【解析】江西省三校(吉水中学、崇仁一中、南城一中)2016届高三上学期第一次联考数学试卷(理科) Word版

2015-2016学年江西省三校（吉水中学、崇仁一中、南城一中）高三（上）第一次联考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x∈N|x2﹣2x≤0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数为( )
A．3 B．4 C．7 D．8
2．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．执行如图所示的程序框图，则输出的n值为( )（注：“n=1”，即为“n←1”或为“n：=1”．）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知正项等差数列{a n}满足a1+a2014=2，则+的最小值为( )
A．1 B．2 C．2013 D．2014
5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )
A．B．C．D．
6．关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集为空集，则实数a的取值范围是( ) A．（﹣1，0）B．（﹣1，2）C．[﹣1，0]D．[﹣1，2）
7．设n=4sinxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项是( )
A．12 B．6 C．4 D．1
8．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数为a i（i=1，2，…n）的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( )
A．48 B．120 C．144 D．192
9．（理）已知函数g（x）=1﹣cos（x+2ψ）（0＜ψ＜）的图象过点（1，2），若有4个
不同的正数x i满足g（x i）=M，且x i＜8（i=1，2，3，4），则x1+x2+x3+x4等于( ) A．12 B．20 C．12或20 D．无法确定
10．已知、、均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是( ) A．1+2B．3+C．2+D．2+2
11．如图，已知双曲线﹣=1（a，b＞0）的左右焦点分别为F1F2，|F1F2|=2，P是双曲
线右支上的一点，PF1⊥PF2，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆半径为，则双曲线的离心率是( )
A．B．C．D．2
12．已知函数y=f（x）定义域为（﹣π，π），且函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，当x∈（0，π）时，f（x）=﹣f′（）sinx﹣πlnx，（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f （30.3），b=f（logπ3），c=f（log），则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．若实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数
m=__________．
14．已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是__________．
15．4cos50°﹣tan40°=__________．
16．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2m）=0；
②存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
③函数f（x）的值域为[0，+∞）；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）
17．已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|﹣＜x≤2}．
（1）A，B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，试说明理由？
（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．高考数学考试中有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“在每小题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分”．某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有8道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．试求出该考生的选择题：
（Ⅰ）得60分的概率；
（Ⅱ）得多少分的概率最大？
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．
（1）证明AD⊥平面PAB；
（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；
（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．
20．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，
其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．
21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：
．
选修4-1：几何证明选讲
22．如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．（1）证明：PA=PD；
（2）求证：PA•AC=AD•OC．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为
（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．
选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|
（1）求使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围．（2）∃x0∈R，使f（x0）＜a，求实数a的取值范围．
2015-2016学年江西省三校（吉水中学、崇仁一中、南城一中）高三（上）第一次联考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x∈N|x2﹣2x≤0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数为( )
A．3 B．4 C．7 D．8
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B的并集确定出B的个数即可．
【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，x∈N，即A={0，1，2}，
∵A∪B={0，1，2}，
∴B可能为{0}；{1}；{2}；{0，1}；{0，2}；{1，2}；{0，1，2}，∅共8个．
故选：D．
【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
2．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】根据复数的几何意义，先将复数进行化简，即可得到结论．
【解答】解：∵z====，
∴复数z在复平面内对应的点（）位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，根据复数的四则运算是解决本题的关键，比较基础．3．执行如图所示的程序框图，则输出的n值为( )（注：“n=1”，即为“n←1”或为“n：=1”．）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】由框图的流程依次求得其运行的结果，直到满足条件S＜0，求出输出的n值．【解答】解：由程序框图知第一次运行第一次运行S=100﹣2，n=2；
第二次运行S=100﹣2﹣22，n=3；
第三次运行S=100﹣2﹣22﹣23，n=4；
第四次运行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24，n=5；
第五次运行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24﹣25=38，n=6；
第六次运行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24﹣25﹣26=﹣26＜0，n=7，满足条件s＜0，程序运行终止，输出n=7．
故选D．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，判断程序运行的功能是关键．
