湖南省衡阳市第八中学2014届高三上学期第二次月考数学(理)试题-含答案

衡阳市第八中学2014届高三上学期第二次月考数学（理）试题
时量：120分钟 满分：150分 命题人：刘美容 审题人：颜军
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合{}{}{}
1,2,3,4,1,2,3,2,3,4U M N ===，则()U C M
N =（ A ）
{}
{}
{}
.1,4
.2,3
.2,4
.A B C D φ
2.设集合{}{}
03,02M x x N x x =<≤=<≤，则a M ∈“”是a N ∈“”
的（ B ） ....A B C D 充分不必要条件必要不充分条件充要条件不充分也既不必要条件3.若函
数2log ,0()2,0x x x f x a x ⎧>⎪=⎨-≤⎪⎩
有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ C ）
.0.0.0.0A a B a C a D a >≥≤<
4.已知函数()sin(2),2
f x x x R π=-
∈，则()f x 是（ B ）
.A π最小正周期为的奇函数 .B π最小正周期为的偶函数
.2C π最小正周期为的奇函数 .2
D π
最小正周期为的偶函数
5.已知tan 2θ=，则2
2sin
sin cos 2cos θθθθ+-=（ D ）
4534
..
..3
4
4
5
A B C D -
-
6.若112
2
2
(21)(1)m m m +>+-，则实数m 的取值范围是（ D ）
.().(1,2)2)A B C D -∞+∞- 7. 已知函数1(),
4,()2(1),4,x
x f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩
则2(2log 3)f +的值为（ A ）
1111.
.
.
.24
12
63
A B C D 8.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()f x 的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为（ B ）
.6.7.8.9A B C D
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分 ，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 9.
1
20
(1)x dx -+⎰
=
3
. 解:
1
3
1
20
2(1)()33
x x dx x -+=-
+=⎰
10. 已知函数()f x =
,则()f x 的定义域为 5
(,2]3 .
解：12
5log (35)0035123x x x -≥⇒<-≤⇒
<≤，所以定义域为5
(,2]3
11.若曲线22y x =的一条切线与直线480x y +-=垂直，则切线的方程为 420x y --=
解：设切点为00(,)x y ，4y x '=，则000441,2x x y =⇒=∴=，所以切线方程为：
24(1)420y x x y -=-⇒--=
12.已知35cos ,cos(),,513ααβαβ=
+=-都是锐角，则cos β= 65
解：因为,αβ都是锐角，且35
cos ,cos(),513
ααβ=
+=- 所以412
sin ,sin(),513
ααβ=
+= 则
5312433
cos cos[()]cos()cos sin()sin 13513565
βαβααβααβα=+-=+++=-
⨯+⨯=
13．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π
2)的部分图象如图所示，
则(0)f 的值是
解：
353(),,241234
T T ππππω=--=∴=∴=
把5(
,2)12π
代入，得552sin()22662
k π
πϕπϕπ+=⇒+=+
2,,3
2
2
3
k k Z π
πππϕπϕϕ∴=-
+∈-
<<
∴=-
()2sin(2)(0)2sin()33
f x x f π
π
∴=-
∴=-=
14.对任意两个实数12,x x ，定义1121221
2,,
max(,),.x x x x x x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩若2()2,()f x x g x x =-=-，则
max((),())f x g x 的最小值为 -1 .
解：2
2,21
max((),()),21x x x f x g x x x ⎧-≤-≥⎪=⎨--<<⎪⎩
或，所以max((),())f x g x 的最小值为-1
15.已知集合{}
(,)()M x y y f x ==，若对于任意实数11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得
12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①1(,)M x y y x ⎧⎫==
⎨⎬⎩⎭
；②{}(,)2x
M x y y e ==-；③{}
(,)cos M x y y x ==
④{}
(,)ln M x y y x ==.其中是“垂直对点集”的序号是 ②③ . 解：对于①，注意到1212
1
0x x x x +
=无实数解，因此①不是“垂直对点集”
； 对于②，注意到过原点任意作一条直线与曲线2x y e =-相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线2x y e =-相交，因此②是“垂直对点集”；对于③，与②同理；对于④，注意到对于点（1,0），不存在22(,)x y M ∈，使得2210ln 0x x ⨯+⨯=，因为20x =与20x >矛盾，因此④不是“垂直对点集”. 答案：②③
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分12分）
已知向量(sin ,1),(3cos ,cos 2)(0)2
A x A x x A ==>m n ，函数()f x =⋅m n 的最大值
为4． （1）求A ； （2）求()f x 在[0,
]2
x π∈上的值域．
17. （本小题满分12分） 已知函数13
()sin()cos(),44
f x x x x R ππ=-
+-∈ （1）求()f x 的最小正周期和最小值； （2）已知44cos(),cos(),(0)552
a π
ββααβ-=
+=-<<≤，求证：2[()]20f β-=．
18．（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x x =-， ()ln a
g x x x
=+，（0a >）． （1）求函数()g x 的极值； （2）已知10x >，函数11
()()
()f x f x h x x x -=
-，1(,)x x ∈+∞，判断并证明()h x 的单调性．
19. （本小题满分13分）
旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元.旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人.设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元.
（1）写出飞机票价格y元与旅行团人数x之间的函数关系式；
（2）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.
20. （本小题满分13分） 已知函数f (x ) = 3
ln ,()2(0).x g x x x
=-
> （1）试判断当()()f x g x 与的大小关系； （2）试判断曲线()y f x =和()y g x =是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说
明理由.
21. （本小题满分13分） 已知函数2
()2ln f x x x =-
(1)若方程()0f x m +=在1
[,]e e
内有两个不等的实根，求实数m 的取值范围；（e 为自然对数的底数）
（2）如果函数()()g x f x ax =-的图象与x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 且120x x <<.求证：
12()0g px qx '+<（其中正常数,1,p q p q q p +=≥满足且）.。