高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数幂函数课堂导学案苏教版1

3。

3 幂函数 课堂导学
三点剖析
一、幂函数定义、图象和性质 【例1】 比较下列各组数的大小： （1)2
53-和2
51.3-；
（2）8
78--和87
)9
1(-
-;
（3)32)32(--和3
2
)6
(--π;
（4）52
1.4,3
28.3-
和5
3)1.9(-
-。

解析:（1)函数y=25
-
x 在(0，+∞)上为减函数，又3〈3.1,所以253-
〉2
51.3-。

(2）8
78-
-=-8
7
)8
1(-,函数
y=8
7
x 在（0，+∞)上为增函数,又81>9
1，则87)81(>87
)91(,
从而8
78-
-〈-87
)9
1(.
(3)32)32(--=32)32(-,32)6(--π=3
2
)6
(-π，函数
y=3
2
-
x 在(0,+∞)上为减函数.又32>6
π，
所以32
)32(--=32
)32(-〈32
)6(-π=32
)6
(-
-π。

（4）52)1.4(>5
21=1，0〈328.3-
〈321-
=1，5
3)9.1(-〈0，
所以53)9.1(-〈328.3-
<5
21.4。

温馨提示
比较大小的题,要综合考虑函数的性质,特别是单调性的应用，要善于运用“中间变量”法进行分组，常数0和1是常用的介数。

二、幂函数图象的位置和形状变化
1）在幂【例2】已知点(2,2)在幂函数f（x）的图象上，点（—2,
4
函数g（x）的图象上，问当x为何值时，有(1)f(x）〉g（x）;（2）f(x）=g（x）;(3)f(x)〈g（x).
解析：设f(x)=xα,则由题意得2=（2）α，
∴α=2,
1=（-2）β,即f（x)=x2，再设g(x）=xβ，则由题意得
4
∴β=—2，
即g(x）=x-2，在同一坐标系中作出f（x）与g(x)的图象.
由图象可知：
（1)当x>1或x〈—1时，f(x）>g(x）;
（2）当x=±1时,f(x)=g（x)；
（3）当—1<x<1且x≠0时，f(x）<g(x).
温馨提示
(1）函数图象在解方程和不等式时有着重要的应用，请同学们仔细体会该题。

（2）注意本题中g（x)的定义域为{x｜x≠0}，所以③中不包含x=0这一元素。

三、幂函数在实际中的应用
【例3】某农药厂今年生产农药8 000吨，计划5年后把产量提高到14 000吨，问平均每年需增长百分之几?
解析：设平均增长率的百分率为x,则由题意 8 000（1+x)5=14 000， 即(1+x)5=8
14=1。

75。

两边取对数， 5lg(1+x)=lg1。

75, lg(1+x ）=5
1lg1.75
=5
1×0。

243
=0.048 6。

∴1+x=1。

118，
即x=0。

118=11。

8%. 答:平均每年需增长11。

8%. 温馨提示
幂函数、指数函数、对数函数经常联合考查，要注意综合能力的培养。

本列中若用a 表示原有数量，x 表示增（降）率，n 表示年数，A 表示n 年后的总数,则有公式A=a(1+x ）n 。

各个击破 类题演练 1
比较下列各题中的两个值的大小： （1）5
2
)60sin (︒-与5
2)
6
tan
(π
-；
（2)34
)31(-
与31)3
2(。

解析：(1）∵5
2
)60sin (︒-=52)23(,52)6
tan (π-=52
)33(,
又∵幂函数y=5
2x 在（0,+∞)上是增函数,而2
3〉
3
3, ∴52
)23(>52
)3
3(.
因此，5
2)60sin (︒-〉5
2)6
tan (π
-.
（2)∵函数y=3
4
-x 的图象在第一象限内是一条下降曲线，∴3
4
)3
1(-〉
1—43=1.
同样，y=3
1
x 在第一象限内对应一条上升曲线。

∴31
)32(〈3
11=1。

因此，3
4)31(->31
)3
2(.
变式提升 1 证明幂函数f(x)=
x 在［0，+∞)上是增函数.
证明:任取x 1、x 2∈［0,+∞]且x 1〈x 2，则有x 1—x 2〈0，1
x +
2
x >0。

因为f(x 1）-f （x 2）=
1
x —
2
x =
2
12121)
)((x x x x x x +--=
2
121x x x x +-<0，
所以f （x 1）<f （x 2)，即幂函数f （x ）=x 在［0，+∞]上是增函数.
类题演练 2
作出函数y=3
1x ,y=3
2x 和y=2
1x 的图象.
解析:通过列表、描点、连线得到图象见下图.
变式提升2
已知函数y=322--n
n
x（n∈Z)的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于y轴对称，求n的值,并画出函数图象。

解析：因为图象与y轴无公共点，则n2—2n—3≤0，又图象关于y 轴对称，则n2-2n-3为偶数.由n2—2n—3≤0得-1≤n≤3,又n∈Z,
∴n=0,±1，2,3。

当n=0时，n2—2n—3=-3不是偶数；当n=1时，n2-2n-3=—4为偶数；
当n=—1时，n2—2n—3=0为偶数;当n=2时，n2—2n—3=—3不是偶数;
当n=3时,n2-2n-3=0为偶数；所以n={-1，1,3｝.
此时，幂函数解析式为y=x0(x≠0）或y=x-4.图象如下图。

类题演练3
下列函数中，其中幂函数的个数为( ）
1=t ①张亮在时间t秒内骑车行走了1 km，那么他骑车的平均速度v=
t
1gt2=4.9t2③一个—1km/s ②李红在做物理实验时,得到关系式h=
2
细胞分裂按以下方式进行，其个数y与时间t的关系为y=2t④马明在做匀速跑的过程中，其距离s与时间t的关系为s=t
A.0个
B.1个C。

2个D。

3个
解析：①④为幂函数，②为二次函数;③为指数函数。

故选C. 答案：C 变式提升 3
已知函数f(x)=(m 2+2m ）·1
2-+m m x
，m 为何值时，f(x ）是(1）正比例函
数；（2）反比例函数;（3）二次函数;（4）幂函数. 解析：(1）若f （x ）为正比例函数，则
⎪⎩⎪⎨⎧≠+=-+0
2,
112
2m m m m ⇒m=1. (2）若f(x)为反比例函数，则
⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=-+0
2,
112
2m m m m ⇒m=-1. (3）若f （x ）为二次函数，则
⎪⎩⎪⎨⎧≠+=-+0
2,
212
2m m m m ⇒m=2131±-. (4）若f （x)为幂函数，则m 2+2m=1, ∴m=—1±
2。