4．已知正项等差数列{a n}满足a1+a2014=2，则+的最小值为( )
A．1 B．2 C．2013 D．2014
【考点】等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的性质结合已知求得a2+a2013=2，进一步得到，则+=（）（+），然后利用基本不等式求最值．
【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，则a2+a2013=a1+a2014=2，
∴，
又a n＞0，
则+=（）（+）
=1+．
上式当且仅当a2=a2013=1时取“=”．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查了基本不等式求最值，是基础题．
5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )
A．B．C．D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】规律型．
【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．
【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间三视图的识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键．比较基础．
6．关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集为空集，则实数a的取值范围是( ) A．（﹣1，0）B．（﹣1，2）C．[﹣1，0]D．[﹣1，2）
【考点】绝对值三角不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，其最小值等于1，再由a2+a+1＜1，解得a
的取值范围．
【解答】解：|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，其最小值等于1，
由题意|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集为空集，可得|x﹣1|+|x﹣2|＞a2+a+1恒成立，
故有1＞a2+a+1，解得﹣1＜a＜0，
故选A．
【点评】本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，得到1＞a2+a+1，是解题的关键，属于中档题．
7．设n=4sinxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项是( )
A．12 B．6 C．4 D．1
【考点】二项式定理的应用；定积分．
【专题】计算题；函数思想；转化法；二项式定理．
【分析】根据定积分的公式求出n的值，再根据二项式展开式的通项公式求出展开式的常数项．
【解答】解：∵n=4sinxdx=﹣4cosx=﹣4（cos﹣cos0）=4，
∴二项式（x﹣）4展开式的通项公式为
T r+1=•x4﹣r•=（﹣1）r••x4﹣2r；
令4﹣2r=0，解得r=2，
∴展开式的常数项是T2+1=（﹣1）2•=6．
故选：B．
【点评】本题考查了定积分的计算问题，也考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题目．
8．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数为a i（i=1，2，…n）的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( )
A．48 B．120 C．144 D．192
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据8和7的特点得到8和7的位置，题目转换为数列123456 保证5的顺序数是3就可以，分两种情况讨论，6在5前面，此时5一定在第5位，除6外前面有3个数，6在5后面，此时5一定在第4位上，6在后面两个数字上，根据分类原理得到结果．
【解答】解：由题意知8一定在第三位，前面有几位数，顺序数就为几而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大，7一定在第五位，因为前面除了8以外所有数都比他小现在对其他数的顺序数没有影响，
∵在8后面又比其他数小∴这两个可以不管可以把题转换为数列123456 保证5的顺序数是3就可以了，
∴分两种情况6在5前面，此时5一定在第7位，除6外前面有3个数，故有4×4×3×2×1=96种6在5后面，此时5一定在第6位上，6在后面两个数字上，故有2×4×3×2×1=48∴共有96+48=144种结果，
故选C．
【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．
9．（理）已知函数g（x）=1﹣cos（x+2ψ）（0＜ψ＜）的图象过点（1，2），若有4个
不同的正数x i满足g（x i）=M，且x i＜8（i=1，2，3，4），则x1+x2+x3+x4等于( ) A．12 B．20 C．12或20 D．无法确定
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦函数的图象．
【专题】计算题．
【分析】先由g（x）过点（1，2），求得φ，进而求得函数g（x），再由g（x）=M 在两个周期之内有四个解，则在一个周期内必有两个解，表示出四个解来相加可得．
【解答】解：因为：函数g（x）=1﹣cos（x+2ψ）（0＜ψ＜）的图象过点（1，2），∴1﹣cos（+2φ）=2，
∴sin2φ=1，
∴φ=
∴g（x）=1﹣cos（x+）=1+sin x．
∵g（x）=M 在两个周期之内竟然有四个解，
∴sin x=1﹣M在一个周期内有两个解
当1﹣M＞0时，四个根中其中两个关于x=11对称，另两个关于x=5对称，故其和为
2×1+5×2=12．
当1﹣M＜0时，四个根中其中两个关于x=3对称，另两个关于x=7对称，故其和为
2×3+7×2=20．
综上得：x1+x2+x3+x4=12或20．
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性及三角方程有多解的特性，但都有相应的规律，与周期有关．
10．已知、、均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是( ) A．1+2B．3+C．2+D．2+2
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】先求得（++）•（+）=2+•（2+），再根据|2+|=，||=1，利用两个向量的数量积的定义求得（++）•（+）的最大值．
【解答】解：∵、、均为单位向量，且满足•=0，
则（++）•（+）=+++++=1+0+2++1
=2+2+=2+•（2+），
又|2+|=，
∴2+•（2+）=2+1××cos＜，2+＞，
故当＜，2+＞=0时，（++）•（+）取得最大值为2+，
故选：C．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量数量积的定义，属于中档题．
11．如图，已知双曲线﹣=1（a，b＞0）的左右焦点分别为F1F2，|F1F2|=2，P是双曲
线右支上的一点，PF1⊥PF2，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆半径为，则双曲线的离心率是( )
A．B．C．D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】直角三角形的内切圆半径r===，可得|PF1|﹣|PF2|=，结合|F1F2|=2，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，直角三角形的内切圆半径
r===，
∴|PF1|﹣|PF2|=，
∵|F1F2|=2，
∴双曲线的离心率是e===．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直角三角形内切圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
12．已知函数y=f（x）定义域为（﹣π，π），且函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，当x∈（0，π）时，f（x）=﹣f′（）sinx﹣πlnx，（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f （30.3），b=f（logπ3），c=f（log），则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．
【专题】导数的综合应用．
【分析】由题意可知函数为偶函数，把给出的函数解析式求导后求出的值，代入导函数解析式判断导函数的符号，得到原函数的单调性，由单调性得答案．
【解答】解：由x∈（0，π）时．
所以．
则．
所以当x∈（0，π）时，f′（x）＜0．
则f（x）在x∈（0，π）上为减函数．
因为函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，则函数y=f（x）为偶函数，
因为，而1＜30.3＜2，0＜logπ3＜1．
所以．
所以b＞a＞c．
