北京市东城区(南片)2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试题含答案

北京市东城区（南片） 2012-2013 学年放学期高二期末考试
数学试卷（理科）
本卷 100 分。

考120 分。

第一部分（共30分）
参照公式：假如事件A、 B 互斥，那么P（ A+B）=P（A） +P（ B）。

假如事件 A、 B 互相独立，那么P（ A·B） =P（ A）·P（B）。

^^^
若（ x1， y 1），⋯，（ x n， y n）本点，y =b x + a 回直，
x= 1 n x i，y= 1 n y i
n i 1n i 1
n n
^
( x i x)( y i y)x i y i n x y^^
b =i 1
n
=i 1， a = y － b x 。

n
(x i x) 2x i2n x2
i1i 1
2 K =
n(ad bc)2
，此中 n=a+b+c+d 本容量(a b)(c d )(a c)(b d )
一、共 10 小，每小 3 分，共 30 分。

在每小列出的四个中，出切合目要求的一。

1.函数 f（ x） =3x－x 3的增区是
A. （0，+）
B. （－，－1）
C.（－1，1）
D. （1，+）
2.（ x+1）4的睁开式中 x 2的系数
A. 4
B. 6
C. 10
D. 20
3. 在复平面内，复数6+5i，－ 2+3i 的点分A，B。

若 C 段 AB 的中点，点 C 的复数是
A. 4+8i
B. 8+2i
C. 4+i
D. 2+4i
4.用数字 0， 1， 2， 3 成无重复数字的四位数，的四位数的个数
A. 24
B. 18
C. 16
D. 12
1
5. (e x2x) dx =
A. 1
B. e－1
C. e
D. e+1
6.高二第二学期期中考，依据甲、乙两个班学生数学考成秀和不秀人数后，获得
2×2列表：随机量 K 2的
班与成表
优异 不优异
总计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45
总计
19
71 90
A. 0.600
B. 0.828
C. 2.712
D. 6.004
7. 设随机变量
~N （ 0，1），若 P （ ≥1） =p ，则 P （－ 1< <0） =
A. 1－ p
B. p
C. 1 +p
D.
1
－ P
2
2
8. 某游戏规则以下：随机地往半径为
l 的圆内扔掷飞标，若飞标到圆心的距离大于
1 ，
2 则成绩为及格； 若飞标到圆心的距离小于
1
，则成绩为优异； 若飞标到圆心的距离大于
1 且
4
4
小于 1
，则成绩为优异，那么在全部扔掷到圆内的飞标中获得成绩为优异的概率为
2
3 1
3
D.
1
A.
B.
C.
16
16
4
4
9. 从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名，分别从事 A ，B ，C ，D 四项不一样的工作，每人肩负
一项。

若甲、乙二人均不可以从事 A 工作，则不一样的工作分派方案共有
A.60种
B.72种
C.84种
D.96种
10. 已知 f （ x ）=x 3 － 6x 2 +9x －abc ，a<b<c ，且 f （ a ）=f （b ）=f （c ）=0，现给出以下结论：
① f （ 0） f （ 1） >0； ②f（ 0） f （1） <0； ③f（0） f （ 3） >0； ④f（0） f （ 3）<0。

此中正确结论的序号为
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
第二部分（非选择题
共 70分）
二、填空题共 6 小题，每题
3 分，共 18 分。

2 11. 复数
=______。

1 i
12. 已知随机变量 X~B （ 5， 1
），则 E （ X ） =______， D （ X ） =_____。

3
13. 若（ x
2 +
1 ） n 的睁开式的各项系数之和为 32，则 n=______；其睁开式中的常数项
x 3
为______ 。

（用数字作答）
14. 已知变量 x ， y 拥有线性有关关系，测得（ x ，y ）的一组数据以下： （ 0， 1），（ 1， 2），
^
（2， 4），（ 3，5），其回归方程为 y =1.4x+a ，则 a 的值是 ______。

