202X包头市中考数学规律问题算式变化类专题

202X 包头市中考数学规律问题算式变化类专题
一、规律问题算式变化类
1．已知有理数a ≠1，我们把11a
-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是112=--1，﹣1的差倒数是()11112
=--．如果a 1=﹣2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…依此类推，那么a 1+a 2+…+a 109的值是( )
A ．8
B ．﹣8
C ．6
D ．﹣6
2．观察等式：1+2+22＝23－1；1+2+22+23＝24－1；1+2+22+23+24＝25－1；若 1+2+22+…+29＝210－1＝m ，则用含 m 的式子表示 211+212+ …+218+219的结果是（ ） A ．m 2+ m B ．m 2+m －2 C ．m 2－1 D ．m 2+ 2m 3．一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，⋯依此规律跳下去，当它第2019次落下时，落点表示的数是（ ）
A ．2019
B ．2020
C ．-2020
D ．1010 4．2020减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14
，….依此类推，一直减到余下的12020
，则最后剩下的数是（ ） A ．20202019 B ．1 C ．20192020 D ．0
5．a 是不为1的有理数，我们把
11a -称为a 的差倒数．．．．如：3的差倒数是11132=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知12a =，2a 是1a 的整倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3
a 的差倒数，…，依此类推，则2020a 为（ ）
A ．2
B ．1
C ．1-
D ．12
6．“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：
2111==
21312+==
213593++==
21357164+++==
213579255++++==
解答下列问题：请用上面得到的规律计算：1357...89+++++=（ ）
A．2010 B．2015 C．2020 D．2025
7．将2019加上它本身的1
2
的相反数，再将这个结果加上其
1
3
的相反数，再将上述结果加
上，其1
4
的相反数，…，如此继续，操作2019次后所得的结果是（）
A．1 B．－1 C．2019
2020
D．2020
8．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是() A．9 B．10 C．11 D．12
9．观察下列各式：
，
，
，
…
计算：3×（1×2+2×3+3×4+…+99×100）=（）
A．97×98×99 B．98×99×100 C．99×100×101 D．100×101×102
10．对于正数x，规定f(x)=
1x
x
+
，例如f(3)=
3
4
，f(
1
3
)=
1
4
，计算
f(
1
2015
)+f(
1
2014
)+f(
1
2013
)+…+f(
1
3
)+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(2014)+f(2015)的结果
是（）
A．2014 B．2014．5 C．2015 D．2015．5B
11．当x分别取-2019、-2018、-2017、…、-2、-1、0、1、1
2
、
1
3
、…、
1
2017
、
1
2018
、
1 2019时，分别计算分式
2
2
1
1
x
x
-
+
的值，再将所得结果相加，其和等于( )
A．-1 B．1 C．0 D．2019
12．观察下列等式：①23﹣13＝32﹣2；②33﹣23＝52﹣6；③43﹣33＝72﹣12；④53﹣43＝92﹣20…请根据上述规律，请判断下列等式错误的是（）
A ．20163﹣20153＝40312﹣2016×2015
B ．20173﹣20163﹣40332＝2017×2016
C ．40352﹣20183+20173＝2018×2017
D ．2018×2019﹣20183+20193＝40372 13．（问题背景）“整体替换法”是数学里的一种常用计算方法．利用式子的特征进行整体
代换，往往能解决许多看似复杂的问题． （迁移运用）计算
111211211212++
++++++
的值 解：设原式x =，则可分析得：112x x
=++ 根据上述方程解得：13132x -+=，23132
x --= 而原式0>，故：原式13132x -+==
（联系拓展）23456202222222++++++
+=___________ A ．2121- B ．2122-
C ．2221-
D ．2222-
14．如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n 的代数式表示）（ ）．
A 21n -
B 22n -
C 23n -
D 24n - 15．下面是按一定规律排列的一列数：
第 1 个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
； 第 2 个数：()()2311111113234⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
； 第 3 个数：()()2311111114234⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
； ⋯⋯；