故选B．
【点评】本题考查了函数的单调性与导函数之间的关系，考查了函数的奇偶性的性质，解答的关键在于判断函数在（0，π）上的单调性，是中档题．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）
13．若实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m=8．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，我们可以画出满足条件的可行域，
根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m 的方程组，消参后即可得到m的取值．
【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：
可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，
故，
解得x=，y=，
代入x﹣y=﹣2得﹣=﹣2⇒m=8
故答案为：8．
【点评】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．
14．已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是（﹣4，﹣2）．
【考点】全称命题；二次函数的性质；指数函数综合题．
【专题】简易逻辑．
【分析】①由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求
②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求
【解答】解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，
又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面
则
∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0
又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0
∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立
∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，
（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，
（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，
（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．
综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．
故答案为：（﹣4，﹣2）．
【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键．
15．4cos50°﹣tan40°=．
【考点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】表达式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°
=
=
=
=
=
=．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．
16．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2m）=0；
②存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
③函数f（x）的值域为[0，+∞）；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”．
其中所有正确结论的序号是①③④．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的值域；抽象函数及其应用．
【专题】规律型．
【分析】依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；利用反证法及2x变化如下：2，4，8，16，32，判断②命题错误；连续利用题中第③个条件得到③正确；据①③的正确性可得④是正确的．
【解答】解：①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，正确；
②f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，﹣=10，又，2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；
③取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2﹣，f（）=…=2m f（）=2m+1﹣x
从而f（x）∈[0，+∞），正确
④根据③的分析容易知道该选项正确；
综合有正确的序号是①③④．
故答案为①③④
【点评】本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．
三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）
17．已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|﹣＜x≤2}．
（1）A，B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，试说明理由？
（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】集合的相等；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题．
【分析】（1）集合相等，转化为元素间的相等关系求解
（2）p⇒q得A⊆B且A≠B，转化为集合的关系求解．
【解答】解：（1）若A=B显然a=0时不满足题意
当a＞0时∴
当a＜0时显然A≠B
故A=B时，a=2
（2）p⇒q得A⊆B且A≠B
0＜ax+1≤5⇒﹣1＜ax≤4
当a=0时，A=R不满足．
当a＞0时，则
解得a＞2
当a＜0时，则
综上p是q的充分不必要条件，实数a的取值范围是a＞2，或a＜﹣8
【点评】本题考查集合间的关系，一般化为元素间的关系求解．
18．高考数学考试中有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“在每小题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分”．某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有8道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．试求出该考生的选择题：
（Ⅰ）得60分的概率；
（Ⅱ）得多少分的概率最大？
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）要得60分，必须12道选择题全答对，依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，由此能求
出他做选择题得60分的概率．
（Ⅱ）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种．得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错．类似的，能够求出得45分为的概率、得分为50的概率、得分为55的概率和得分为60的概率由此能得到最终结果．
【解答】解：（Ⅰ）要得60分，必须12道选择题全答对，
依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为，有一道题答对的概率为，还
有一道题答对的概率为，所以他做选择题得60分的概率为：
（Ⅱ）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种．
得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错，于是其概率为：
类似的，可知得45分为的概率：
得分为50的概率：；得分为55的概率：；得分为60的概率：
∴该生选择题得分为45分或50分的可能性最大．
【点评】本题考查概率的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意概念乘法公式的合理运用．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．
（1）证明AD⊥平面PAB；
（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；
（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．
