2025人教版高考物理一轮复习讲义-第十一章 微点突破6 磁聚焦 磁发散

(3)求带电粒子离开磁场时的纵坐标范围。
答案
－
22R～
2 2R
如图，沿 QN 方向入射的带电粒子，离开磁场的出射点 a 在 y 轴上的
投影与
O′的距离为
Δy＝R＋
22R，故
a
点的纵坐标
ya＝
2 2R
同理可得，沿 PM 方向入射的带电粒子离开磁场
的出射点
b
Байду номын сангаас
的纵坐标
yb＝－
2 2R
带电粒子离开磁场时的纵坐标范围－
123
(2)从P点垂直于x轴发射的离子，从发射到第二次经 过边界AC所用的时间t； 答案 (43π＋ 3)qmB
123
设离子在第二象限磁场中圆周运动的周期为 T， 则 T＝2vπ0R＝2qπBm，则在第一象限磁场中圆周运动 的周期为 T′＝q2·π2mB＝πqmB 离子在圆形区域磁场中运动圆心角为 90°，则运
由已知条件结合几何关系可知，带电粒子在磁场中
运动的半径R0＝R 洛伦兹力提供向心力 qvB＝mRv20，得mq ＝B22UR2
(2)求沿y轴正方向加速的带电粒子在磁场中运动的时间；
答案
BπR2 4U
沿 y 轴正方向入射的带电粒子，设其在磁场中做圆 周运动的圆心角为 θ，由几何关系 θ＝90°，所以 t＝ 2θπT＝14T，且 T＝2πvR，解得 t＝B4πUR2
根据几何关系有 r1cos θ＋R2＝r1 根据几何关系可知，此时带电粒子打在收集
板上的落点到 P 点的距离 d＝2r2sin θ，且 r2
＝
mv 1
，收集板的最小长度
L＝2r2－d，解得
q·2B
L＝(4－2 3)R。
例2 (2023·江苏常州市期中)如图所示，O′PQ是关
于y轴对称的四分之一圆，在PQNM区域有均匀辐向
√A.粒子速度大小为qmBR
B.所有粒子均能垂直射在光屏上
√C.能射在光屏上的粒子中，在磁场中运动时间最长为23πqmB
D.能射在光屏上的粒子初速度方向与 x 轴夹角满足 45°≤θ≤135°
123
由题意，初速度沿 y 轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏 上，有 qBv＝mvr2，r＝R，解得 v＝BmqR，A 正确； 由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且 离开磁场区域的出射点距离O点的竖直高度最大 值为2R，并不会全部垂直打在光屏上，B错误；
O′在MN的中垂线上，O′到MN的垂直距离为1.5R。该粒子源各处均能持续
不断地发射质量为m、电荷量为＋q的粒子，粒子发射时的速度大小均相同，
方向均竖直向上，从粒子源MN中点发射的粒子离开磁场时速度恰好沿O′O
方向，不计粒子重力和粒子间相互作用力。
(1)求粒子发射时的速度大小v0；
答案
qBR m
123
2.带电粒子的发散 如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的 正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重 力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出 磁场的方向平行。(发散)
例1 (2023·广东清远市期末)如图所示，xOy坐标系中，第三象限存在沿 x轴正方向的匀强电场，第四象限与x轴和y轴相切的半径为R的圆形区域 内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，其边界 与x轴的切点为P点。x轴上方存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为 12B 的匀强磁场Ⅱ。在第三象限(－2R，－R)处存在 粒子源，带正电粒子由粒子源无初速度释放后 进入电场，在电场中加速后进入圆形磁场Ⅰ， 又恰好以垂直于x轴的方向经P点进入磁场Ⅱ， 最后带电粒子都打到放置在x轴上的收集板上。
123
(3)探测板CG上有离子打到的区域长度。
答案
(12＋
3 6 )R
123
如图所示，因所有离子均以恒定速率发射，故离子 在圆形磁场中的轨迹半径均为 r，又已知 r＝R， 易得所有离子经过圆形磁场后均水平向右飞出圆 形磁场，然后穿过 AC 进入右侧磁场，离子在第一 象限运动有 qv0·2B＝mrv′02 ，得 r′＝R2，从 C 点进 入右侧磁场的离子，经过半个周期打到屏上 E 点， 则 CE＝2r′＝R。
动时间 t1＝39600°°T＝2πqmB
离子在两磁场之间匀速直线运动时间 t2＝
v30R＝
3m qB
123
离子在 AC 右侧区域磁场中运动轨迹对应的圆心 角为 300°，运动时间 t3＝336000°°T′＝56πqmB 则离子从发射到第二次经过边界 AC 所用的时间 t＝t1＋t2＋t3，得 t＝(43π＋ 3)qmB
带电粒子的比荷均为 mq，不计粒子间的相互作 用和粒子受到的重力。若粒子源在第三象限 (－2R，－R2 )处，带电粒子仍能打到放置在x轴 上的收集板上，求收集板的最小长度L。
答案 (4－2 3)R
设粒子在匀强磁场Ⅰ中做匀速圆周运动的半径 为 r1，根据几何关系有 r1＝R，粒子在匀强磁 场Ⅰ中做匀速圆周运动时，根据洛伦兹力提供 向心力有 Bqv＝mvr12 根据题中条件可知，粒子源改变位置后带电粒子仍从P点进入匀强磁 场Ⅱ，设粒子进入匀强磁场Ⅱ时与x轴正方向的夹角为θ，
123