第 n 个数：()()()232n-111111111...1n 12342n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎛⎫-++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
； 那么在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中，最大的数是 ( )
A ．第 10 个数
B ．第 11 个数
C ．第 12 个数
D ．第 13 个数
16．已知2131=+a ，2262=+a ，23103=+a ，24154=+a ……n a ，则20202010-=
a a （ ）
A ．2020
B ．4039
C ．6060
D ．8079 17．计算
111111122334455667-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯的结果为（ ）． A ．67 B ．67
- C ．17- D ．17 18．观察下列各式及其展开式：()2222a b a ab b +=++；
()3322333a b a a b ab b +=+++；()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；
()544322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++…，请你猜想()11a b +的展开式第三项的系数是（ ）
A ．36
B ．45
C ．55
D ．66
19．已知11a x =-（1x ≠且2x ≠），2111a a =-，3211a a =-，…，111n n a a -=-，则2019a 等于（ ）
A ．21x x --
B ．1x +
C ．1x -
D ．12x
- 20．已知222111483444
1004A ⎛⎫=⨯++⋯+ ⎪---⎝⎭，根据()21111n 3n 44n 2n 2⎛⎫=-≥ ⎪--+⎝⎭
，则与A 最接近的正整数是（ ）． A ．18 B ．20 C ．24 D ．25
21．求23201312222+++++的值，可令220131222S =++++，则
23201422222S =++++，因此2014221S S -=-．仿照以上推理，计算出23201315555+++++的值为（ ） A ．201451- B ．201351- C ．2014514- D ．2013514
- 22．探索：
2(1)(1)1x x x -+=-
23(1)(1)1x x x x -++=-
324(1)(1)1x x x x x -+++=-
4325(1)(1)1x x x x x x -++++=-
……
判断22020+22019+22018+…+22+2+1的值的个位数是几？（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．7 23．已知T 1=22119311242+
+==，T 2=2211497123366++==，T 3=22111=34++21313()1212=，⋯，T n=22111(1)
n n +++，其中n 为正整数．设S n =T 1+T 2+T 3+⋯+T n ，则S 2021值是（ ） A ．20212021
2022 B ．202120222022 C ．120212021 D ．120222021 24．方程
13153520052007x x x x ++++=⨯的解是x ＝（ ） A ．20062007 B ．20072006 C ．20071003 D ．10032007
25．在明代的《算法统宗》中记载了利用方格进行两数相乘的一种方法，叫做“铺地锦”，如图1，计算4751⨯，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397，图2用“铺地锦”法表示两个两位数相乘，则a 的值为（ ）
A ．7
B ．5
C ．3
D ．2
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、规律问题算式变化类
1．B
【分析】
根据题意，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化规律，从而可以求得所求式子的值．
【详解】
解：由题意可得，
a1=-2，
，
，
a4=-2，
…，
则，
∴a1+a2+…+
解析：B
【分析】
根据题意，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化规律，从而可以求得所求式子的值．
【详解】
解：由题意可得，
a1=-2，
2
11 1(2)3
a==
--
，
3
13
12 1
3
a==
-，
a4=-2，
…，
则
123
131 2
326
a a a
++=-++=-，
∴a1+a2+…+a109
=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a106+a107+a108）+a109
=
1
36(2) 6
⎛⎫
-⨯+- ⎪
⎝⎭
=-6+（-2）
-8，
故选：B．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．
2．C
【分析】
根据题意，先用m表示出2，然后将所求式子加上2，再减去2，然后利用乘法分配律即可求出结论．
【详解】
解：∵1+2+2+…+2＝2－1＝m
∴2＝m＋1
∴2+2+ …+2+2
=2+
解析：C
【分析】
根据题意，先用m表示出210，然后将所求式子加上210，再减去210，然后利用乘法分配律即可求出结论．
【详解】
解：∵1+2+22+…+29＝210－1＝m
∴210＝m＋1
