创新设计 数学一轮文科 人教B 课时作业 第八章 立体几何 阶段回扣练

阶段回扣练8 立体几何
(建议用时：90分钟)
一、选择题
1．(2014·辽宁质量检查)某几何体的俯视图是正方形，则该几何体不可能是
()
A．三棱柱B．四棱柱
C．圆柱D．圆锥
解析依题意，当一个几何体的俯视图是正方形时，该几何体不可能是圆锥，故选D.
答案 D
2．(2015·杭州质量检测)设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β() A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥m
C．若l⊥m，则α∥βD．若α⊥β，则l∥m
解析A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.
答案 B
3. 如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，
则在正方体盒子中，∠ABC的值为()
A．30°B．45°
C．60°D．90°
解析还原为正方体，如图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.
答案 C
4．(2014·青岛调研)已知三棱锥的主视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()
解析由主视图和俯视图还原几何体如图所示，由主视图和俯视图对应线段可得AB＝BD＝AD＝2，当BC⊥平面ABD时，BC＝2，△ABD的边AB上的高为3，只有B选项符合，当BC不垂直平面ABD时，没有符合条件的选项，故选B.
答案 B
5．(2014·广州综合测试)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
()
A．2πB．4π
C．6πD．12π
解析依题意，题中的几何体是半个圆柱，因此其体积等于1
2×π×2
2×3＝6π.
答案 C
6．(2015·济南模拟)已知直线m，n不重合，平面α，β不重合，下列命题正确的是
() A．若m⊂β，n⊂β，m∥α，n∥α，则α∥β
B．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
C．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
解析由面面平行的判定定理可知A中需增加条件m，n相交才正确，所以A 错误；若m⊂α，，n⊂β，α∥β，则m，n平行或异面，B错误；若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n平行、相交、异面都有可能，C错误；由直线与平面垂直的定义可知D正确，故选D.
答案 D
7．(2014·烟台模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
()
A．48B．32＋817
C．48＋817D．80
解析由三视图可得该几何体是一个侧放的直四棱柱，该四棱柱的底面是上底、
下底、高分别为2,4,4，腰长为17的等腰梯形，所以两个底面面积和为2×1
2×(2＋4)×4＝24，侧棱长为4，所以侧面积为(2＋4＋217)×4＝24＋817，表面积为24＋24＋817＝48＋817，故选C.
答案 C
8．(2015·银川质量检测)如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线A1C和AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能是()
解析依题意，注意到题中的空间四边形OEC1D1在平面CC1D1D、平面
DD1A1A、平面ABCD上的正投影图形分别是选项B，C，D，故选A.
答案 A
9．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()
A.317
2B．210
C.13
2D．310
解析如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝1
2BC
＝5 2，OM＝1
2AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫5
2
2＋62＝132.
答案 C
10．(2015·东北三省四市联考)若一个圆柱的主视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为()
A.
π
π＋1
B．
2π
2π＋1
C．
2
2π＋1
D．
1
π＋1
解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则2r
h
＝h
2πr
，则h＝2rπ，则S侧＝2πr·h
＝4πr2π，S全＝4πr2π＋2πr2，故圆柱的侧面积与全面积之比为4πr2π
4πr2π＋2πr2
＝
2π
2π＋1
，故选B.
答案 B
二、填空题
11.如图所示，在边长为5＋
2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积S ＝________.
解析 设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由已知条件得
⎩⎨⎧
l ＋r ＋2r ＝(5＋2)×2
2πr l ＝π2
，
解得r ＝2，l ＝42，S ＝πrl ＋πr 2＝10π. 答案 10π
12．四棱锥P －ABCD 的顶点P 在底面ABCD 上的投影恰好是点A ，其正视图与侧视图都是腰长为a 的等腰直角三角形．则在四棱锥P －ABCD 的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．
解析 四棱锥P －ABCD 的直观图如图所示，结合图形可知，满足题中要求的有P A ⊥BC ，P A ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥P A ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，共6对．
答案 6
13．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积等于________． 解析 ∵P A ⊥底面ABC ，
∴P A 为三棱锥P －ABC 的高，且P A ＝3. ∵底面ABC 为正三角形且边长为2， ∴底面面积为1
2×22×sin 60°＝3， ∴V P －ABC ＝1
3×3×3＝ 3. 答案
3
14．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．
解析 如图，设截面小圆的半径为r ，球的半径为R ，因为AH ∶HB ＝1∶2，所以OH ＝1
3R .由勾股定理，有R 2＝r 2＋OH 2，又由题意得πr 2＝π，则r ＝1，故R 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
13R 2，即R 2＝98.由球的表面积公式，得S ＝4πR 2＝92π.
