高中数学人教版必修3课件2-3-1变量之间的相关关系2

跟踪练习
对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变 量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个 散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 [答案] C [解析] 图(1)中的数据y随着x的增大而减小，因此变量x与变量y负相 关；图(2)中的数据随着u的增大，v也增大，因此u与v正相关．
⑤代入公式计算b^ ，a^，公式为b^ ＝i＝n1 xi2－n－x2 ，
i＝1
a^＝
y
－b^ －x.
⑥写出回归直线方程^y＝b^ x＋a^.
跟踪练习
(1)(2015·石家庄高二检测)已知回归直线的斜率的估计 值是 1.23，样本点中心(即( x ， y ))为(4,5)，则回归直线的方 程是( )
(2)两次数学考试成绩散点图如图所示，
由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，具有正 相关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系．
[答案] (1)A
[规律总结] 两个变量x与y相关关系的判断方法： (1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直 观地判断；如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那 么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． (2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； (3)经验法：借助积累的经验进行分析判断． [特别提醒] 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么变量 之间就有相关关系．
④表示最接近 y 与 x 之间真实关系的一条直线．
A．①②
B．②③
C．③④ [答案] D
D．①④
[解析] ^y＝b^ x＋a^表示^y与 x 之间的函数关系，而不是 y 与 x 之间的函数关系．但它所反映的关系最接近 y 与 x 之间 的真实关系．故选 D.
[规律总结] 回归直线是对原数量关系的一种拟合，如果两个变量 不具有线性相关关系，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且由 其得到估计和预测的值也是不可信的．
[错解] (1)根据表中数据画散点图，如图所示，从图可 以看出，虽然后 5 个点大致分布在一条直线的附近，但第一 个点离这条直线太远，所以这两个变量不具有线性相关关 系．
(2)将 x＝12 代入^y＝23.25x＋102.15，得^y＝23. 25×12＋ 102.15＝381.15>380.所以上述断言是正确的．
＋
(100
－
70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得 s2＝50.
自主预习
1．相关关系 (1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取
值带有一定的__随__机____性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关
关系．
(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从__左__下____角到 ___右__上___角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果 散点图中点的分布是从__左__上____角到___右__下___角的区域，那么这两
误区警示
有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均 GDP)和这一年各城市患白血病的儿童年数量，如下表：
(1)画出散点图，并判定这两个变量是否具有线性相关关系；
(2)通过计算可知这两个变量的回归直线方程为＝x＋，假如一个城市 的人均GDP为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一 定超过380人，请问这个断言是否正确？
4．回归直线方程^y＝bx＋a 必经过( )
A．(0,0)
B．( x ，0)
C．(0， y ) [答案] D
D．( x ， y )
[解析] 回归直线一定能过样本的中心( x ， y )．
高效课堂
互动探究
探究方向一：变量之间的相关关系的判断
(1)下列变量之间的关系不是相关关系的是( ) A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因 变量是判别式Δ＝b2－4ac B．光照时间和果树亩产量 C．降雪量和交通事故发生率 D．每亩田施肥量和粮食亩产量
2．观察下列散点图，①正相关，②负相关，③不相关，与下列图形 相对应的是( )
A．①②③ B．②③① C．②①③ [答案] D
D．①③②
3．下列有关回归方程^y＝b^x＋a^的叙述正确的是( )
①反映^y与 x 之间的函数关系；
②反映 y 与 x 之间的函数关系；
③表示^y与 x 之间的不确定关系；
个变量的相关关系称为负相关．
[归纳总结] 两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关 系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系 ，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性 的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“ 数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关 ，即两个变量间没有任何关系．
人教版 必修3
第二章 统计
2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关
优效预习
知识衔接
1．在初中数学及《数学必修1》中，我们研究了两个变量之间的函 数关系，变量之间的函数关系是一种确定性关系，当自变量x的值确 定之后，都有唯一确定的y值与之对应，这种关系是一种理想的关系 模型．但现实生活中两个变量之间存在着另外一种关系，其中一个 变量与另一个变量有关，但确定这个变量的因素不止一个，这种关 系就是本节我们要学习的变量间的相关关系，学习这种相关关系要 同变量间的函数关系区分开来．
小二乘法，其中 a，b 的值由以下公式给出：
其中，b^ 是回归方程的____斜__率__，a^是回归方程在 y 轴上 的__截__距____．
[破疑点] 线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点 ，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归 直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用．
[解析] 因甲少记了 30 分，乙多记了 30 分，故平均分
