2018年北京市延庆区高考一模考试数学试题及答案(文)含答案

延庆区2018—2018学年度高三模拟试卷
数学（文科） 2018.3
本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合{|02},{|10}A x x B x x =≤≤=->，则A B = （A ）{|02}x x ≤≤ （B ）{|12}x x <≤
（C ）{|0}x x ≥
（D ）{|1}x x >
2. 在复平面内，复数
2
1i +的对应点位于的象限是
（A ） 第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 （D ）第四象限
3. 下列函数在其定义域内是增函数的是
（A ）cos y x = （B ）lg(1)y x =+ （C ）x y e -= （D ）1y x =+
4. 已知函数()2sin()3
f x x π
ϕ=+
+,则“23
π
ϕ=
”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
5. 若x ，y 满足030x y x y x ≤≥≥-⎧⎪
+⎨⎪⎩
则22x y +的最小值为
（A ）0 （B ）3 （C ）4.5 （D ）5
6. 该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14，4，则输出的a 为 （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）14
7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 （A
（B
（C
（D ）
8. 某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）所组成的有序数对(),t P
，点(),t P 落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数据如下表所示,且Q 与t 满足一次函数关系，
那么在这30天中第几天日交易额最大 （A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 双曲线2
214
x y -=的渐近线方程为 ． 10. 已知00x ,y >>,且244x y ⋅=，则xy 的最大值为 ． 11. 已知(1,2)(3,，==a b )x ，()+⊥a b a 则x = ．
12. 无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动,需要在报名的2名男教师和3名女教师中，选取2人参加无偿献血，则恰好选中一名男教师和一名女教师的概率为 ． 13. 已知()f x ，()g x 在定义域内均为增函数，但()()f x g x ⋅不一定是增函数，例如当
()f x = 且()g x = 时，()()f x g x ⋅不是增函数.
正（主）视图
侧（左）视图
俯 视 图
（7题图） 5
t
P
O 30201065
2
3
14. 有4个不同国籍的人，他们的名字分别是A 、B 、C 、D ，他们分别来自英国、美国、德国、法国（名字顺序与国籍顺序不一定一致）. 现已知每人只从事一个职业，且：
(1)A 和来自美国的人他们俩是医生； (2)B 和来自德国的人他们俩是教师； (3)C 会游泳而来自德国的人不会游泳； (4)A 和来自法国的人他们俩一起去打球.
根据以上条件可推测出A 是来自 国的人，D 是来自 国的人.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）
已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，其中数列{}n b 的前n 项和为n S ，11a =-，11b =，
222a b +=，335a b +=.
（Ⅰ）求{}n b 的通项公式和前n 项和n S ；
（Ⅱ）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 16.（本小题满分13分）
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A A =0，a b =2. （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）求边c 及△ABC 的面积.
17.（本小题满分13分）
为了鼓励市民节约用电，某市实行“阶梯式”电价，将每户居民的月用电量分为二档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度的部分按0.8元/度收费.某小区共有居民1000户，为了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年7月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）试估计该小区今年7月份用电费用不超过260元的户数；
（Ⅲ）估计7月份该市居民用户的平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
18.（本小题满分14分）
如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是正方形，
AB ⊥平面BEC ，
BE EC ⊥，2BE EC ==，点,G H 分别是线段,BE EC 的中点，点,F N 分别是线段
,CD BC 的中点.
（Ⅰ）求证：//GH 平面ADE ； （Ⅱ）求证：
AC ⊥平面ENF ；
（Ⅲ）在线段CD 上是否存在一点P ，使得D AEP V -=DP 的长，若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分13分）
已知椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>>过点(0,，且离心率2e =.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设直线:1,()l x my m R =-∈交椭圆E 于
,A B 两
点，判断点G 9,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
与以线段AB 为直径的圆的位置关
系，并说明理由.
20.（本小题满分14分）
已知函数x e x f x -=)(（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求曲线()=y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）当[]
0,2x ∈时,不等式ax x f >)(恒成立,求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）设()()g x f x ax =-，当函数()g x 有且只有一个零点时,求a 的取值范围.