【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）通过就是PA2+AD2=PD2，证明AD⊥PA．结合AD⊥AB．然后证明AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）说明∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB，判断△PBC是直角三角形，然后求解异面直线PC与AD所成的角正切函数值．（Ⅲ）过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE，证明∠PEH是二面角P
﹣BD﹣A的平面角．RT△PHE中，．
【解答】（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设，
可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故
所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为：．
（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE
因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影．
由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．
由题设可得，，
，
于是再RT△PHE中，．
所以二面角P﹣BD﹣A的正切函数值为．
【点评】本题考查二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，直线与平面垂直的判断，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力．
20．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，
其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）因为，
所以，
由此可知“果圆”方程为，．
（2）由题意，得，所以a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．再由可知的取值范围．
（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过
B1的直线l与半椭圆的交点是．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
【解答】解：（1）∵，∴，
于是，
所求“果圆”方程为，
（2）由题意，得a+c＞2b，即．
∵（2b）2＞b2+c2=a2，∴a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．
又b2＞c2=a2﹣b2，
∴．∴．
（3）设“果圆”C的方程为，．
记平行弦的斜率为k．
当k=0时，直线y=t（﹣b≤t≤b）与半椭圆的交点是P，与半椭圆的交点是Q．
∴P，Q的中点M（x，y）满足得．
∵a＜2b，∴．
综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是
．
由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点为，轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．
21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：
．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的运算．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值；
（2）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．由（1），构造函数g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0，确定函数的单调性，即可求得实数a的值；
（3）由（2）知，对任意实数x均有e x﹣x﹣1≥0，即1+x≤e x，令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），可得，从而有，由
此即可证得结论．
【解答】（1）解：由题意a＞0，f′（x）=e x﹣a，
由f′（x）=e x﹣a=0得x=lna．
当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=e lna﹣alna﹣1=a﹣alna ﹣1．
（2）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．
由（1），设g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0．
由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0得a=1．
∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．
（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e x﹣x﹣1≥0，即1+x≤e x．
令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），则．
∴．
∴
=．（14分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．
选修4-1：几何证明选讲
22．如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．（1）证明：PA=PD；
（2）求证：PA•AC=AD•OC．
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】直线与圆．
【分析】（1）连结OA，由已知条件推导出∠PAD=∠PDA，即可证明PA=PD．
（2）连结OA，由已知条件推导出△PAD∽△OCA，由此能证明PA•AC=AD•OC．
【解答】（1）证明：连结AC，
∵直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D，BC是直径，
∴∠C+∠B=90°，∠ODB+∠B=90°，
∴∠C=∠ODB，
∵直线PA为圆O的切线，切点为A，
∴∠C=∠BAP，
∵∠ADP=∠ODB，∴∠BAP=∠ADP，
∴PA=PD．
（2）连结OA，由（1）得∠PAD=∠PDA=∠ACO，
∵∠OAC=∠ACO，∴△PAD∽△OCA，
∴，∴PA•AC=AD•OC．
【点评】本题考查线段相等的证明，考查线段乘积相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为
（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．
【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t1、t2的关系式，结合参数的几何意义，求出a的值．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程ρsin2θ=acosθ（a＞0），
可化为ρ2sin2θ=aρcosθ（a＞0），
即y2=ax（a＞0）；
直线l的参数方程为（t为参数），
消去参数t，化为普通方程是y=x﹣2；
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax（a＞0）中，
得；
设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
则；
∵|PA|•|PB|=|AB|2，
∴，
即；
∴，
解得：a=2，或a=﹣8（舍去）；
∴a的值为2．
【点评】本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程，再解答问题，是中档题．
选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|
（1）求使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围．
（2）∃x0∈R，使f（x0）＜a，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围．（2）由题意可得，a大于f（x）的最小值，而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为4，从而求得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|表示数轴上的x对应点到3、﹣1对应点的距离之和，它的最小值为4，
且﹣2 和4对应点到3、﹣1对应点的距离之和正好等于6，
故使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围为（﹣2，4）．
（2）由题意可得，a大于f（x）的最小值，而由f（x）的最小值为4，
可得a＞4．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，属于中档题．。