950． （7分）
∵950>900．
∴当x =21即在第21天时，日销售利润最大，最大利润为950元 （8分）
27．（1）猜想：OG ⊥CD ． 证明：如图，连接OC 、OD ．
∵OC=OD ，G 是CD 的中点，
∴由等腰三角形的性质，有OG ⊥CD ． （2分）
（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90° 而∠CAE=∠CBF （同弧所对的圆周角相等）．
在Rt △ACE 和Rt △BCF 中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC ，∠CAE=∠CBF ． ∴Rt △ACE ≌Rt △BCF ．（ASA ） ∴AE=BF ． （5分）
（3）如图，过点O 作BD 的垂线，垂足为H 则H 为BD 的中点． ∴OH=
2
1AD ，即AD=20OH
又∠CAD=∠BAD ⇒CD=BD ．∴OH=OG ． 在Rt △BDE 和Rt △ADB 中， ∵∠DBE=∠DAC=∠BAD ． ∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ． ∴
DB
DE AD
BD =，即DE AD BD ⋅=2．
∴BD 2=AD ·DE=2OG ·DE=6（22-
）． （6分）
又BD=FD ，∴BF=2BD ．
∴BF 2
=4BD 2
=24（22-
）．① （7分）
设AC=x ，则BC=x ，AB=x 2．
∴AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠FAD=∠BAD ．
在Rt △ABD 和Rt △AFD 中．
∵∠ADB=∠ADF=90°．AD=AD ，∠FAD=∠BAD ，
∴Rt △ABD ≌Rt △AFD ．（ASA ）
∴AF=AB=
x 2，BD=FD ．
∴CF=AF —AC=
x x x )12(2-=-．
在Rt △BCF 中，由勾股定理，得
BF 2=BC 2+CF 2=2
2
2)22(2])12[(x x x -
=-+．② （8分）
由①、②，得)22(24)22(22
-=-
x ．
∴122
=x ．解得321=x ，322-=x （舍去）． ∴AB=
623222=⋅-
x ．
∴⊙O 的半径长为6． （9分）
∴S ⊙O =ππ6)6(2
=⋅． （10分）
28．示意图如图所示．（1）∵直线MC 的函数表达式为3-=kx y ，
∴点C （0，－3）． （1分） ∵cos ∠BCO=
10
310
103|
|||=
=BC OC ，
∴可设|OC|=)0(3>t t ，|BC|=t 10． 则由勾股定理，得|OB|=t ． 而|OC|=3t=3．∴t=1．
∴|OB|=1，∴点B （1，0）． （2分） ∵点B （1，0）、C （0，－3）在抛物线上， ∴⎩⎨
⎧-=+=+3
04c a c a 解得⎩⎨
⎧-==4
1c a ，
∴抛物线的函数表达式为324)1(22-+=-+=x x x y ． （4分）
（2）假设在抛物线上存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形．
①若PN 为另一条直角边．
∵点M （－1，－4）在直线MC 上，∴34--=-k ，即1=k ． ∴直线MC 的函数表达式为3-=x y ．
易得直线MC 与x 轴的交点N 的坐标为N （3，0）． ∵|OC|=|ON|．∴∠CNO=45°．
在y 轴上取点D （0，3），连接ND 交抛物线于点P ． ∵|ON|=|OD|．∴∠DNO=45° ∴∠PNC=90°．
设直线ND 的函数表达式为n mx y +=． 由⎩⎨
⎧==+3
03n n m ，解得⎩⎨
⎧=-=3
1n m ．
∴直线ND 的函数表达式为3+-=x y ．
设点P （x ，3+-x ），代入抛物线的函数表达式，得
3232
-+=+-x x x ．即0632
=-+x x ．
解得233
31+
-=
x ，233
32-
-=
x ．
∴2
3391-
=
y ，2
3392+
=
y
∴满足条件的点为 P 1（
233
3+
-，
2
33
9-
）、P 2（
2
33
3-
-，
2
33
9+
）．（6分）
②若PC 是另一条直角边．
∵点A 是抛物线与x 轴的另一交点，∴点A 的坐标为（－3，0）． 连接AC ．∵|OA|=|OC|．∴∠OCA=45°．又∠OCN=45°， ∴∠ACN=90°．∴点A 就是所求的点P 3（－3，0）． （7分） [或：求出直线AC 的函数表达式为3--=x y ．设点P （x ，3--x ）． 代入抛物线的函数表达式，得3232-+=--x x x ，即032=+x x ． 解得0,321=-=x x ，∴3,021-==y y ． ∴点P 3（－3，0），P 4（0，－3）（舍去）．]
综上可知，在抛物线上存在满足条件的点，有3个，分别为P 1（
233
3+
-，
2
33
9-
）、
P 2（
233
3-
-，
233
9+
）、P 3（－3，0）． （8分）
（3）①若抛物线沿其对称轴向上平移，设向上平移b （b>0）个单位． 可设函数表达式为b x x y +-+=322
．
由⎩⎨⎧-=+-+=3
322x y b x x y ，消去y ，得02=++b x x ． ∴要使抛物线与线段NQ 总有交点，必须 △=1－4b ≥0．即b ≤
4
1．∴0<b ≤
41．
∴若抛物线向上平移，最多可平移4
1个单位长度． （10分）
②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移b （b>0）个单位． 可设函数表达式为b x x y --+=322
．
∵当3-=x 时，b y -=；当x =3时，b y -=12．
易求得Q （－3，－6），又N （3，0）， ∴要使抛物线与线段NQ 总有交点，必须 －b ≥－6或12－b ≥0，即b ≤6或b ≤12． ∴0<b ≤12．
∴若抛物线向下平移，最多可平移12个单位长度． （11分） [或：若抛物线沿其对称轴向下平移，设平移b （b>0）个单位． 则b x x y --+=3221，32-=x y 在－3≤x ≤3总有交点．
即03322221=-+=+---+=-b x x x b x x y y 在－3≤x ≤3总有实数根． 令4
1)21(2
2-
+
=+=x x x y ，在－3≤x ≤3时，－
4
1≤y ≤12．
∴要使02=-+b x x 在－3≤x ≤3有解，b 必须满足－
4
1≤b ≤12．
∴0<b ≤12，即b 的最大值为l2．∴向下最多可平移12个单位长度．]
综上可知，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则向上最多可平移
4
1个单位长度，向下最多可平移12个单位长度．（l2分）。