如图甲，由几何关系可得，能射在光屏上的粒子 中，运动时间最长的对应轨迹的圆心角为23π，根 据周期公式 T＝2vπr，可得 t＝13T＝23πBmq，C 正确； 若能打在光屏下端，如图乙，由几何关系可得θ1 ＝60°，即初速度与x轴夹角为θ1＝60°，同理， 粒子打在光屛上端时，初速度与x轴夹角为θ2＝ 120°，则60°≤θ≤120°，D错误。
电场，PQ与MN间的电压为U。一初速度为零的带正
电的粒子从PQ上的任一位置经电场加速后都会从O′
进入半径为R、中心位于坐标原点O的圆形匀强磁场
区域，磁场方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小
为B，粒子经磁场偏转后都能平行于x轴射出。
(1)求带电粒子的比荷mq ； 答案
2U B2R2
由动能定理可知 qU＝12mv2
123
2.(2023·山东淄博市一模)为了探测带电粒子，研究人员设计了如图所示的装置。
纸面内存在一个半径为R、圆心为O′的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸
面向外，磁感应强度大小为B，该磁场区域在垂直纸面的方向上足够长。以
O′右边的O点为中心放置一个足够大的探测屏，探测屏与OO′连线垂直。
纸面内圆形磁场区域正下方存在一个长度为R且沿水平方向的线状粒子源MN，
22R～
2 2R
跟踪训练
1.(多选)(2023·四川成都市一模)如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、 二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大 小相等，不计粒子间的相互作用。圆心在(0，R)、半径为R的圆形区域内，有 垂直于坐标平面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。磁场右侧有 一长度为R、平行于y轴的光屏，其中心位于(2R，R)。已知初速度沿y轴正方向 的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则
分析可知粒子做圆周运动的半径为 R，由 qv0B＝ mvR02，得 v0＝qmBR
123
(2)求粒子源左端点M与右端点N发射的粒子从发射到
打到屏上所经历的时间之差Δt。
答案
πm 3qB
123
分析可知粒子源左端点 M 与右端点 N 发射的粒子 均从磁场边界与 OO′交点射出，且转过的圆心角 分别为：θM＝23π，θN＝π3 两粒子在磁场中运动的周期为 T＝2vπ0R＝2qπBm 两粒子在磁场中运动的时间分别为 tM＝θ2MπT，tN＝2θπNT，由于两个粒子在 匀强磁场区域外部运动的时间相等，所以 Δt 即为在磁场中运动的时间差， 即 Δt＝tM－tN，得 Δt＝3πqmB。
123
从 M 点进入右侧磁场的离子，轨迹恰好与屏 CG 相切于 D 点，图中 CF 垂直于 O2M，则 CD＝r′－r′tan 30°，得 CD＝(12－ 63)R 则探测板上有离子打到的区域为 DE，其长度 DE＝CE－CD＝(12＋ 63)R。
123
2025人教版高考物理一轮复习讲义
第十一章
磁场
微 点
磁聚焦 磁发散
突
破
6
目标 1.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。
要求 2.学会分析磁聚焦和磁发散问题。
1.带电粒子的会聚 如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆 形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电 粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行 四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即 竖直方向)，可知从A点入射的带电粒子必 然经过B点。
123
3.(2023·湖南常德市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy平面内存在两处匀 强磁场，第一象限内的匀强磁场分布在三角形OAC之外的区域，磁感应 强度大小为2B，方向垂直纸面向里，A、C两点分别位于x轴和y轴上， ∠OAC＝30°，OC的长度为2R，第二象限内的匀强磁场分布在半径为R 的圆形区域内，磁感应强度大小为B，圆形区域的圆心坐标为(－R，R)， 圆形区域与x、y轴的切点分别为P、Q，第三、四象限内均无磁场。置于 P点的离子发射器，能持续地从P点在xOy平面内向x轴上 方180°范围内以恒定速率发射同种正离子，离子质量均 为m，电荷量均为q；在y轴上的CG之间放置一个长CG＝ 2R的探测板，所有打到探测板上的离子都被板吸收。
123
已知从P点垂直于x轴发射的离子恰好经过Q点进入第一
象限，不计离子的重力及离子间的相互作用，求：
(1)圆形区域内磁场的方向及离子的发射速率v0；
答案
垂直于纸面向外
qBR m
123
从P点垂直于x轴发射的正离子恰好经过Q点进入 第一象限，说明正离子在P点受到向右的洛伦兹 力，由左手定则知磁场方向垂直于纸面向外。 如图所示，设离子在圆形区域内做圆周运动的 轨迹半径为r，则r＝R 由洛伦兹力提供向心力有 qv0B＝mvr02 解得 v0＝qmBR