延庆区2018-2019学年度一模考试数学文评分标准
一、选择题：C DBA CBDB 二、填空题：9. 12y x =±
10. 12 11. -4 12. 3
5
13. 答案不唯一 14.英, 德（第一空3分，第二空2分）13题参考答案：3
,;,;,ln ;,lg ;,x
x x x x x x x x x e
三、解答题：
15．（Ⅰ）设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为(0)q q ≠， ………1分
则1(1)n a n d =-+-，1
n n b q
-=
(0.0010.0030.004)1001
a=0.002a +++⨯=解得⎩⎨⎧=++-=++-,
5)21(,2)1(2
q d q d 解得⎩⎨⎧==21q d 或⎩⎨⎧==03
q d （舍去）. ………4分 所以1
2
n n b -= ，.122112
n
n n S -=
=-- ………7分 （Ⅱ） 1(1)2n a n n =-+-=-， ………8分
122log 2log 223n n n n c a b n n -=+=-+=- ………10分
显然，数列{}n c 是首项为-1，公差为2的等差数列 ………11分 所以，2(123)
22
n n T n n n -+-=
=-. ………13分
16．（Ⅰ）
由sin 0A A +=得π2sin 03A ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
， ………2分 即()π
π3
A k k +
=∈Z ， ………3分 又()0,πA ∈，∴ππ3A +
=，得2π3
A =. ………5分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅， ………6分
又∵1
2,cos 2
a b A ===- ………8分
代入并整理得()2
125c +=，故4c =； ………11分
11sin 2422S bc A ==⨯⨯= ………13分
17.（Ⅰ）
………3分
（Ⅱ）当用电量为400度时，用电费用为2000.5+2000.8100160260⨯⨯=+=元 所以此100户居民中用电费用超过260元的户数为0.0001100100=10⨯⨯户 所以此100户居民中用电费用不超过260元的户数为90户 ………7分 所以该小区1000户居民中用电费用不超过260元的户数为900户………8分 （Ⅲ）该市居民平均用电费用为
(1500.32000.7)0.5(500.41500.22500.1)0.8152.5⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=元
………13分
18.（Ⅰ）如图，点,G H 分别是线段,BE EC 的中点
所以点GH 是BEC ∆的中位线，所以//GH BC ， ………1分 由ABCD 是正方形得，AB CD =， //AD BC ，所以 //GH AD ，……2分 又AD ⊂平面ADE ，GH ⊄平面ADE 所以//GH 平面ADE ………4分 （Ⅱ）如图，点,F N 分别是线段,CD BC 的中点 所以FN 是BCD ∆的中位线，所以//FN BD ， 由ABCD 是正方形得，A C B D ⊥，所以
AC FN ⊥， ………6分
又因为 BE EC =，点N 是BC 的中点 所以EN BC ⊥. ………7分 又因为 AB ⊥平面BEC ，EN ⊂平面BEC .EN AB ⊥ AB
BC B =，EN ⊥平面ABCD ………8分
AC ⊂平面ABCD ,EN AC
⊥ ………9分
FN
EN N =,AC ⊥平面ENF ； ………10分
（Ⅲ）假设在线段CD 上存在一点P
，使得D AEP V -=
设DP a =,D AEP E ADP V V --= ………11分
13E ADP ADP V S -=4ADP S ∴= ………12分
142
，ADP S AD DP =
⨯=所以DP
的长为 ………14分
19．（Ⅰ）由已知 解得
所以椭圆E
的方程为22142
x y += . ………4分
（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x .
222
b c
a a
b c
⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩
2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
由22
1142
得x my x y =-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩()222230m y my +--=, ………6分 所以1212
2223
22m y y ,y y m m -+==++ ………7分
方法一：
从而022
m
y m =
+. ………8分
所以2222222
00000095525GH|()y (my )y (m +1)y +my +44216
x =++=++=. …10分
2222
2121212()(y )(m +1)(y )|AB|444
x x y y -+--==
22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4
y y y +-==-,故 ………12分
22222
2
012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)
m m y +-=++=-+=>+++ 所以|AB|
|GH|>2
，故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外. ………13分
方法二：
1212121299554444GA GB x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⋅=+⋅++=+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…9分
()()()221212225253522511416416
22=m m m y y m y y m m m -++
++=+⋅+⋅+++ ()
()
22222
2
4848402550
1720162162=
m m m m m m --++++=
>++ ………12分
说明AGB ∠为锐角，故点G 9
(4
-,0)在以AB 为直径的圆外. ………13分
20.（Ⅰ）,1)('-=x e x f 所以切线的斜率()00k f '== 又因为()01f =， ………2分 所以切线方程为 1y =. ………3分 （Ⅱ）由ax x f >)(得x e x a <+)1(.
当0=x 时， 上述不等式显然成立，故只需考虑]2,0(∈x 的情况.……4分
将x
e x a <+)1(变形得1-<x
e a x
………5分 令1)(-=x e x g x ，2)1()('x
e x x g x
-= ………6分 令0)('>x g ，解得1>x ；令0)('<x g ，解得.
1<x
从而)(x g 在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增. ………8分 所以,当1=x 时，)(x g 取得最小值1-e ，
从而所求实数的取值范围是)1,(--∞e . ………9分 （Ⅲ）法一：令()0,0x g x e x ax =--=即
1.当0x =时，()0g x ≠，函数()g x 无零点. ………10分
2.当0x ≠时，0x
e x ax --=，即1x
e a x
=- 令()1x
e T x x
=-，2
(1)
()x e x T x x -'=
………11分
令
2
(1)
()0x e x T x x
-'==，则1x = ………12分
由题可知，当1a <-，或1a e =-时，函数()g x 有一个函数零点. ………14分 法二：
()()(1)x g x f x ax e a x =-=-+
()(1)x g x e a '=-+ ………10分
令()0,(1)0x g x e a '=-+=
1.当10a +=，即1a =-时，()0g x '>
函数()0x g x e =>，无零点 ………11分
2. 当10a +<，即1a <-时，()0g x '>，函数()(1)x g x e a x =-+在定义域上单调递增，
(0)10g =>，1
11
()101a g e a
+=-<+
故函数()g x 有一个零点. ………12分 3. 当10a +>，即1a >-时，()0g x '=，此时，ln(1)x a =+
()()
()()ln 1ln 11ln 1g a a e
a a ++=-++⎡⎤⎣⎦[](1)1ln(1)a a =+-+ 由题可知，当[]ln(1)0g a +=时，函数()g x 有一个零点.
∵10a +>，故1ln(1)0a -+=，即1a e =- ………13分 综上，当1a <-，或1a e =-时，函数()g x 有一个函数零点. ………14分。