∴211+212+ …+218+219
=210+211+212+ …+218+219-210
=210×（1+2+22+…+29）-210
=m（m＋1）-（m＋1）
= m2－1
故选C．
【点睛】
此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键．
3．B
【分析】
设向右跳动为正，向左跳动为负，根据题意把所有的数字相加即可得到结果；【详解】
解：设向右跳动为正，向左跳动为负，
由题意可得
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了有理数
解析：B
【分析】
设向右跳动为正，向左跳动为负，根据题意把所有的数字相加即可得到结果；
【详解】
解：设向右跳动为正，向左跳动为负，
由题意可得()()()()()2468403440364038++-+++-+⋯+-+
()()()()246810122403440364038-+-+-+⋯+-+═
20184038=-+
2020=，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了有理数的加减混合运算，准确计算是解题的关键．
4．B
【分析】
根据题意，可列式2020×（1−）×（1−）×（1−）×…×（1−），先算括号里的减法，再约分即可．
【详解】
解：2020×（1−）×（1−）×（1−）×…×（1−）＝2020×××
解析：B
【分析】
根据题意，可列式2020×（1−
12）×（1−13）×（1−14）×…×（1−12020），先算括号里的减法，再约分即可．
【详解】
解：2020×（1−
12）×（1−13）×（1−14）×…×（1−12020）＝2020×12×23×34…×20192020
＝1．
故选：B ．
【点睛】
此题考查有理数的混合运算，首先要根据题意列式，总结规律是解题的关键． 5．A
【分析】
可根据差倒数的定义依次计算出a2、a3、a4，即可发现每3个数为一个循环，然后用2020除以3，即可得出答案．
【详解】
解：已知，
a1的差倒数；
a2的差倒数；
a3的差倒数；
…
解析：A
可根据差倒数的定义依次计算出a2、a3、a4，即可发现每3个数为一个循环，然后用2020除以3，即可得出答案．
【详解】
解：已知
12
a=，
a1的差倒数
2
1
1 12
a==-
-
；
a2的差倒数3
11 1(1)2
a==
--
；
a3的差倒数4
1
2
1
1
2
a==
-；
…依此类推，
2020被3除，结果为2020=3×673+1，被3除余1，
所以，a2020=a1=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查用代数式表示的新定义下，规律探索问题，关键是通过部分的有理数运算后，发现规律．
6．D
【分析】
观察图形和算式的变化发现规律，进而根据得到的规律计算即可．
【详解】
解：观察以下算式：
发现规律：，
∵2n-1=89
解得n=45，
∴，
故选D．
【点睛】
本题考查了
解析：D
观察图形和算式的变化发现规律，进而根据得到的规律计算即可．
【详解】
解：观察以下算式：
2111==
21312+==
213593++==
21357164+++==
213579255++++==
发现规律：()21321n n ++
+-=，
∵2n-1=89
解得n=45，
∴21357...89452025+++++==，
故选D ．
【点睛】
本题考查了规律型——图形的变化类，有理数的乘方．解题的关键是根据图形和算式的变化寻找规律． 7．C
【分析】
根据题意易得第一次运算的结果为，第二次运算的结果为，第三次运算的结果为，第四次运算的结果为，….由此规律可进行求解．
【详解】
解：2019加上它本身的的相反数为：，再将这个结果加上其
解析：C
【分析】 根据题意易得第一次运算的结果为120192⨯，第二次运算的结果为120193
⨯，第三次运算的结果为120194⨯，第四次运算的结果为20195
1⨯，….由此规律可进行求解． 【详解】
解：2019加上它本身的12的相反数为：1120192019201922
-⨯=⨯，再将这个结果加上其13的相反数为11112019201920192233⨯-⨯⨯=⨯，再将上述结果加上，其14的相反数为1
1112019201920193344⨯-⨯⨯=⨯，….由此规律可得第n 次的运算结果为
1
12019n +⨯， ∴第2019次后所得结果是120192019202020191⨯
=+； 故选C ．
【点睛】
本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 8．B
【详解】
试题分析：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m3有m 个奇数，所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=，∵2n+1=313，n=1
解析：B
【详解】
试题分析：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m 3有m 个奇数，所以，到m 3的奇数的个数为：
2+3+4+…+m =
(1)(2)2m m -+，∵2n+1=313，n=156，∴奇数103是从3开始的第52个奇数，∵(91)(92)442-+=，(101)(102)542
-+=，∴第52个奇数是底数为10的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m=10．故选B ．
考点：规律型．
9．C
【详解】
试题分析：根据给出的式子得出一般性的规律，从而得到答案.
考点：规律题
解析：C
【详解】
试题分析：根据给出的式子得出一般性的规律，从而得到答案.
