2018山东德州中考数学解析

德州市二○一八年初中学业水平考试
数学学试题 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2018山东德州，1，3分）3的相反数是（ ） A ．3 B ．
13 C ．-3 D ．1-3
【答案】C
【解析】3的相反数是－3.故选C. 【知识点】相反数
2.（2018山东德州，2，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B C D 【答案】B
【解析】选项A 只是中心对称图形，选项B 既是轴对称图形又是中心对称图形，选项C 只是轴对称图形，选项D 既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只是旋转对称图形. 故选B.
【知识点】轴对称图形，中心对称图形
3.（2018山东德州，3，3分）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿km ．用科学记数法表示1.496亿是
A ．7
1.49610⨯ B ．7
14.9610⨯ C ．8
0.149610⨯ D ．8
1.49610⨯ 【答案】D
【解析】因为1亿=810，所以1.496亿=8
1.49610⨯.故选D. 【知识点】科学记数法
4.（2018山东德州，4，3分）下列运算正确的是 A ．3
2
6a a a = B ．(
)
3
26a a -= C.752a a a ÷= D ．-2mn mn mn -=-
【答案】C 【解析】3
2
32
5a a a
a +==，所以选项A 错误；()3
26a a -=-，所以选项B 错误；
75752a a a a -÷==，所以选项C 正确；-23mn mn mn -=-，所以选项D 错误.故选C.
【知识点】幂的运算，合并同类项
5.（2018山东德州，5，3分）已知一组数据：6,2,8,x ,7,它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A ．7
B ．6 C.5 D ．4 【答案】A
【解析】因为1(6287)65
x ++++=，所以7x =，这组数据按序排列为：2,6,7,7,8,所以这组数据的中位数是7. 故选A. 【知识点】平均数，中位数
6.（2018山东德州，6，3分）如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中a
∠
与β∠互余的是（ ）
A.图①
B.图②
C.图③
D.图④ 【答案】 A 【解析】图①中a ∠与β∠互余，图②中a ∠=β∠，图③中a ∠=β∠，图④中a ∠与β∠互补. 故选A.
【知识点】几何初步
7.（2018山东德州，7，3分）如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的象可能是
A B C D 【答案】B
【解析】当a ＞0时，二次函数图象的对称轴在y 轴的右侧，一次函数的图象上升，删去A 、C ；当a ＜0时，二次函数图象的对称轴在y 轴的左侧，删去D. 故选B. 【知识点】函数中参数的作用
8.（2018山东德州，8，3分）分式方程()()
3
1112x x x x -=
--+的解为（ ） A ．1x = B ．2x = C.1x =- D ．无解
【答案】D
【解析】去分母，得()()(2)123x x x x +--+=，所以1x =，此时()()120x x -+=，所以原方程无解. 故选D. 【知识点】解分式方程
9.（2018山东德州，9，3分）如图,从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（ ）
A ．
22m π B ．22
m
C.2m π D ．22m π 第9题图
【答案】A
【解析】连接AC ，因为∠ABC =90°，所以AC 为⊙O 的直径，所以AC =2，所以
AB
=2
AC =
22903602m ππ⨯=. 故选A.
【知识点】圆周角定理的推论，扇形面积
10.（2018山东德州，10，3分）给出下列函数:①32y x =-+;②3
y x
=
;③22y x =;④3y x =.上述函数中符合条件“当1x >时，函数值y 随自变量x 增大而增大”的是（ ） A ．①③ B ．③④ C.②④ D ．②③ 【答案】B
【解析】函数32y x =-+的y 随自变量x 增大而减小；因为函数3
y x
=
在每个象限内时的y 随自变量x 增大而减小，所以在当1x >时的y 随自变量x 增大而减小；函数2
2y x =在0x >时的y 随自变量x 增大而增大，所以在当1x >时的y 随自变量x 增大而增大；函数3y x =的y 随自变量x 增大而增大. 故选B.
