【高中教育】高中数学 模块综合检测 新人教A版选修2-3.doc

模块综合检测
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2015·福州市八县高二期末)某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为y^＝
5
x＋a^，若某儿童记忆能力为12，则他的识图能力为( )
A．9.2 B．9.8
C．9.5 D．10
[答案] C
[解析] ∵x－＝1
4
(4＋6＋8＋10)＝7；y－＝
1
4
(3＋5＋6＋8)＝5.5，
∴样本的中心点坐标为(7,5.5)，
代入回归方程得：5.5＝4
5
×7＋a^，
∴a^＝－0.1.
∴y^＝0.8x－0.1，
当x＝12时，y^＝0.8×12－0.1＝9.5，故选C．
2．若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
[答案] A
[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 4＝(2＋3)4， 令x ＝－1，
a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4.
所以，(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(2＋3)4(－2＋3)4＝1.
3．一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )
A ．C 1012
⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭
⎪⎫582
B ．
C 912
⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238
C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭
⎪⎫382
D ．C 911
⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭
⎪⎫582
[答案] D
[解析] “X ＝12”表示第12次取到的球为红球，前11次中有9次取到红球，2次取到白球，
∴P (X ＝12)＝C 911
(38)9·(58)2·3
8 ＝C 911
(38)10·(58
)2
，故选D ． 4．随机变量ξ的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋1
(n ＝1、2、3、4)，
其中a 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫9
4
<X <134的值为( )
A ．2
3 B ．3
4
C ．45
D ．
516
[答案] D
[解析] 因为P (X ＝n )＝
a n n ＋1
(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a
20
＝1，
所以a ＝5
4
.
因为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫9
4<X <134＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝54×16＋54×112＝516，故选D ．
5．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率( )
A ．(2,4]
B ．(0,2]
C ．[－2,0)
D ．(－4,4]
[答案] C
[解析] 此正态曲线关于直线x ＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．
6.(2015·四川理，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A ．144个
B ．120个
C ．96个
D ．72个
[答案] B
[解析] 据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有2×A 34个；若万位
上排5，则有3×A 34个．所以共有2×A 34＋3×A 3
4＝5×24＝120个．选B ．
7．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)、(11.3,2)、(11.8,3)、(12.5,4)、(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)、(11.3,4)、(11.8,3)、(12.5,2)、(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )
A ．r 2<r 1<0
B ．0<r 2<r 1
C ．r 2<0<r 1
D ．r 2＝r 1
[答案] C
[解析] 画散点图，由散点图可知X 与Y 是正相关，则相关系数r 1>0，U 与
V 是负相关，相关系数r 2<0，故选C ．
8．设随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则D X2
E X2
等于( )
A．p2B．(1－p)2
C．1－p D．以上都不对
[答案] B
[解析] 因为X～B(n，p)，(D(X))2＝[np(1－p)]2，(E(X))2＝(np)2，所以
D X2
E X2＝
[np1－p]2
np2
＝(1－p)2.故选B．
9．(2013·大庆实验中学高二期中)把15个相同的小球放入编号为1、2、3
的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数大于它的编号数，则不同的放法种数是( )
A．56 B．72
C．28 D．63
[答案] C
[解析] 先给1号盒子放入1球，2号盒子放入2球，3号盒子放入3球，再将剩余9个小球排成一列，之间形成8个空档，从中任意选取2个空档用插板
隔开，依次对应放入1、2、3号盒子中，则不同放法种数为C2
8
＝28种．10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：
性别与读营养说明列联表
)
A．99%的可能性B．99.75%的可能性
C ．99.5%的可能性
D ．97.5%的可能性
[答案] C
[解析] 由题意可知a ＝16，b ＝28，c ＝20，d ＝8，a ＋b ＝44，c ＋d ＝28，
a ＋c ＝36，
b ＋d ＝36，n ＝a ＋b ＋
c ＋
d ＝72，
代入公式K 2＝
n ad －bc 2a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
得K 2＝
72
16×8－28×202
44×28×36×36
≈8.42，
由于K 2≈8.42>7.879，
我们就有99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有99.5%的可能是有关系的．
11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
23，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，1
C ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，23
D ．⎝
⎛
⎭⎪⎫0，13
[答案] B
[解析] 4个引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4,
2个引擎飞机成功
飞行的概率为p 2，要使C 34p 3(1－p )＋p 4>p 2
，必有13
<p <1.
12. 如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A ．400种
B ．460种
C ．480种
D ．496种
[答案] C
[解析] 涂A 有6种涂法，B 有5种，C 有4种，因为D 可与A 同色，故D 有4种，∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有6×5×4×4＝480种，故选C ．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝1.1，则D (X )＝________.
[答案] 0.49
[解析] p ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋310＝1
2，E (X )＝1.1＝0×15＋1×12＋310x ，解得x ＝2，所
以D (X )＝15×(0－1.1)2＋12×(1－1.1)2＋3
10
×(2－1.1)2＝0.49.
14．(2015·山东理，11)观察下列各式：
C 01＝40
； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；
……
照此规律，当n ∈N *时，
C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________.
[答案] 4n －1
[解析] 第n 个等式左边是n 项组合数的和，组合数C k m 的构成规律是下标为
m ＝2n －1，上标k 的取值依次从0到n －1，即C 02n －1＋C 12n －1＋…＋C n －1
2n －1，等式右边
为4n －1.
故由归纳推理的思想得：
C0 2n－1＋C1
2n－1
＋C2
2n－1
＋…＋C n－1
2n－1
＝4n－1，所以答案应填4n－1.