15. 某 球 在比 中每次 球的命中率同样， 且在两次 球中至多命中一次的概率
16
， 每次 球的命中率 _____。

25
16. 察以下等式：
C 15 +C 55 =2 3 － 2， C 19 +C 59 +C 99 =2 7 +2 3 ，
C 113 +C 135 +C 913 +C 1313 =211 － 2 5 ，
1
5
9
13
17
=2 15
7
， C 17 +C 17 +C 17 +C 17 +C 17 +2 ⋯
由以上等式推 到一个一般 ：
* 1 +C 5 +C 9 4n 1
=_____。

于 n ∈ N ， C 4 n 1 4n 1 4n 1 +⋯ +C
1
4n
三、解答 共
6 小 ，共 52 分。

解答 写出文字 明，演算步 或 明 程。

17. （本小 8 分）
从 4 名男同学中 出
2 人， 6 名女同学中 出
3 人，并将 出的 5 人排成一排。

（Ⅰ）共有多少种不一样的排法？
（Ⅱ）若 出的
2 名男同学不相 ，共有多少种不一样的排法？
18. （本小 8 分）
已知函数 f （ x ）=ax 3
+bx 2
+cx+d （ a
0）， 象对于原点 称，且当 x= 1
， f （ x ）的
2
极小 － 1，求 f （x ）的分析式。

19. （本小
9 分）
某商区停 停 按 段收 ，
收 准 ： 每 汽 一次停 不超 1 小 收
6 元，超
1 小 的部分每小 收 8 元（不足
1 小 的部分按
1 小 算）。

有甲、乙
二人在 商区 停 ，两人停 都不超
4 小 。

（Ⅰ）若甲停
1 小 以上且不超
2 小 的概率
1
，停 付 多于
14 元的概率
3
5
，求甲停 付 恰 6 元的概率；
12
（Ⅱ）若每人停 的 在每个 段的可能性同样，求甲、乙二人停 付 之和
36
元的概率。

20.（本小 9 分）
生 A， B 两种元件，其量按指区分：指大于或等于82 正品，小于 82次品，随机抽取两种元件各100 件行，果以下：
指[70 ， 76）[76，82）[82 ， 88）[88， 94）[94，100]元件 A81240328
元件 B71840296（Ⅰ）分估元件A，元件 B 正品的概率；
（Ⅱ）生一件元件A，假如正品可盈余40 元，假如次品 5 元；生一种元件B，假如正品可盈余50 元，假如次品10 元， X 生 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所
得的利，求随机量X 的散布列和数学希望。

21. （本小9 分）
a
已知 a∈Ｒ，函数f（x） = +lnx－ 1。

x
（Ⅰ）当 a=1 ，求曲y=f （ x）在点（ 2， f（ 2））的切方程；
（Ⅱ）求 f （ x）在区（ 0， e]上的最小。

22.（本小 9 分）
在数列 {a n }，{b n }中， a1 =2， b 1 =4，且 a n， b n， a n 1成等差数列， b n， a n+1，b n+1成等比数列（ n∈ N *）。

（Ⅰ）求 a 2，a 3， a 4和 b 2， b 3， b 4，由此猜 {a n }，{b n }的通公式；
（Ⅱ）明你的；
（Ⅲ）明：
1115
++⋯+< a1b1a2b2a n b n12
19.（9分）
解：（Ⅰ）设“甲暂时泊车付费恰为 6 元”为事件 A， 1 分
则 P（A）=1－（1
+
5
）=
1。

3124
所以甲暂时泊车付费恰为 6 元的概率是1。

4 分4
（Ⅱ）解：设甲泊车付费 a 元，乙泊车付费 b 元，此中 a，b=6 ，14， 22， 30。

5 分则甲、乙二人的泊车花费组成的基本领件空间为：
（6， 6），（ 6， 14），（ 6， 22），（ 6，30），（ 14， 6），（ 14， 14），（14， 22），（ 14，30）。

（22， 6），（ 22， 14），（ 22， 22），（ 22， 30），（ 30， 6），（ 30， 14），（ 30， 22），（ 30，30）。

共16种情况。

8分此中，（ 6， 30），（14， 22），（ 22，14），（ 30， 6）
这 4 种情况切合题意。

故 “甲、乙二人泊车付费之和为 36 元 ”的概率为 P= 4 = 1。

9 分
16 4
20. （9分）
解：（Ⅰ）元件 A 为正品的概率约为
40
32 8 = 4 。

1 分
100 5
元件 B 为正品的概率约为
40
29 6 = 3 。

2 分
100 4
（Ⅱ）随机变量
X 的全部取值为 90， 45， 30，－ 15。

3 分
4 3 3
1 3 3
；
P （ X=90） =
× =
5
P （ X=45）= ×
=
5 4
5 4 20 4 1 1
1 1 1
7 分
P （ X=30） =
× =
5
P （ X=－15） =
× =
20
5 4
5 4 所以，随机变量
X 的散布列为：
X
90 45
30 －15
P
3
3
1
1
5
20
5
20
3 3
1
1
=66。