【知识点】函数增减性
11.（2018山东德州，11，3分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用下图的三角形解释二项式
()n
a b +的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”。

()()()()()()0
1
2
3
45
.... .... .... 1 .... . (11)
.... ....121 .... (1331)
(14641)
..15101051
a b a b a b a b a b a b ++++++
根据“杨辉三角”请计算()8
a b +的展开式中从左起第四项的系数为
A ．84
B ．56 C.35 D ．28 【答案】B
【解析】按照规律，继续往下写，写到()8
a b +. 故选B.
第9题答图
()()()()()()()0
1
234
5
6
.... .... .... .... .... .. 1 .... ....... .... .... ..11 .... .... .... .... ..121 .... ... .... ....13 31
.... .... ......14 641...... .... 15 101051
...... 16 152015 6 a b a b a b a b a b a b a b +++++++()()7
8
1
... 17 21353521 7 1
..1828567056 28 8 1
a b a b ++
【知识点】规律探索题 12.（2018山东德州，12，3分）如图，等边三角形ABC 的边长为4,点O 是△ABC 的中心，
120FOG ∠=.绕点O 旋转FOG ∠,分别交线段AB BC 、于D E 、两点，连接DE ,给出下列四个结论:①OD OE =;②ODE BDE S S ∆∆=;③四边形ODBE
的面积始终等于④△BDE 周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( )
A ．1
B ．2 C. 3 D ．4 【答案】C
【解析】如图1，连接OB 、OC ，因为点O 是△ABC 的中心，所以 120AOB BOC ∠=∠=，OA =OB =OC ，所以
120BOC FOG ∠=∠=， 30ABO BCO ∠=∠=，所以 BOD COE ∠=∠，所以 BOD COE ∆∆≌（ASA ），所以OD =OE ，结论①正确；通过画图
确定结论②错误，如当点E 为BC 中点时，ODE BDE S S ∆∆<；因为
BOD COE ∆∆≌，所以 BOD COE S ∆∆=S ，所以1
3BOC ABC ODBE S ∆∆=四边形=S S
=，结论③正确；因为 B O D C O E ∆∆≌，所以
BD =CE ，所以BD ＋CE =BC =4，因为 120BOC ∠=，OB =OC ，易
得DE =，如图2，当OD ⊥AB 时，OD 最小=BD ×tan ∠OBD
DE 最小=2，所以△BDE 周长的最小值为6, 结论④正确. 故选C.
【知识点】旋转，全等，定值，最值
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上） 13.（2018山东德州，13，4分）计算:23-+= ．
【答案】1
第12题答图2
第12题答图1
F 第12题图
F
【解析】23-+=1=1.
【知识点】绝对值
14.（2018山东德州，14，4分）若12x x 、是一元二次方程2
20x x +-=的两个实数根，则
1212x x x x ++= ．
【答案】-3
【解析】因为121x x +=-，122x x =-，所以1212x x x x ++=-3.
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
15.（2018山东德州，15，4分）如图,OC 为AOB ∠的平分线，CM OB ⊥，5OC =，4OM =，则点C 到射线OA 的距离为 ．
【答案】3
【解析】因为CM OB ⊥，5OC =，4OM =，所以CM =3，过点C 作CM ⊥OA 于N ，又因为OC 为AOB ∠的平分线，所以CN = CM =3，即点C 到射线OA 的距离为3． 【知识点】勾股定理，角平分线的性质
16.（2018山东德州，16，4分）如图，在44⨯的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC ∆的顶点都在格点上,则BAC ∠的正弦值是 ．
【解析】因
为AC =
，BC =，5AB =，所以222
AC BC AB +=，所以
90ACB ∠=︒
，所以sin BC BAC AB ∠=
=
. 【知识点】网格，直角三角形的边角关系
17.（2018山东德州，17，4分）对于实数a ,b .定义运算“◆”
:.
, .a b a b ab a b ≥=<⎪⎩◆
例如4◆3,因为43>.所以4◆
3=5=.若,x y 满足方程组48
229
x y x y -=⎧⎨+=⎩，则
x y ◆=_____________.
