函--数----解题方法、易考题型、易误点及应试技巧总结共11页word资料

函 数----解题方法、易考题型、易误点及应试技巧总结
一．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中
0,0x a >>且1a ≠，三角形中0A π<<, 最大角3π≥
，最小角3
π
≤等。

如 （1）函数
lg 3y x =
-的定义域是____
(答：(0,2)(2,3)(3,4)U U )；
（2）若函数27
43
kx y kx kx +=
++的定义域为R ，则k ∈_______
(答：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭
)；
（3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________
(答：[,]a a -)；
（4）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围
（答：①1a >；②01a ≤≤）
2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。

3．复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。

如
（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________
（答：{}
42|≤≤x x ）；
（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________
（答：[1,5]）．
二．求函数值域（最值）的方法：
1．配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如
（1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域
（答：[4,8]）；
（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___
（答：2
1
-≥a ）；
（3）已知()3(24)x b f x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x f x --=-的值域为______
（答：[2, 5]）
2．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如 （1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____
（答：17
[4,]8
-）；
（2）21y x =++_____
（答：(3,)+∞）
（3）sin cos sin cos y x x x x =++g 的值域为____
（答：1
[1,2
-+）；
（4）4y x =+____
（答：4]）；
3．函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如
求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x x y =+，2sin 1
1cos y θθ
-=
+的值域 （答： 1(,]2-∞、（0,1）、3
(,]2
-∞）；
4．单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如
求1(19)y x x x =-<<，22
9
sin 1sin y x x
=++，532log x y -=+ （答：80(0,)9、11
[,9]2
、[2,10]）；
5．数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如
（1）已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2
y
x +及2y x -的取值范围
（答：[、[）；
（2）求函数y =
（答：[10,)+∞）；
（3）求函数y y =的值域
（答：)+∞、(）
注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x 轴的同侧。

6．判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
①2
b
y k x =
+型，可直接用不等式性质，如 求2
3
2y x =+的值域
（答：3
(0,]2
）
②2
bx
y x mx n
=
++型，先化简，再用均值不等式，如 （1）求2
1x
y x =+的值域
（答：1
(,]2
-∞）；
（2）
求函数3
y x =
+的值域 （答：1
[0,]2
）
③22x m x n y x mx n
''++=++型，通常用判别式法；如
已知函数232
8log 1
mx x n
y x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值 （答：5m n ==）
④2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如
求211
x x y x ++=+的值域
（答：(,3][1,)-∞-+∞U ）
7．不等式法
――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

如
设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2
12
21)(b b a a +的取值范围是__.
（答：(,0][4,)-∞+∞U ）。

8．导数法――一般适用于高次多项式函数，如
求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。

（答：－48）
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？ （2）函数的最值与值域之间有何关系？
三．分段函数的概念。

分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来
表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。

在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是
其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。

如
（1）
设函数2
(1).(1)
()41)
x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是__
（答：(,2][0,10]-∞-U ）；
（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩
，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集_____
（答：3
(,]2
-∞）
四．求函数解析式的常用方法：
1．待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：
2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，
要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。

如
已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。

（答：2
1()212
f x x x =
++） 2．代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。

如
（1）已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2x f 的解析式
（答：242()2,[f x x x x =-+∈）；
（2）若221
)1(x
x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____
（答：223x x -+）；
（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________
（答：(1x -）.
这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。

3．方程的思想――已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

如 （1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式
（答：2
()33
f x x =--）；
（2）已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g = 1
1
-x ,则()f x = _
（答：21
x
x -）。

五．反函数：
1．存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y 值，都有唯一的x 值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；周期函数一定不存在反函数。

如
函数223y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是
A 、(],1a ∈-∞
B 、[)2,a ∈+∞
C 、[1,2]a ∈
D 、(],1a ∈-∞U [)2,+∞
（答：D ）
2．求反函数的步骤：①反求x ；②互换 x 、y ；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。

注意函数(1)y f x =+的反函数不是1(1)y f x -=+，而是1()1y f x -=-。

如
设)0()1(
)(2
>+=x x
x x f .求)(x f 的反函数)(1
x f -
（答：1()1)
f x x -=
>）． 3．反函数的性质：
①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。