9 分
EX=90× +45 × +30 × +（－ 15） ×
5
20
5
20
21. （9分）
解：（Ⅰ）当 a=1 时， f （ x ） =
1
+lnx － 1，x ∈（ 0， ），
x
1 1 x 1
， x ∈（ 0，
1 分 所以： f ′（x ） =－
2 +
= 2 ）。

x
x
x
所以 f ′（ 2）= 1 。

4
即曲线 y=f （ x ）在点（ 2，f （ 2））处的切线斜率为
1 。

4 又 f （2） =ln2－ 1
，
2
所以曲线 y=f （ x ）在点（ 2， f （ 2））处的切线方程为
y －（ ln2－ 1
） = 1
（x － 2），
2
4
即 x －4y+4ln2－ 4=0。

3 分
（Ⅱ）由于 f （ x ） =
a
a 1 x
a
， x ∈（ 0， + ）。

x +lnx － 1，所以 f （′ x ） =－ x 2 +
x = x 2
令 f ′（ x ）=0，得 x=a 。

4 分
① 若 a ≤0，则 f （′ x ） >0， f （ x ）在区间（ 0， e]上单一递加，此时 f （ x ）无最小值。

② 若 0<a<e ，当 x ∈（ 0，a ） ， f ′（ x ） <0，f （ x ）在区 （ 0， a ）上 减，当 x ∈（ a ，e] ， f ′（ x ） >0， f （ x ）在区 （ a ，e]上 增，
所以当 x=a ， f （ x ）获得最小
lna 。

6 分
③ 若 a ≥e， 当 x ∈（ 0，e] ， f ′（ x ） ≤0， f （ x ）在区 （ 0，e]上 减，
所以当 x=e ， f （ x ）获得最小 a。

8 分
e
上可知，当 a ≤0 ， f （ x ）在区 （ 0，e]上无最小 ；
当 0<a<e ， f （ x ）在区 （ 0 ，e]上的最小 lna ；
当 a ≥e ， f （ x ）在区 （ 0， e]上的最小
a 。

9 分
e
22. （9分）
2
1。

（Ⅰ）解：由已知得 2b n =a n +a n 1 ， a n 1 =b n ·b n
由此可得 a 2 =6， a 3 =12， a 4 =20， b 2 =9， b 3 =16， b 4 =25。

猜 a n =n （ n+1）， b n （ n+1） 2 。

3 分
（Ⅱ）用数学 法 明：
① 当 n=1 ，由（Ⅰ）可得 建立。

② 假 当 n=k ， 建立，即
a k =k （ k+1），
b k =（ k+1） 2 。

那么当 n=k+1 ， a k 1 =2b k － a k =2（ k+1） 2 － k （ k+1）=（ k+1）（ k+2），
2
b k 1 =
a k 1
=（ k+2） 2 。

b k
所以当 n=k+1 ， 也建立。

由 ①② 可知 a n =n （ n+1）， b n =（n+1） 2 全部正整数都建立。

6 分
（Ⅲ） 明：
1 = 1 < 5 。

a 1
b 1 6 12
n ≥2 ，由（Ⅰ）知 a n +b n =（ n+1）（ 2n+1） >2（ n+1） n 。

故
1
+
1
+⋯+
1
1 1 1
1
1
]
b 1 a 2
b 2
b n < + [
2·3 +
+⋯+
a 1
a n
6 2 3·4 n(n 1)
1 1 （
1 －
1 1
－
1 1
－ 1 ）
=
+ 23 + 4+⋯+
n
6 2 3
n
1
=1+1（1
－
n 1 ）<1+1= 5。

9 分
6
2
2
1 6 4 12。