第15题答图
第15题图
第16题图
【答案】60 【解析】因为48229x y x y -=⎧⎨
+=⎩，所以5
12
x y =⎧⎨=⎩，因为x y <，所以x y ◆=xy =60.
【知识点】解方程组，新定义
18.（2018山东德州，18，4分）如图,反比例函数3
y x
=
与一次函数2y x =-在第三象限交于点A ，点B 的坐标为(一3,0),点P 是y 轴左侧的一点，若以A O B P 、、、为顶点的四边形为平行四边形.则点P 的坐标为_____________.
【答案】 (-4,-3),(-2,3) 【解析】令
3
2x x
=-，则11x =-，23x =，所以点A 的坐标为(13)--，， ①构成平行四边形ABOP 时，点P 在y 轴右侧，舍去；
②构成平行四边形OAPB 时，AP ∥BO ，AP =BO =3，因为(1
3)A --，，所以(43)P --，； ③构成平行四边形OABP 时，BP ∥AO ，BP =AO ，所以P B O A
P
B O A x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩，即
(3)(1)00(3)P O P
x x y --=--⎧⎨-=--⎩，所以2
3P P x y =-⎧⎨
=⎩，所以(23)P -，，综上所述点P 的坐标为(-4,-3),(-2,3). 【知识点】平行四边形，平移，分类讨论
三、解答题 （本大题共7小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（2018山东德州，19，8分）先化简,再求值:2233111211x x x x x x --⎛⎫
÷-+ ⎪-++-⎝⎭
,其中x 是
第18题答图3
第18题答图
2
第18题图
第18题答图1
不等式组()5331131922
x x x x ⎧->+⎪
⎨-<-⎪⎩的整数解.
【思路分析】先算乘除，再算加减，因有括号，所以先算括号里面的。

接着解不等式组，将
它的整数解代入分式化简后的代数式计算即可．
【解题过程】解：原式()()()2
131111
11311111x x x x x x x x x x x x x ---+⎛⎫--+--= ⎪-+---⎝⎭
.
解不等式组:()533113
1922
x x x x ⎧->+⎪
⎨-<-⎪⎩①②. 解不等式①得:3x >. 解不等式②得：5x <.
∴不等式组的解集是:35x <<. x 是整数 ∴4x -
将4x -代入得:
原式11=
=4-13
. 【知识点】分式化简求值，解不等式组
20.（2018山东德州，20，10分）某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况(新闻、体育、动画、娱乐、戏曲),从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.
请根据以上信息,解答下列问题: (1)这次被调查的学生共有多少人? (2)请将条形统计图补充完整;
(3)若该校约有1500名学生,估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人
?
(4)该校广播站需要广播员,现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答) ．
【思路分析】(1)根据两图的对应关系可得被调查的学生总数；(2) 喜欢体育的学生数等于被调查的学生总数减去其余４个项目数；(3) 全校学生中喜欢娱乐节目的人数＝１５００×样本中喜欢娱乐节目的人数所占百分比；(4) 用树状图或列表法表示出所有等可能发生的结果，算出恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【解题过程】解:(1)从喜欢动画节目人数可得.1530%=50÷(人)， 答;这次被调查的学生有50人 (2)50-4-15-18-3=10(人). 补全条形统计图如图所示.
第20题图
（3）18
1500=54050
⨯
（人）. 答:全校喜欢娱乐节目的学生约有540人. (4)列表如下:
由上表可知共有12种结果，恰好选中甲、乙两人的有2种情况，所以P （选中甲、乙两人）=
21=126
. 答：恰好选中甲、乙两人的概率为
16
. 【知识点】条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，概率
21.（2018山东德州，21，10分）如图,两座建筑物的水平距离BC 为60ｍ.从C 点测得A 点的仰角α为53° ,从A 点测得D 点的俯角β为37° ,求两座建筑物的高度(参考数据:3437,37 55sin cos ≈
≈， 337, 534 4tan sin ≈≈,34
53?3553
cos tan ≈≈，)．
【思路分析】在Rt ABC ∆中，用tan AB
BC
α=
可求ＡＢ的长，. 过点D 作DE AB ⊥交AB 于点E ，得60DE BC ==ｍ，再用tan AE
ADE DE
∠=得AE 的长， 根据
第21题图
CD BE AB AE ==-可得CD 的长．
【解题过程】解：过点D 作DE AB ⊥交AB 于点E ，则60DE BC m ==.
