郑州大学微积分（下）测验试题（2）答案

高等数学（下册）高等数学（下册）
测验试题（二） 一、填空题（每小题4分，共20分）分）
1设L 由o （0，0）沿y 轴到)2,0(A ，再沿2=y 到处)2,2(B ，再沿y x 22
=回到)0,0(o ，则()
(
)
dy xy dx xy x x
L
223
-+
-ò.2-=
2.设S 为柱面42
2
=
+
y
x 介于61££z 的部分，法向量指向内部，则
.02
2
2
=++òòS
dxdy z y x
3.设L 为下半圆周(),02
2
2£=+
y R y x 则().422
R ds y x L
-=+ò
4.设S 为平面222=++z y x 被三个坐标面相截在第一卦限的部分，则().322=++òò
S
dS z y x （注意：边界条件可以代入）（注意：边界条件可以代入）
5．设L 为沿曲线x x y 2
2-=上从)0,2(A 到)0,0(o 的弧段，则.p =+-òL xdy ydx 二 计算题（每小题7分，共70分）分）
1。

求,||||dy x dx y I L +=ò其中L 是以o （0，0），)1,0(A ，)1,1(-B ，为顶点的三角形边界，方向为逆时针方向。

角形边界，方向为逆时针方向。

2．计算,2
2ò
++-L y x xdy
ydx L 为1||||=+y x 所围区域边界的正向。

所围区域边界的正向。

3．计算()
ds x L y òúû
ùêë
é-+5123
2，L 为()22
3
32
+=
x y 从2-=x 到1=x 的一段。

4．计算()(),z d x
d y d z d x z y d y d z z x I +-+-=òòS
其中S 是由曲线()21,
0,
££îíì==z x
y z 绕z 轴旋转一周生成的曲面的内侧。

轴旋转一周生成的曲面的内侧。

5． 计算,2
4
z d x d y d z d x d y d z I y x ++
=òòS
其中S 是由y
x z 2
2
2+=和平面
2,1==z z 围成区域的表面外侧。

围成区域的表面外侧。

6．计算,2dS I z òòS
=S 是柱面42
2
=+
y
x 介于60££z 部分。

部分。

7．计算,3dydz I x òòS
=S 是锥面y
x z 2
22+
=
介于10££z 部分的下侧。

部分的下侧。

8．计算(
)
,2
222
33
3
3
òò
++S
++
z y x z
y x
dxdy
dxdz dydz S 为球面()02
22
2>=++a a z y x 的内侧。

9．
()
(
)
(
)
,dz y x dy x z dx z y I -+-+-=òG
其中.1
,1:22ïîïíì
=+=+G z x y x ，若从x 轴正向看去，G 方向为顺时针方向。

方向为顺时针方向。

10．曲线积分()()dx x xy dy x I x
L f
f 21+-=ò与路径无关，试求满足条件()10=f 的可微函数()x f ；并计算
()()
()dx x xy dy x x
f f 2
3,31,11.+-ò
÷øö
çèæ的值。

的值。

三．（5）计算
,
2
dS I z
òòS =S 是锥面y
x z 2
2
2
+=介于0=z 和2=z 之间的部分。

四（5分）改变积分次序将三次积分()r
r h x x h d f d d I x òòò=0
化
成一重积分。

成一重积分。

答案
二1、解：ò
ò
ò
-=+-=+
+=OA
AB
BO
I .1010
（其中，;1|1|;01
1
|-====òòò
--OA AB x dx
()[]()()[].011||||0101=--+-=-+-=òòò-
-
dx x x dx x x BO ） 2、解：作充分小的圆周e
e 2
2
2
:=+
y x L （取逆时针方向），使之完全包含在L
内。

记L 与L e 所围成的平面闭区域为D 。

则由格林公式：。

则由格林公式：
0=úûùêë鶶-¶¶=-òòòòdxdy L y P x Q L D e 故.22
22
2
2
2
2
2
p p e e
e
e
e
==
=
+-=++-ò
ò
A
L xdy
ydx xdy
ydx L
y
x
3、解：、解： ().12,.,32:22
3
££-ï
îïíì==+x x x y L x 则,2/
+=x y
()
dx x dx x dx ds y 321/12
+=++=+
=，所以，，所以，
()()11
224253533I x x x dx x x dx -
-
=++-+=++éùë
ûòò ==========+=3x t (
)
(
)
.6241021252
12
42
1
2
=-=-=òòdt tdt t t t t
4、解y x z 22:+=S 。

