最新北师大版选修2-2高考数学4.2《微积分基本定理》ppt课件

−
2 3
×
1
+
2
×
1
= 230.
(3)∵cos
������-
π 6
= 23cos x+12sin x,
| | ∴ π
=
3 2
πcos
3
������-
π 6
dx=
π
π 3
π
πcos
3
xdx+12
π πsin
3
3 2
cos������
+
1 2
sin������dxxd来自=23sinx
π
π 3
−
12cos
的值.
2.求复杂函数的定积分要依据定积分的性质.
典例提升 2
求下列定积分:
(1)
-1 -2
(2+x2)2dx;
(2)
4 1
������+������1dx;
(3)
π πcos
3
������-
π 6
dx.
思路分析:将被积函数适当变形,确定原函数,再运用微积分基本定理求
解.
探究一
探究二
探究三
解:(1)∵(x2+2)2=x4+4x2+4,
探究一
探究二
探究三
解:(1)∵(x3)'=3x2,∴x2=
1 3
������
3
',
∴F(x)=13x3+c(c 为常数).
(2)∵(cos x)'=-sin x,
∴sin x=(-cos x)',
∴F(x)=-cos x+c(c 为常数).
(3)∵(ln x)'=1������, ∴F(x)=ln x+c(c 为常数).
������
=F(b)-F(a).
������
温馨提示
1.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供
了计算定积分的一种有效方法.但当运用公式不能直接求积分时,需考虑用
定积分的几何意义来解决.
2.利用微积分基本定理求定积分
������ ������
f(x)dx
的关键是找出使
F'(x)=f(x)的
又
1 5
������5
+
4 3
������3
+
4������
'=x4+4x2+4,
| ∴
-1 -2
(2+x2)2dx=
-1 -2
(x4+4x2+4)dx=
1 5
������5
+
4 3
������3
+
4������
-1 -2
=
21953.
(2)∵������+������1 =
������ +
1 ������
������ ������
f(x)dx=F(b)-F(a).
定理中的式子称为牛顿-莱布尼茨公式,通常称 F(x)是 f(x)的一个原函数.
|������
在计算定积分时,常常用符号 F(x) 来表示 F(b)-F(a),于是牛顿-莱布尼茨公
������
| 式也可写作
������ ������
f(x)dx=F(x)
(4)∵(2x)'=2xln 2,
∴2x=
2������ ln2
',
∴F(x)=l2n���2��� +c(c 为常数).
探究一
探究二
探究三
探究二利用微积分基本定理求函数的定积分
1.求
������ ������
f(x)dx
一般分为两步:(1)求
f(x)的原函数
F(x);(2)计算
F(b)-F(a)
函数 F(x).通常,我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算
法则从反方向求出 F(x). 3.求导运算与求原函数运算互为逆运算.
做一做
定积分
1 0
(2x+ex)dx
的值为(
)
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e-1
解析:因为(x2+ex)'=2x+ex,
所以
1 0
(2x+ex)dx=(x2+ex)|10=(1+e1)-(0+e0)=e.
x
π
π 3
=-
23sin
π 3
−
1 2
cos
π-cos
π 3
=-34
+
1 2
+
14=0.
探究一
探究二
探究三
点评
求导与微积分基本定理在一定程度上可以理解为互为逆运算,它们的 联系就是常见函数的导数公式,所以要熟记这些公式才能更好地解决定积 分问题.
探究一
探究二
探究三
������ ������ 变式训练 1
=
1
������2
+
������-12,又
2 3
3
������2
+
1
2������2
1
'=������2
+
������-12,
| ∴ 4 1
������+������1dx=
4 1
1
(������2
+
������-12)dx=
2 3
3
������ 2
+
1
2������2
4 1
=
2 3
×
3
1
42+2×42
2 3
2 + 29.
∴当 a=23时,f(a)的最大值为29.
探究一
探究二
探究三
探究三几类特殊被积函数的定积分
1.对于直接用微积分基本定理不易求解的题目,转化为用定积分的几
何意义求解,不仅简洁可行,而且充分体现了初等数学与高等数学间的关系,
因此,充分把握定积分的几何意义,也是学好本节内容的关键.
2.对于被积函数是分段函数的定积分,通常是依据定积分“对区间的可
(2)若 f(x)=
������2,������ ≤ 0, 求 cos������-1,������ > 0,
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究一已知导函数求原函数
要求一个函数的原函数,要先预测什么函数的导数会出现关于 f(x)的式子, 再经过调整求出 F(x),而求定积分时,只需求 F(x)中最简单的一个就可以了.
典例提升 1
下列函数 f(x)是 F(x)的导数,求 F(x). (1)f(x)=x2;(2)f(x)=sin x;(3)f(x)=1������;(4)f(x)=2x. 思路分析:先预测某个函数的导数出现 f(x),再对系数进行调整得 F(x).
已知
f(a)=
1 0
(2ax2-a2x)dx,求
f(a)的最大值.
解:∵
1 0
(2ax2-a2x)dx=
2 3
������������3
-
1 2
������2
������
2
|10
=23a-12a2,
∴f(a)=23a-12a2=-12
������2-
4 3
������
+
4 9
+
2 9
=-12
������-
加性”,先分段积分再求和.要注意各段定积分的上、下限的取值区间.
3.对于较复杂的被积函数,要先化简,再求定积分.若是计算
������ ������
|f(x)|dx,
需要去掉绝对值符号,这时要讨论 f(x)的正负,转化为分段函数求定积分.
探究一
探究二
探究三
典例提升 3
求下列定积分.
(1)
3 -2
16 + 6������-������2dx;
§4.2 微积分基本定理
学习目标
思维脉络
1.通过实例能直
观了解微积分基本定
理.
2.能利用微积分基本
定理求基本函数的定
积分.
3.了解导数与定积分
的关系. 4.能在具体的应用中
体会微积分基本定理
的作用和意义.
微积分基本定理
微积分基本定理:如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数,即 f(x)=F'(x),则有