∵453,tan 533
a =≈
. 在Rt ABC ∆中，tan AB
BC
α=
. ∴
43AB BC =,即4
603AB =. 解得：=80AB m .
又∵337,tan 374ADE β∠==≈
. 在Rt ADE ∆中，tan AE
ADE DE
∠=.
∴
34AE DE =,即4
603AE =. 解得：45AE m =. ∵BE AB AE =-.
∴80BE m =－4535m m =. ∵BE CD =. ∴35CD m =.
答：建筑物AB 的高度为80m .建筑物CD 的高度为35m .
【知识点】锐角三角函数的应用
22.（2018山东德州，22，12分）如图,AB 是O 的直径,直线CD 与
O 相切于点C ,且与
AB 的延长线交于点E .点C 是BF 的中点.
(1)求证:AD CD ⊥
(2)若30CAD ∠=.O 的半径为3，一只蚂蚁从点B 出发，沿着BE C EC B --爬回至点B ,
第21题答图
第22题图
求蚂蚁爬过的路程()
3.14 1.73π≈≈结果保留一位小数.
【思路分析】(1)连接CO ，由“点C 是BF 的中点”得CAD CAB ∠=∠，结合OA OC =，可证AD ∥CO ，易得AD CD ⊥；(2)先求COE ∠的度数，再解直角三角形COE 和求CB 的长而得解．
【解题过程】(1)证明：连接OC ，
∵直线CD 是O 的切线， ∴OC CD ⊥， ∴=90OCE ∠. ∵点C 是BF 的中点， ∴CAD CAB ∠=∠． ∵OA OC =， ∴CAB ACO ∠=∠， ∴CAD ADO ∠=∠， ∴AD ∥CO ，
∴==90ADC OCE ∠∠， ∴AD CD ⊥．
（2）解：∵=30CAD ∠， ∴=30CAB ACO ∠=∠，
∴+60COE CAB ACO ∠=∠∠=． ∵=90OCE ∠，
∴180906030E ∠-︒︒=-=． ∴2=6OE OC =， ∴=3BE OE OB ==．
在Rt OCE 中，由勾股定理得
:
CE ==
BC 的长603
180
l ππ⨯=
=．
∴蚁蚂爬过的路程11.3π≈．
【知识点】直线与圆的位置关系，圆中计算
23.（2018山东德州，23，12分）为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售
第22题答图
量y(单位:台)和销售单价x (单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?
【思路分析】(1)将有序实数对（40，600）、（45，550）代入()0y kx b k =+≠求解即可；
(2)根据相等关系“年总利润=每台利润×年销售量”列方程计算即可.
【解题过程】解：（1）∵此设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x （单位：万元）成一次函数关系.
∴可设()0y kx b k =+≠，将数据代入可得：
4060045550k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：101000k b =-⎧⎨=⎩
， ∴一次函数关系式是101000y x =--；
（2）此设备的销售单价是x 万元，成本价是30方元，
∴该设备的单件利润为()30x -万元，
由题意得：()()3010100010000x x --+=，
解得：12=80,=50x x ，
∵销售单价不得高于70万元，即70x ≤，
∴180x ＝不合题意，故舍去，∴50x ＝．
答：该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元．
【知识点】待定系数法，一元二次方程的应用
24.（2018山东德州，24，12分）再读教材:
宽与长的比是12
(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示：2MN =)
第一步,在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步,折出内侧矩形的对角线AB ,并把AB 折到图③中所示的AD 处.
第四步,展平纸片,按照所得的点D 折出DE ,使DE ND ⊥,则图④中就会出现黄金矩形.
问题解决:
(1)图③中AB =__________(保留根号);
(2)如图③,判断四边形BADQ 的形状,并说明理由;
(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.