15．(2015·辽宁葫芦岛市一模)给出如下四个结论：
①若随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)且P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤－2)＝0.16；
②∃a∈R＋，使得f(x)＝－x2－x＋1
e x
－a有三个零点；
③设线性回归方程为y^＝3－2x，则变量x每增加一个单位时，y平均减少2个单位；
④若命题p：∀x∈R，e x>x＋1，则綈p为真命题；
以上四个结论正确的是________.(把你认为正确的结论都填上)
[答案] ①③④
[解析] 由正态分布曲线得P(ξ≤－2)＝P(ξ≥4)＝1－P(ξ≤4)＝0.16，
①正确；令g(x)＝－x2－x＋1
e x
，得g′(x)＝
x2－x－2
e x
，当x∈(－∞，－1)时，g′
(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(－1,2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，得g(x)极大值＝g(－1)＝e，g(x)极小值＝g(2)
＝－5e－2，且g(－1
2
±
5
2
)＝0，x→＋∞时，g(x)<0，∴g(x)的图象如图所示
故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当x＝0时，e0>1错误，故p为假命题，綈p为真命题，④正确．
16．(2014·山东青岛质检)平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，
此外再没有三点共线，则共可确定________________条直线；共可确定________个三角形．
[答案] 36；110
[解析] 设10个点分别为A1、A2、…、A10，其中A1、A2、…、A5共线，A i(i ＝1,2，…，5)与A6、A7、…、A10分别确定5条直线，共25条；
A
、A2、…、A5确定1条；
1
A
、A7、…、A10确定C25＝10条，
6
故共可确定36条直线．
在A1、A2、…、A5中任取两点，在A6、A7、…、A10中任取一点可构成C25C15＝50个三角形；
在A1、A2、…、A5中任取一点，在A6、A7、…、A10中任取两点可构成C15C25＝50个三角形；
在A6、A7、…、A10中任取3点构成C35＝10个三角形，故共可确定50＋50＋10＝110个三角形．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人．
(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？
(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？
[解析] (1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可换位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．
(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．
18．(本题满分12分)已知(x－
1
2x
)n的展开式中，前三项系数的绝对值依
次成等差数列．
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中所有整式项．
[解析] (1)T r＋1＝C r n·(x)n－r·(
1
2x
)r·(－1)r，
∴前三项系数的绝对值分别为C0n，1
2
C1n，
1
4
C2n，
由题意知C1n＝C0n＋1
4
C2n，
∴n＝1＋1
8
n(n－1)，n∈N*，
解得n＝8或n＝1(舍去)，
∴T k＋1＝C k8·(x)8－k·(－
1
2x
)k
＝C k
8·(－
1
2
)k·x4－k,0≤k≤8，
令4－k＝0得k＝4，
∴展开式中的常数项为T5＝C48(－1
2
)4＝
35
8
.
(2)要使T k＋1为整式项，需4－k为非负数，且0≤k≤8，∴k＝0,1,2,3,4.
∴展开式中的整式项为：x4，－4x3,7x2，－7x，35 8
.
19．(本题满分12分)(2013·湖北理，20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
(1) 求p0的值；
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，
P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.)
(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？
[解析] (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50，
P (700<X ≤900)＝0.9544. 由正态分布的对称性，可得
p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900) ＝12＋1
2
P (700<X ≤900)＝0.9772. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x 、y 辆，则相应的营运成本为1600x ＋2400y 依题意，x 、y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0
由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.
于是问题等价于求满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋y ≤21，
y ≤x ＋7，
36x ＋60y ≥900，
x ，y ≥0，x ，y ∈N .
且使目标函数z ＝1600x ＋2400y 达到最小的x ，y .
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，
R (15,6)．
由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上截距
z 2400
最小，即z 取得最小值．
故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．
20．(本题满分12分)(2014·沈阳市质检)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.
(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并
判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
(参考公式：K2＝
a ＋
b c＋d a＋
c b＋d
)
[解析] (1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3
个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果
组成的基本事件有C2
5
＝10个，
“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有C1
3C1
2
＋C2
2
＝7个，所以
P＝7
10
.
(2)
K2＝406×6
20×20×20×20
＝6.4>5.024，
因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．
21．(本题满分12分)(2013·福建理，16)某联欢晚会举行抽奖活动，举办
方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2
3
，中奖可以获得2分；方案
乙的中奖率为2
5，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖
机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
[解析] (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为2
5，且两人
中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，
则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件， 因为P (X ＝0)＝(1－23)×(1－25)＝1
5
，
P (X ＝2)＝23×(1－25)＝25
， P (X ＝3)＝(1－23)×25＝2
15
，
所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝11
15，
即这2人的累计得分X ≤3的概率为
1115
. (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1、X 2的分布列如下：
所以E (X 1)＝0×19＋2×9＋4×9＝3
，
E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125
. 因为E (X 1)>E (X 2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
22．(本题满分14分)(2015·商丘市二模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是13、2
3
.
(1)分别求出小球落入A 袋和B 袋中的概率；
(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B 袋中的小球个数，求
ξ的分布列和数学期望．
[解析] (1)记“小球落入A 袋中”为事件M ，“小球落入B 袋中”为事件N ，则事件M 的对立事件为事件N .
而小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下， 故P (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1
27＋827＝13， 从而P (N )＝1－P (M )＝1－13＝2
3
.
(2)显然，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.
且ξ～B ⎝
⎛
⎭⎪⎫4，23.
故P (ξ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1
81， P (ξ＝1)＝C 14
⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝881
，
P (ξ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫
232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132
＝
827， P (ξ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭
⎪⎫233×⎝ ⎛⎭
⎪⎫131
＝
3281
， P (ξ＝4)＝C 44
⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1681
.
则ξ的分布列为
故ξ的数学期望为E (ξ)＝4×3＝3.。