如 单调递增函数)(x f 满足条件)3(+ax f = x ，其中a ≠ 0 ，若)(x f 的反函数)(1x f -的
定义域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡a a 4,1 ，则)(x f 的定义域是____________
（答：[4,7]）.
②函数()y f x =的图象与其反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，注意函数()y f x =的图象与1()x f y -=的图象相同。

如
（1）已知函数()y f x =的图象过点(1,1),那么()4f x -的反函数的图象一定经过点_
（答：（1,3））；
（2）已知函数1
3
2)(-+=x x x f ，若函数()y g x =与)1(1
+=-x f y 的图象关于直线x
y =对称，求(3)g 的值
（答：
72
）； ③1()()f a b f b a -=⇔=。

如
（1）已知函数)24
(log )(3+=x
x f ，则方程4)(1=-x f 的解=x ______
（答：1）；
（2）设函数f (x )的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数1()f x -，f (4)＝0，则1(4)f -＝
（答：－2）
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。

如
已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图象上，()1f x -是它的反函数，那么不等式()12log 1f x -<的解集为________
（答：（2,8））；
⑤设()f x 的定义域为A ，值域为B ，则有1[()]()f f x x x B -=∈，1[()]f f x x -= ()x A ∈，但11[()][()]f f x f f x --≠。

六．函数的奇偶性。

1．具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

如
若函数)(x f 2sin(3)x θ=+，[25,3]x απα∈-为奇函数，其中)2,0(πθ∈，则θα-的值是
（答：0）；
2．确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：如判断函数
y =
的奇偶性____（答：奇函数）。

②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()
1()
f x f x -=±（()0f x ≠）。

如 判断11
()(
)212
x
f x x =+-的奇偶性___.（答：偶函数） ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。

3．函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.如
若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)3
1
(f =2，则不等式
2)(log 8
1>x f 的解集为______.
（答：(0,0.5)(2,)+∞U ）
④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。

如
若22
()21
x x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____（答：1）.
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。

如
设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()()2
f x f x F x +-=，()()
()2f x f x G x --=。

①判
断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②若将函数)110lg()(+=x
x f ，表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝____
（答：①)(x F 为偶函数，)(x G 为奇函数；②)(x g ＝1
2
x ）
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 七．函数的单调性。

1．确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，请注意两者的区别所在。

如
已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____
(答：(0,3]）)；
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0b
y ax a x
=+>
0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)-∞+∞，减区间为
[.如 （1）若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______
(答：3-≤a ）)；
（2）已知函数1
()2
ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____
（答：1
(,)2
+∞）；
（3）若函数()()log 40,1a a f x x a a x ⎛⎫
=+->≠ ⎪⎝⎭
且的值域为R ，则实数a 的取值范围
是______
(答：04a <≤且1a ≠）)；
③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如 函数()
212
log 2y x x =-+的单调递增区间是________
(答：（1,2）)。

2．特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间
(,]2
a
-∞上为减函数，求a 的取值范围（答：(1,）；二是在多个单调区间之间不
一定能添加符号“U ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
3．你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实
数m 的取值范围。

（答：12
23
m -<<）
八．常见的图象变换
1．函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的。

如
设()2,()x f x g x -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称，()h x 的图像由()g x 的图像向右平移1个单位得到，则()h x 为__________
(答： 2()log (1)h x x =--)
2．函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的。

如
（1）若2(199)443f x x x +=++，则函数()f x 的最小值为____
(答：2)；
（2）要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到
(答：y ；右)；
（3）函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有____个
(答：2)
3．函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；
4．函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的；如
将函数a a
x b
y ++=
的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么
(答：C)
5．函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a
1
得到
的。

如
（1）将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的1
3
（纵坐标不变），再将此
图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____
(答：(36)f x +)；
（2）如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______
(答：1
2
x =-)．
6．函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的.
九．函数的对称性。

1．满足条件()()f x a f b x -=-的函数的图象关于直线2
a b
x +=对称。

如
已知二次函数)0()(2
≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，则)(x f ＝_____
(答：21
2
x x -+)；
2．点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=；
3．点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=；
4．点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；
5．点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点为((),)y a x a ±-±+；曲线(,)0f x y =关于直线y x a =±+的对称曲线的方程为((),)0f y a x a ±-±+=。