实际操作:
(4)结合图④.请在矩形BCDE 中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.
【思路分析】(1)在Rt △ABF 中用勾股定理可得AB 的长；(2)证明BQ AB AD ==，结合BQ ∥AD ，可得四边形BADQ 是菱形；(3)图④中，MN=FA=BC=ED=2，MF=FB=NA=AC=1，
BQ AB AD ===1，1，所以12
CD BC =，
MN ND ==12，所以矩形BCDE 、矩形MNDE 为黄金矩形；
（4）由黄金矩形BCDE 得
CD BC =，∴BC CD CD -=，所以所求作的矩形的宽和长分别为BC CD -和CD ，所以只需在矩形BCDE 上添加线段GH ，使四边形 G CDH 为正方形.
【解题过程】解：（1（2）四边形BADQ 是菱形.
理由如下：∵四边形ACBF 是矩形，
∴BQ ∥AD ,
∴=BQA QAD ∠∠．
由折叠得：=BAQ QD AB AD ∠∠=，，
∴BQA BAQ ∠=∠，
∴BQ AB =，
∴BQ AD =，
∵BQ ∥AD ，
∴四边形BADQ 是平行四边形．
∵AB AD =，
∴四边形BADQ 是菱形．
（3）图④中的黄金矩形有矩形BCDE 、矩形MNDE ，
以黄金矩形BCDE 为例，理由如下:
∵1AD AN AC ===，
∴1CD AD AC ===,又∵2BC =.
∴
12
CD BC =. 故矩形BCIE 是黄金矩形． 实际操作:
（4）如图，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使四边形
G CDH 为正方形，此时四边形 BGHE
为所要作的黄金矩形长1GH =,
宽3BG =
BG GH ==
. 【知识点】阅读理解，黄金矩形，折叠
25.（2018山东德州，25，14分）如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线
2y x bx c =-++交于A B 、两点，
其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .
(1)求m n 、的值及该抛物线的解析式;
(2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.
(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【思路分析】(1)易求m n 、的值，再用待定系数法求抛物线的解析式； (2)求出AD 的长后，设AP m =，用m 的代数式表示出PM 、PN 的长，得出△MPN 面积关于m 的函数关系式，再结合增减性得最大值；(3)通过计算发现AB ∥CD ，得∠BAD=∠CDO=45°，以后分两种情况讨论，得夹这对对应角的两边成比例，求出DQ 长，结合∠QDO=45°得点Q 坐标.
【解题过程】解：（1）把点,0A m （）、点4,B n （）代入1y x -=得2,3m n ==，
∴()()1,04,3A B ，
第25题图
∵2y x bx c =-++，过点A 、点B ，
∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：65
b c =⎧⎨=-⎩，
∴265y x x =-+-；
(2）如图2，∵△APM 和△DPN 为等直角三角形，
∴=45APM DPN ∠∠=，
∴90MPN ∠=，
∴△MPN 为直角三角形.
令2
650x x -+-=，解得：121,5x x ==，
∴()5,0D ，4AD =.
设AP m =，则4DP m =-，
2
PM m =，)42PN m =-， ∴()112242222
MPN S PM PN m m ∆==⨯- =214m m --=()21214
m --+ ∴当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时3OP =，所以()3,0P ； （3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33⎛⎫ ⎪⎝⎭，.
答案来源：由A （1，0），B （4，3），C （0，－5），D （5，0），求得AB=AD=4，5CD y x =-，所以∠BAD=∠CDO=45°，所以下面分两种情况讨论：①当△ADQ ∽△DAB 时，
AD DA
DQ AB =，所以DQ=AB=过Q 点作x 轴的垂线，垂足为E ，则DQ=EQ=32
AB =，因为D （5，0），所以Q 坐标为2-3（，）；②当△QDA ∽△DAB 时， DQ DA AD AB
=，所以
4DQ =所以DQ= ，同上得Q 坐标为78-33⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，综上所述存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33⎛⎫ ⎪⎝⎭
，.
【知识点】待定系数法，二次函数的最值，相似三角形。