补充辅助平面,4,2:221÷øöçèæ£+=S y x z 取下侧；及补充辅助平面,1,1:2
2
2÷øöçèæ£+=S
y
x z 取上侧。

取上侧。

记S 与S
S 21,所围成的空间闭区域为W 。

由高斯公式：。

由高斯公式： 2
2
2
2
12
12
4
1
3().x y x y I dv dxdy dxdy S+S +S S S W
+£+£=
--=---
-
òò
òòòò
òòò
òò
òò
780p p p =-+-=
5、、解：由高斯公式：、解：由高斯公式：
()
()()
3
73123110012422
324p p p =-´=++=++=úúûùêêë鶶+¶÷øöçèæ¶
+¶¶=òòòòòòòòòW W W dv dv y dv z z y x I x y x 对称性对称性 6、、解：将S 投影到yoz 平面上，得
:
D
yz
.2
2,60îí죣-££x z
/
222222//:4,.1.44x y x dS dydz dydz y z y y x x y y
¶-=-==++=¶--S 前
.28842
2
222
2
6
2
2
222p =-==S ==òòòòòòòò-S
dz dy
dydz D dS ds I z y
z z z yz
前
7、解：y
x z 2
2
:+
=
S 下侧，:D xy .12
2
£+
y
x
,2
2
,z z
x
x
y
x ¶=¶+
利用公式得利用公式得 224
3
2
2
1
(')xy
x D x y x I z dxdy dxdy x y
x +£=--=òò
òò
+
.20
3
1
4
2
4
cos
p q
q p
==òòdr d r
8、、解：注意到边界条件可以代入，所以有：、解：注意到边界条件可以代入，所以有：
òòS
++=a z y x dxdy dxdz dydz I 33
33dxdy dxdz dydz z y x
a
3
3331++=òòS
========
高斯(
)
22
2
313
dv
y x z a =======
W
-
++òòò.
5
12
sin 32
40
203a a
d
d
d
a
p
r
j
j q
r p
p -=-òò
ò9、、解：用斯托克斯公式。

记S 为由G 所围成的平面1=+z x 上的椭圆，取下侧。

{}21,0,21,1,0,1,1:0þýü
îíì--=
--=-=S n n x z
=I dS y
x x
z z
y z y x òò
S
---¶¶¶¶
¶¶g b a
cos cos cos dS dS y
x x
z z
y z y x òòòò
S
S
-=---¶¶
¶¶¶¶--=2221021 .4222
1
2
2
p =--
=òò£+dxdy y x
10、解：（一）由于()()dx x xy dy x I x
L f
f 21+
-=ò与路径无关，所以，与路径无关，所以，
()()()y x xy x x x ¶÷÷øöççèæ
+-¶=¶¶f f 21，即：()().12
/x x x x
f f +-= ()
,ln 1ln ln 1ln 21ln 12
2
2
c
c
dx x d
x
x x
=úû
ùêë
é+Þ++-=Þ+-
=òò
f
f
f
f ()x c x 2
1+
=
f ，代入初始条件()10=f ，得c=1.所以，所以， ().112
x
x +
=
f
（二）。

选取路径.3~1:.,,:x x
x x y L îíì==来计算来计算
()()()dx dx x xy dy x x x x x
x òò
þ
ïýü
îïíì
++-+=+-÷
øöçèæ3
1222
223,31
,1111111.f f
=========t x t a n .
2
23s i n c o s |34
3
4
-=
=ò
p
p p
p t dt t 三、解：将S 投影到xoy 平面上，得:D xy 42
2
£+
y
x 。

y
x z 2
2
:+=
S
.2/2
/1/
2
dxdy dxdy y x
dS z z =++=.28222
02032
22
p q p
==÷ø
ö
çè
æ
+
==òòòòòòS
dr d dxdy D dS I r y
x z
xy 四、解：先将后两次积分()r
r h
x
h
d f d òò
中的积分次序进行变换：中的积分次序进行变换：
()
()
()[]()()
r r x r r h
r h r r r r h
x
x
r x
x
x r
x
h
d f d f d f d d f d -==
=ò
òòòò
ò
000
|
所以，
()()()(
)
x r x r r r r x r x r
x
d f d d f d I x
x
x
-=-=òò
òò000
()()r r r r r r rx x r r d x x f d f x x
x úûùêëé÷
÷øöççèæ--÷÷øöççèæ-=úûùêëé÷÷øöççèæ-=òò222002222| ()().
220
r r r d x f
x -=。