第三章 排队模型1014

(二)生灭过程状态变化的性质
(1) 在无穷小t内,系统或生长1个;或灭亡1个;或既
不生长又不灭亡（概率:1- n(t ) -n(t ) ）;
(2)系统生长一个的概率n(t )与t有关，而与t无 关; 与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关； (3)系统灭亡一个的概率n(t )与t有关，而与t无 关; 与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关；
第三章 排队论
排队现象与排队系统; 排队模型与系统参数; 排队系统时间参数分布规律; 排队系统的生灭过程与状态转移方程; 排队系统分析; 单服务台负指数分布模型 多服务台负指数分布模型 排队系统优化分析;
1
1、排队现象与排队系统
一、排队现象 到达顾客 病 人 进港的货船 到港的飞机 电话拨号 服务内容 诊断/手术 装货/卸货 降落 通话 服务机构 医生/手术台 码头泊位 机场跑道 交换台
1个顾客的概率与t无关，仅与时间间隔
成正比 (平稳性)： P 1 (t , t t ) t o(t ) (3) 对于充分小的时间பைடு நூலகம்隔 [t , t t ]，2个及以 上顾客到达的概率可忽略不计 (普通性)。
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对泊松流，在时间t系统内有n个顾客的概
率服从如下泊松分布
(t ) n t Pn (t ) e , t 0, n 0,1,2, n!
1
2 … c
1 2 … c
2 … c
8
服务台(员)为顾客服务的顺序: a)先到先服务(FCFS); b)后到先服务(LCFS); c)随机服务; d)优先服务;
9
排队模型与系统参数 一、排队模型 (一)排队模型表示方法
1、D.G.Kendall(1953)表示法
X/Y/Z ——依据排队系统3个主要特征： （1） X 顾客到达间隔时间分布； （2） Y 服务台（员）服务时间分布； （3） Z 服务台（员）个数（单个或多个并列）；
n-1 n
n
n 1
1
2
3
n1
n
1 p1 0 p0
31
0
0 1
1
2
2
n 2 n 1
n-1 n
n
n 1
1
2
3
n1
n
0 p0 2 p2 (1 1 ) p1
32
0
0 1
1
2
2
n 2 n 1
n-1 n
n
,
pn
Cn 1 Cn
n 1
37

四、 排队系统性能参数的一般关系 ——Little 公式
对一般排队系统，均有下式成立
Ws
e
Ls
,Wq
Lq
e
e Ws Wq , Ls Lq
1
• 其中有效到达率为
e

n 0

n
P n
38
G/G/1和G/G/c队列
n 2 n 1
n-1 n
n
n 1
1
2
3
n1
n
n1 pn1 n1 pn1 (n n ) pn
35
p
n 0