不变，设更正后的方差为 s2，则由题意可得
s2＝418[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2
＋…＋(x48－70)2]，而更正前有
75
＝
1 48
[(x1
－
70)2
＋
(x2
－
70)2
＋
…
＋
(50
－பைடு நூலகம்
70)2
第二步，计算－x ，－y ，
n
x2i ，
n
y2i ，
n
xiyi；
i＝1
i＝1
i＝1
第三步，代入公式计算 b，a 的值； 第四步，写出回归直线方程．
(1)利用公式：
n
xi－－x yi－－y
n
xiyi－n
－x
－y
b^ ＝i＝1
n
xi－－x 2
i＝1
＝
n xi2－n－x2
i＝1
i＝1
a^＝－y －b^ －x ，
2．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众 数的大小关系是( ) A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数 C．中位数<众数<平均数 D．众数＝中位数＝平均数 [答案] D
3．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70，方差为75， 后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得80分却记成了50分， 乙实际得70分却记成了100分，更正后平均数为________，方差为 ________． [答案] 70 50
5
x2i ＝90，
5
xiyi＝112.3
i＝1
i＝1
于是b^ ＝1129.03－－55××442×5＝1120.3＝1.23； a^＝－y －b－x ＝5－1.23×4＝0.08. (2)线性回归直线方程是^y＝1.23x＋0.08，当 x＝10(年)时， ^y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用 10 年时，支出 总费用是 12.38 万元．
2．线性相关
(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大 致在一条__直__线____附近，我们就称这两个变量之间具有线性 相关关系，这条直线叫做_回__归__直__线__．
(2)最小二乘法：求线性回归直线方程^y＝b^ x＋a^时，使得 样本数据的点到它的__距__离__的__平__方__和____最小的方法叫做最
[规律总结] 求回归直线方程的一般步骤： ①收集样本数据，设为(xi，yi)，(i＝1,2，…，n)(数据一 般由题目给出)． ②作出散点图，确定 x，y 具有线性相关关系． ③把数据制成表格 xi，yi，x2i ，xiyi.
n
n
④计算 x ， y ，x2i ，xiyi，
i＝1
i＝1
n xiyi－n－x－y
线^y＝1.23x＋a^上， 所以 5＝1.23×4＋a^，a^＝0.08， 故回归直线的方程是^y＝1.23x＋0.08.
(2) x ＝2＋4＋55＋6＋8＝5， y ＝30＋40＋650＋50＋70＝50. 因为回归方程过样本中心(5,50)， 代入^y＝6.5x＋a^，得a^＝17.5， 所以^y＝6.5x＋17.5， 当^y＝115 时，x＝15.
预习自测
1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )
A．瑞雪兆丰年
B．上梁不正下梁歪
C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
[答案] D
[解析] 选项A，B，C中描述的变量间都具有相关关系，而选项D是 迷信说法，没有科学依据．
[规律总结] 函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性 关系，判断两个变量间的关系是否为相关关系的关键是看这个关系 是否具有不确定性．
探究方向二：回归直线方程
随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时 尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到 底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司 作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费 用y(万元)有如下的数据资料：
若由资料，知 y 对 x 呈线性相关关系．试求： (1)线性回归方程^y＝b^ x＋a^的回归系数a^、b^； (2)估计使用年限为 10 年时，车的使用总费用是多少？ [探究] 第一步，列表 xi，yi，xiyi；
[错因分析] 在第(1)问中，是否具有线性相关关系，要看大部分点、 主流点是否分布在一条直线附近，个别点是不影响“大局的”，所 以可断定这两个变量具有线性相关关系．在第(2)问中，只是一个估 计值，由它不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人，如果 这个城市的污染很严重，有可能人数远远超过380，若这个城市的环 境保护得得很好，则人数就有可能远远低于380.
来计算
回归系数．有时为了方便常列表，对应列出 xiyi、x2i ，以利于 求和．(2)获得线性回归方程后，取 x＝10，即得所求．
[解析] (1)列表：
i
1
xi
2
yi
2.2
xiyi
4.4
x2i
4
2
3
4
5
3
4
5
6
3.8
5.5
6.5
7.0
11.4 22.0 32.5 42.0
9
16
25
36
－x ＝4，－y ＝5，
A.^y＝1.23x＋4 B.^y＝1.23x＋5 C.^y＝1.23x＋0.08 D.^y＝0.08x＋1.23 (2)某公司的广告费支出 x(单位：万元)与销售额 y(单位： 万元)之间有下列对应数据：
资料显示 y 对 x 呈线性相关关系． 根 据 上 表 提 供 的 数 据 得 到 回 归 方 程 ^y ＝ b^ x ＋ a^ 中 的 b^ ＝ 6.5，预测销售额为 115 万元时约需________万元广告费． [答案] (1)C (2)15 [解析] (1)由题意知，可设此回归直线的方程为^y＝ 1.23x＋a^，又因为回归直线必过点( x ， y )，所以点(4,5)在直
(2)现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第 一次数学成绩y，数据如下：
请利用散点图判断这10名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关 系．
[探究] 1.判断两个变量之间具有相关关系的关键是什么？ 2．利用散点图判断两个变量是否具有相关关系的依据是什么？
[解析] (1)在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝b2－4ac也就 唯一确这了，因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说， 光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越 高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B，C，D是相关关系．故 选A.