考点：规律题
10．B
【解析】
试题分析：根据题意可得：f(n)+f()=1，则原式=1×2014+=2014．5
考点：规律题
解析：B
【解析】
试题分析：根据题意可得：f(n)+f(1
n
)=1，则原式=1×2014+
1
2
=2014．5
考点：规律题
11．A
【分析】
设a为负整数，将x=a代入得：，将x=-代入得：，故此可知当x互为负倒数时，两分式的和为0，然后求得分式的值即可．
【详解】
∵将x=a代入得：，将x=-代入得：，
∴，
当x=0时，
解析：A
【分析】
设a为负整数，将x=a代入得：
2
2
1
1
a
a
-
+
，将x=-
1
a
代入得：
2
2
1
1
a
a
-
+
，故此可知当x互为负
倒数时，两分式的和为0，然后求得分式的值即可．【详解】
∵将x=a代入得：2
21 1
a a -
+
，将x=-
1
a
代入得：
2
2
2
2
222
2
11
1
1
11
1
1
a
a
a a
a a
a
a
⎛⎫-
--
⎪-
⎝⎭==
++
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
，
∴
22
22
11
11
a a
a a
--
+=
++
，
当x=0时，
2
2
1
1
x
x
-
+
=-1，
故当x取-2019，-2018，-2017，……，-2，-1，0，1，1
2
，
1
3
，……，
1
2017
，
1
2018
，
1 2019时，得出分式
2
2
1
1
x
x
-
+
的值，再将所得结果相加，其和等于：-1．
故选A．
【点睛】
本题主要考查的是数字的变化规律和分式的加减，发现当x的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键．
12．B
【分析】
根据题意找出数字的变化规律，根据规律计算，判断即可．
【详解】
解：观察等式可以得到规律：（n+1）3﹣n3＝（2n+1）2﹣n （n+1）， 20163﹣20153＝40312﹣201
解析：B
【分析】
根据题意找出数字的变化规律，根据规律计算，判断即可．
【详解】
解：观察等式可以得到规律：（n+1）3﹣n 3＝（2n+1）2﹣n （n+1），
20163﹣20153＝40312﹣2016×2015A 正确，不符合题意；
20173﹣20163＝40332﹣2017×2016
∴20173﹣20163﹣40332＝﹣2017×2016B 错误，符合题意；
40352﹣20183+20173＝2018×2017C 正确，不符合题意；
2018×2019﹣20183+20193＝40372D 正确，不符合题意；，
故选B ．
【点睛】
本题考查的是有理数的混合运算、数字的变化规律，掌握有理数的混合运算法则、正确找出数字的变化规律是解题的关键．
13．B
【分析】
根据题目呈现的“整体替换法”，令，，作差即可求解．
【详解】
解：设，，
则，
故选：B ．
【点睛】
本题为新定义类型问题的考查，解题的关键是读懂题目中“整体替换法”的概念，应用到解题
解析：B
【分析】
根据题目呈现的“整体替换法”，令220222S =+++，23212222S =+++，作差即可求解．
【详解】
解：设220222S =+++，23212222S =+++， 则21222S S S =-=-，
故选：B ．
【点睛】
本题为新定义类型问题的考查，解题的关键是读懂题目中“整体替换法”的概念，应用到解题当中．
14．C
【分析】
观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的
解析：C
【分析】
观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．
【详解】
由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3
故选：C．
【点睛】
本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．
15．A
【分析】
根据有理数的计算，计算第1个数、第2个数、第3个数等，总结第n个数的规律即可得出答案．
【详解】
解：第个数：；
第个数：；
第个数：；
；
第个数：；
n越大，第n个
解析：A
【分析】
根据有理数的计算，计算第1个数、第2个数、第3个数等，总结第n个数的规律即可得出答案．
【详解】
解：第1个数：11
10 22
-
⎛⎫
-+=
⎪
⎝⎭
；
第2个数：
()()
23
11
111 111
32346
⎡⎤⎡⎤
--
-
⎛⎫
-+++=-
⎢⎥⎢⎥
⎪
⎝⎭⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
；
第3个数：
()()
23
11
111 111
42344
⎡⎤⎡⎤
--
-
⎛⎫
-+++=-
⎢⎥⎢⎥
⎪
⎝⎭⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
；
⋯⋯；
第n个数：
()()()
232n-1
111
1111 111 (1)
n12342n12
n
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
---
-
⎛⎫
-++++=-
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎪
++⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
；
∴n越大，第n个数越小
故选：A．
【点睛】
本题考查有理数的计算，掌握数的规律是解题的关键．
16．C
【分析】
先由已知等式,得出规律:,则,将代入,即可求出结果．
【详解】
解：
．
．
时,
．
故选:C．
【点睛】
此题主要考查了规律型:数字的变化类及有理数的混合运算,解题解析：C
【分析】
先由已知等式,得出规律:()2
121n a n n n =++++++23322n n ++=,则133n n a a n +-=+,将2019n =代入,即可求出结果．
【详解】
解：()2121n a n n n =++++++
()()21112
n n n +++⎡⎤⎣⎦=+ ()()2212
n n n ++=+ 22
3222
n n n +++= 23322
n n ++=． ()()2
213131233222
n n n n n n a a +++++++-=- ()()223131332
n n n n +++--= 2236333332n n n n n ++++--= 662
n += 33n =+．
2019n =时,()20202019320191a a -=+
32020=⨯
6060=．
故选:C ．
【点睛】
此题主要考查了规律型:数字的变化类及有理数的混合运算,解题时首先观察,分析归纳出题目中隐含的规律,然后利用规律把题目变形,从而使计算变得比较简便．
17．D
【分析】
将式子进行变形，然后计算即可．
【详解】
解：
=
=
【点睛】
本题考查有理数的计算，关键在于进行变形．
解析：D
【分析】
将式子进行变形，然后计算即可．
【详解】 解：
111111122334455667-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =111111111111()()()()()22334455667-
---------- =17
【点睛】
本题考查有理数的计算，关键在于进行变形．
18．C
【分析】
利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出的展开式第三项的系数．
【详解】
解：
依据规律可得到：
第三项的系数为1，
第三项
解析：C
【分析】
利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出11()a b +的展开式第三项的系数．
【详解】
解：222()2a b a ab b +=++
+=+++33223()33a b a a b ab b
4322344()464a b a a b a b ab b +=++++
554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++
⋯⋯
∴依据规律可得到：
2()a b +第三项的系数为1，
3()a b +第三项的系数为312=+，
4()a b +第三项的系数为6123=++，
⋯
11()a b +第三项的系数为：10(101)123910552
⨯++++⋯++=
=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了数字规律型，理解题意，找到系数的规律是解题的关键． 19．A
【分析】
根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数是一个循环，进而可得的值．
【详解】
解：∵（且），
∴
⋯⋯
∵2019÷3=673
∴==
故选：A
【点睛】
本题考查了数字的
解析：A
【分析】
根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数是一个循环，进而可得2019a 的值．
【详解】
解：∵11a x =-（1x ≠且2x ≠）， ∴2111111(1)2a a x x
===----
3211211112x a a x x
-===----
431112111a x x a x
=
==----- ⋯⋯ ∵2019÷3=673
∴2019a =3a =
21x x
-- 故选：A
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 20．D
【分析】
根据公式的特点把A 进行变形化简，故可求解．
【详解】
∵
∴
=
≈12×2.0435=24.522≈25
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查数的规律计算，解题的关键是运用已知
解析：D
【分析】
根据公式的特点把A 进行变形化简，故可求解．
【详解】 ∵()21111n 3n 44n 2n 2⎛⎫=-≥ ⎪--+⎝⎭
∴2221114834441004A ⎛⎫=⨯++⋯+ ⎪---⎝⎭
=111111111484323244242410021002⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+-+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111111148145426498102⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111111121......234598567102⎛⎫=⨯++++++----- ⎪⎝⎭ 111111112123499100101102⎛⎫=⨯+++---- ⎪⎝⎭