n
1

p0 Cn p0 (1 Cn ) p0 1
n 1 n 1
p0
1 1 Cn
n 1
若顾客流是泊松流时，顾客到达的时间间隔
显然服从上述负指数分布(WHY);
E[T]=1/ ; Var [T]=1/2 ; [T]=1/
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二、顾客服务时间分布 (一)负指数分布 (1) 对一个顾客的服务时间Ts，等价于相邻两个顾客 离开排队系统的时间间隔。若Ts服从负指数分布， 其概率密度和分布函数分别为
相继到达间隔时间ti
顾客到达时刻i
6
（2）排队结构与排队规则
顾客排队方式：等待制/即时制(损失制); 排队系统容量：有限制/无限制; 排队队列数目: 单列/多列; 是否中途退出: 允许/禁止; 是否列间转移: 允许/禁止; (仅研究禁止退出和转移的情形)
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（3）服务机构与服务规则
服务台(员)数目;单个/多个; 服务台(员)排列形式;并列/串列/混合; 服务台(员)服务方式;逐个/逐批;(研究逐个情形) 服务时间分布;随机型/确定型; 服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳;(研究平稳情形) 1 1
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二、系统参数
(一)系统运行状态参数
1、系统状态 N(t) ——指排队系统在时刻t时的全部顾客数 N(t)， 包括“排队顾客数”和“正被服务顾客数”；
——系统状态的可能值如下： （1）系统容量无限制， N(t) =0，1，2，…;
(2) 系统容量为N时, N(t) =0,1,2,…,N;
(3) 服务台个数为c/损失制, N(t) =0,1,2,…,c;
数分布;
则排队系统的随机过程{N(t),t>=0}具有马
尔可夫性质, 为一个生灭过程.
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二、排队系统的状态转移方程
(一) 排队系统状态的概率及其分布
(1)瞬态概率Pn(t) ——表示时刻系统状态N(t)=n的概率; (2) 稳态概率Pn ——Pn= lim Pn(t) ; t 一般，稳态概率Pn的分布，是分析计算 排队系统运行优劣的基础。
一般,系统状态N(t)是随机的。
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2、系统状态概率： (1)瞬态概率Pn(t) ——表示时刻系统状态 N(t)=n 的概率; (2) 稳态概率Pn ——Pn= limPn(t) ; ——一般，排队系统运行了一定长的时 间后，系统状态的概率分布不再随时间 t变化，即初始时刻（t=0）系统状态的 概率分布(Pn(0) ，n》0）的影响将消失。
故障机器
修理技工
修理 入库
修理技工 水闸管理员
2
领取修配零件 仓库管理员
上游河水
（1）由于顾客到达和服务时间的随机性，
现实中的排队现象几乎不可避免；
（2）排队过程，通常是一个随机过程，
排队论又称“随机服务系统理论”；
3
二、排队系统
（一）排队服务过程
排队规则
顾客源 排队结构
服务规则
服务机构 。。。
fTs (t ) {0
e t ,t 0
,t 0
FTs (t ) {
1 e t ,t 0 0 ,t 0
则 E[Ts]=1/ ; Var [Ts]=1/ 2 ; [Ts]=1/ (2) E[Ts]=1/ ：每个顾客的平均(期望)服务时间； :单位时间服务的顾客数，平均(期望)服务率；
而离去的概率；
(4)服务强度： = /c ；
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3、 排队系统时间参数分布规律
一、顾客到达时间间隔分布 (一)泊松流与泊松分布 如果顾客到达满足如下条件,则称为泊松流: (1) 在不相互重叠的时间区间内，到达顾客数
相互独立(无后效性).
(2) 对于充分小的时间间隔 [t , t t ]内，到达
n 1
1
2
3
n1
n
1 p1 3 p3 (2 2 ) p2
33
0
0 1
1
2
2
n 2 n 1
n-1 n
n
n 1
1
2
3
n1
n
n2 pn2 n pn (n1 n1 ) pn1
34
0
0 1
1
2
2
——排队系统状态转移方程
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(四) 排队系统状态转移图
0
0 1
1
2
2
n 2 n 1
n-1 n
n
n 1
1
2
3
n1
n
在任意状态n达到稳态平衡的条件： 产生该状态的平均速率 =该状态转变成其他状态的平均速率
（流入=流出）
30
0
0 1
1
2
2
n 2 n 1
(2)等待时间:
——指一个顾客在系统中的排队等待时间；
期望值，记为 Wq
Ws = Wq + E[服务时间]
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3、其他相关指标
(1)忙 期: 指从顾客到达空闲服务机构起到服务
机构再次空闲的时间长度；
(2)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成
服务的顾客数；
(3)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务
推导过程：P 323
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(三) 排队系统状态转移方程 ——求解可得稳态概率Pn 令
dP0 (t ) 0 dt
dPn (t ) 0 ; dt
则
0 P0 (t ) 1P1 (t ) 0
n1Pn1 (t ) n1Pn1 (t ) (n n )Pn (t ); n 0
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(3) T的意义之一: k个串联服务台的总服务时间！
4 、排队系统的生灭过程与状态转移方程
一、排队系统的生灭过程
(一)生灭过程的背景与定义
n ，n ，t ( ？)
设某系统具有状态集S={0,1,2,…},或S={0,1,2,…,k}, N(t)表示系统在时刻 t (t>=0) 的状态。 若在N(t)=n的条件下，随机过程{N(t),t>=0}满足 以下条件: (1) N(t+t)转移到“n+1”的概率为n(t ) ; (2) N(t+t)转移到“n-1”的概率为n(t ) ; (3) N(t+t)转移到 其他状态“S-{n+1,n-1}”的概 率为o(t )(高阶无穷小) ; 23 则称随机过程{N(t),t>=0}为生灭过程。
E[N(t)]=t ;
Var [N(t)]=t ;
——单位时间平均到达的顾客数；
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(二)泊松流到达间隔服从负指数分布
若顾客到达间隔T的概率密度为
fT (t ) {0 FT (t ) {
e t ,t 0
,t 0
则称T服从负指数分布，分布函数如下：
1 e t ,t 0 0 ,t 0
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(二) 排队系统状态概率的微分差分方程 ——求解可得瞬态概率Pn(t)
dP0 (t ) 0 P0 (t ) 1P1 (t ); t 0, n 0 dt
dPn (t ) n1Pn1 (t ) n1Pn1 (t ) (n n ) Pn (t ); t 0, n 0 dt
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2、国际排队论标准化会议(1971)表示法
X/Y/Z/A/B/C
（1） A 系统容量限制； （2） B 顾客源（总体）数目； （3） C 服务规则（FCFS，LCFS等）；
——略去后三项，即指 “X/Y/Z///FCFS”； ——这里仅研究FCFS的情形；
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(二)到达间隔和服务时间典型分布 （1） 泊松分布 M； （2） 负指数分布 M； （3） k阶爱尔朗分布 Ek； （4） 确定型分布 D； （5） 一般服务时间分布 G； (三)排队模型示例 ——M/M/1，M/D/1，M/ Ek /1 ； ——M/M/c， M/M/c//m， ——M/M/c/N/ ，。。。
t
14
(二)系统运行指标参数
——评价排队系统的优劣。
1、队长与排队长
(1)队长: 系统中的顾客数（n）； 期望值 Ls= n*Pn (2)排队长: 系统中排队等待服务的顾客数;
期望值 Lq =
n c 1