答案 9
2π
15．一个盛满水的三棱锥容器S －ABC ，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D ，E ，
F ，且SD ∶DA ＝SE ∶EB ＝CF ∶FS ＝2∶
1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的
______倍．
解析 设点F 到平面SDE 的距离为h 1，点C 到平面SAB 的距离为h 2，当平面EFD 处于水平位置时，容器盛水最多． V F －SDE V C －SAB
＝1
3S △SDE ·
h 1
13S △SAB ·
h 2
＝1
3·SD ·SE ·sin ∠DSE ·h 113·SA ·SB ·sin ∠ASB ·h 2＝SD SA ·
SE SB ·h 1h 2＝23×23×13＝427.
故最多可盛原来水的1－427＝23
27. 答案 23
27 三、解答题
16．(2014·陕西卷)四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .
(1)求四面体ABCD的体积；
(2)证明：四边形EFGH是矩形．
(1)解由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，
∴四面体ABCD的体积V＝1
3×
1
2×2×2×1＝
2
3.
(2)证明∵BC∥平面EFGH，
平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC ∥EH，∴FG∥EH.
同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AD⊥平面BDC，
∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，
∴四边形EFGH是矩形．
17．(2015·济南一模)在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝
AD＝EF＝1
2BC，G是BC的中点．
求证：(1)AB∥平面DEG；
(2)EG⊥平面BDF.
证明(1)∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC.
又∵BC＝2AD，G是BC的中点，∴AD綉BG，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG.
∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
(2)连接GF，四边形ADFE是矩形，
∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，
∴DF⊥平面BCFE，EG⊂平面BCFE，∴DF⊥EG.
∵EF綉BG，EF＝BE，
∴四边形BGFE为菱形，
∴BF⊥EG，
又BF∩DF＝F，BF⊂平面BFD，DF⊂平面BFD，
∴EG⊥平面BDF.
18. (2015·青岛质量检测)如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝3BC＝6，BF
＝CF＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM＝2.
(1)证明：AF∥平面BDG；
(2)证明：平面BGM⊥平面BFC.
证明(1)连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG.
∵点G为FC的中点，
∴OG为△AFC的中位线，
∴OG∥AF.
∵AF⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，
∴AF∥平面BDG.
(2)连接FM.
∵BF＝CF＝BC＝2，G为CF的中点，∴BG⊥CF.
∵CM＝2，∴DM＝4.
∵EF∥AB，四边形ABCD为矩形，∴EF∥DM，
又∵EF＝DM＝4，
∴四边形EFMD为平行四边形．
∴FM＝ED＝2，∴△FCM为正三角形，∴MG⊥CF.
∵MG∩BG＝G，∴CF⊥平面BGM.
∵CF⊂平面BFC，
∴平面BGM⊥平面BFC.
19. (2014·重庆卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥
底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π
3，M为BC上一点，且BM＝1 2.
(1)证明：BC⊥平面POM；
(2)若MP⊥AP，求四棱锥P－ABMO的体积．
(1)证明如图，连接OB，因为ABCD为菱形，O为菱形的中心，所以AO⊥OB.
因为∠BAD＝π3，
所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sin π
6＝1，
又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，所以在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－
2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12×cos π3＝34. 所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM .
又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .
从而BC 与平面POM 内两条相交直线OM ，
PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .
(2)解 由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2·cos π6＝ 3.
设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形，
故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.
又△POM 也是直角三角形，
故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.
连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214.
由于MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34
＝214，得a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.
此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝538.所以V P －ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×538×32＝516.。