≈12×2.0435=24.522≈25 故选：D ．
【点睛】
此题主要考查数的规律计算，解题的关键是运用已知的运算公式变形求解．
21．C
【分析】
类比题目中所给的解题方法解答即可．
【详解】
解：设a=1+5+52+53+ (52013)
则5a=5（1+5+52+53+…+52013）=5+52+53+…+52013+5201
解析：C
【分析】
类比题目中所给的解题方法解答即可．
【详解】
解：设a =1+5+52+53+ (52013)
则5a =5（1+5+52+53+…+52013）=5+52+53+…+52013+52014，
∴5a -a =（5+52+53+…+52013+52014）-（1+5+52+53+…+52013）=52014-1，
即a =2014514
-． 故选：C ．
【点睛】
本题是阅读理解题，类比题目中所给的解题方法是解决问题的基本思路．
22．A
【分析】
仔细观察，探索规律可知：22020+22019+22018+…+2+1=（22021-1）÷（2-1），依此计算即可求解．
【详解】
解：观察所给等式得出如下规律：
变形得
令其x=
解析：A
【分析】
仔细观察，探索规律可知：22020+22019+22018+…+2+1=（22021-1）÷（2-1），依此计算即可求解．
【详解】
解：观察所给等式得出如下规律：
211(1)(1)1n n n n x x x x x x --+-++++=-…… 变形得121111
n n n n x x x x x x +---++++=-…… 令其x =2，n =2020得
22020+22019+22018+…+2+1=
=（22021-1）÷（2-1）
=22021-1，
∵2n 的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环，且2020÷4=505，
∴22020的个位数字是6，
∴22021的个位数字为2，
∴22021-1的个位数字是1，
∴22020+22019+22018+…+2+1的个位数字是1．
故选：A ．
【点睛】
此题考查了多项式的乘法，乘方的末位数字的规律，注意从简单情形入手，发现规律，是解决问题的关键．
23．A
【分析】
根据数字间的规律探索列式计算
【详解】
解：由题意可得：T1=，
T2=，
T3=
∴Tn=
∴T2021=
∴S2021=T1+T2+T3++T2021
=
=
=
=
=
=
=
解析：A
【分析】
根据数字间的规律探索列式计算
【详解】
解：由题意可得：T 1312+1=212⨯⨯，
T 2723+1=623⨯⨯，
T 31334+1=1234⨯=⨯
∴T ()()
1+11n n n n ++ ∴T 2021=20212022+120212022
⨯⨯ ∴S 2021=T 1+T 2+T 3+⋯+T 2021 =
371320212022+1+++ (261220212022)
⨯+⨯ =11111++1++1++...1+261220212022
+⨯ =11112021++++...+261220212022
⨯ =11112021++++...+12233420212022⨯⨯⨯⨯ =11111112021+1++...+22334
20212022⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭ =12021+12022⎛⎫-
⎪⎝⎭ =202120212022
故选：A ．
【点睛】
本题考查实数数字类的规律探索，探索规律，准确计算是解题关键．
24．C
【解析】
∵ ，
∴提取公因式，得
，
将方程变形，得
，
提取公因式，得
，
移项，合并同类项，得
，
系数化为1，得
x=.
故选C.
解析：C
【解析】 ∵
13153520052007
x x x x ++⋯+⨯＝ ， ∴提取公因式，得 1111()13153520052007
x ++⋯+⨯＝， 将方程变形，得
11111111[(1)()...()]123235220052007
x -+-++-= ， 提取公因式，得
11111(1)1233520052007
x -+-⋯+-＝， 移项，合并同类项，得
1(1)122007
x -＝， 系数化为1，得 x=
20071003
. 故选C. 25．A
【分析】
设4a 的十位数字是m ，个位数字是n ，根据“铺地锦”的计算方法，把方格填完整，再列出三元一次方程组，即可求解．
【详解】
设4a的十位数字是m，个位数字是n，
由题意可知，方格里的数字，
解析：A
【分析】
设4a的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的计算方法，把方格填完整，再列出三元一次方程组，即可求解．
【详解】
设4a的十位数字是m，个位数字是n，
由题意可知，方格里的数字，如图所示，
∴
2
116
410
m a a
n a
a m n
+=+
⎧
⎪
+=-+
⎨
⎪=+
⎩
，解得：
2
8
7
m
n
a
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
∴a的值为：7．
故选A．
【点睛】
本题主要考查三元一次方程组的应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键．。