(n c) P n
Lq= Ls-[正被服务的顾客数]
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2、逗留时间与等待时间 (1)逗留时间: ——指一个顾客在系统中的全部停留时间； 期望值，记为 Ws
21
(二)爱尔朗(Erlang)分布
(1) 设v1,v2,…,vk是k个相互独立的随机变量,服从 相同参数1/ k的负指数分布,则:T= v1+v2+…+vk的 概率密度为
k (kt ) kt b(t ) e (k 1)!
k 1
称T服从k阶爱尔朗分布。 (2)
E[T]=1/ ; Var [T]=1/( k2)
顾客到来
顾客离去
排队系统
4
（二）排队系统的要素及其特征 1、排队系统的要素： （1）顾客输入过程； （2）排队结构与排队规则； （3）服务机构与服务规则；
5
2、排队系统不同要素的主要特征：
（1）顾客输入过程 顾客源(总体)：有限/无限; 顾客到达方式：逐个/逐批;(仅研究逐个情形) 顾客到达间隔：随机型/确定型; 顾客前后到达是否独立：相互独立/相互关联； 输入过程是否平稳：平稳/非平稳；(仅研究平稳性)
单位时间λ个客户到达，一个服务器单位时间能
够服务μ个客户，客户到达时间间隔和服务时间 任意分布，1个或者c个服务器，无限等待位。 G/G/1或者G/G/c。
——马尔可夫性质
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(三) 排队系统的生灭过程 (1)生灭过程示意
顾客到达——“生”；
顾客离开——“灭”
顾客聚 顾客到达
服务机构
顾客散 顾客离去
n ，
n ，
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(2)生灭过程定义
若排队系统具有下列性质:
(1) 顾客到达为泊松流，时间间隔服从参
数为n的负指数分布;
(2) 顾客服务时间服从参数为 n的负指