特别地，点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ；曲线(,)0f x y =关于直线y x =的对称曲线的方程为(,)f y x
0=；点(,)x y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x --；曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对称曲线的方程为(,)0f y x --=。

如
己知函数33
(),()232
x f x x x -=
≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是___________
（答：2
21
x y x +=-+）；
6．曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=。

如 若函数x x y +=2与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______ （答：276x x ---）
7．形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c
=-(由
分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c
-。

如
已知函数图象C '与2:(1)1C y x a ax a ++=++关于直线y x =对称，且图象C '关于点（2，－3）对称，则a 的值为______
（答：2）
8．|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到。

如
（1）作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象；
（2）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称
（答：y 轴）
提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像1C 与2C 的对称性，需证两方面：①证明1C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在2C 上；②证明2C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在1C 上。

如
（1）已知函数)(1)(R a x
a a
x x f ∈--+=。

求证：函数)(x f 的图像关于点(,1)M a -成中
心对称图形；
（2）设曲线C 的方程是x x y -=3,将C 沿x 轴, y 轴正方向分别平行移动,t s 单位长度后得曲线1C 。

①写出曲线1C 的方程
（答：3()()y x t x t s =---+）；②证明曲线C 与1C 关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛2,2s t A 对称。

十．函数的周期性。

1．类比“三角函数图像”得：
①若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；
②若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；
③如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；
如已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根（答：5）
2．由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”得：
①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数；
②若1
()(0)()f x a a f x +=
≠恒成立，则2T a =； ③若1
()(0)()
f x a a f x +=-
≠恒成立，则2T a =. 如(1) 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____
(答：5.0-)；
(2)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为________
_(答：(sin )(cos )f f αβ>)；
（3）已知()f x 是偶函数，且(1)f =993，()g x =(1)f x -是奇函数，求(2005)f 的值
(答：993)；
（4）设()f x 是定义域为R 的函数，且()()21f x f x +-⎡⎤⎣⎦()1f x =+，又
(
)22f =，则()2006f =
(
答：
2
2
) 十一．指数式、对数式：
m n
a =1m n
m
n
a
a -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)
b a a N N b a a N =⇔=>≠>，log a N a N =，log log log
c a c b b a
=， log log m n a a n
b b m
=。

如
（1）235log 25log 4log 9g g 的值为________
(答：8)；
（2）2
log
1()
2
的值为________
(答：
164
) 十二．指数、对数值的大小比较：
（1）化同底后利用函数的单调性； （2）作差或作商法； （3）利用中间量（0或1）；
（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。

十三．抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些
条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。

求解抽象函数问题的常用方法是：
1．借鉴模型函数进行类比探究。

几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；
②幂函数型：2()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()
()()
x f x f y f y =；
③指数函数型：()x f x a = ------------()()()f x y f x f y +=，()
()()
f x f x y f y -=；
第 11 页 ④对数函数型：()log a f x x = -----()()()f xy f x f y =+，()()()x f f x f y y
=-； ⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()()1()()
f x f y f x y f x f y ++=-。

如已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2
(T f ____（答：0） 2．利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如
（1）设函数()()f x x N ∈表示x 除以3的余数，则对任意的,x y N ∈，都有
A 、(3)()f x f x +=
B 、()()()f x y f x f y +=+
C 、(3)3()f x f x =
D 、()()()f xy f x f y =
（答：A ）；
（2）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如果2
3lg )1(=f ，15lg )2(=f ，求)2001(f （答：1）；
（3）如设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴；
（4）已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，且当2>x 时，)(x f 单调递增。

如果421<+x x ，且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值的符号是____
（答：负数）
3．利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。

如
（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，则()f x 的奇偶性是______
（答：奇函数）；
（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性是______
（答：偶函数）；
（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当
03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不等式
()cos 0f x x <g 的解集是_____________ （答：(,1)(0,1)(,3)22ππ
--U U ）； （4）设()f x 的定义域为R +，对任意,x y R +∈，都有()()()x f f x f y y
=-，且1x >时，()0f x <，又1()12
f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-. （答：(][)0,14,5U ）．。