2021年高考押题数学试题(全国II卷)(理)(终极押题卷)(解析版)

半径，从而可得球表面积． 【详解】
设圆锥母线为 l ，底面半径为 r ，
则
2
l
r
l
2
1 3
2 3
3
，解得
l r
3 1，
如图， ABC 是圆锥轴截面，外接圆 O 是球的大圆，设球半径为 R ，
cos ABC r 1 sin ABC 2 2
l 3，
3，
2R l 3 9 2
sin ABC 2 2 4 R 9 2
【答案】D
【解析】
根据函数解析式判断奇偶性，结合最小正周期即可得出结果．
【详解】
y=cos|2x|是偶函数，A 错；
y=|sinx|是偶函数，B 错；
(
2x)
y=sin 2
=cos2x 是偶函数，C 错；
(3 2x)
y=cos 2
=-sin2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期 T=π，D 正确．
，
T9
1
1 210 1
1022 1023
．
故选：C．
x2
8．设双曲线
y2 4
1的左、右焦点分别为 F1, F2 ，若点 P 在双曲线上，且△F1PF2 为锐角三角形，则
PF1 PF2 的取值范围是（ ）
A． (4 2,6)
【答案】D
B． (6,8)
C． (4 2,8)
D． (6,10)
【解析】
0
，
所以 5a 12a 13a ，即13b 13a ，
所以 b a .
综上所述， a b 2 .
故选：A.
12．若数列
an
的前
n
项和为
Sn
bn
，
Sn n
，则称数列
bn
是数列
an
的“均值数列”.已知数列
bn
是数
列
an
的“均值数列”且通项公式为 bn
n
1 ，设数列 anan1
第 I 卷 选择题部分（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知集合
A
x
3
x
7 ，
B
x
2
x
10 ，则
ðR
A
B
（
）
x 2 x 3 7 x 10
A．
或
B． R
x
C．
x
2或3
x
7
或
x
10
x x 3 x 7
如图示，三视图还原为三棱锥 D—ABC，且侧面 DAC⊥底面 BAC,过 D 作 DE⊥AC 于 E，则 DE⊥面 BAC, 连结 BE.则 AC=2，DE=BE=1，
S△ABC
所以
1 2
AC BE
1 21 1
2
,
VD ABC
1 3 S△ABC DE
1 11 3
1 3
故选：D
【点睛】
根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图
【答案】A
【解析】
首先求出两直线的交点坐标，即可得到圆心，再由弦长求出半径，即可求出圆的方程；
【详解】
x y 1 0 x 0
解：由
x
y
1
0
解得
y
1
所以直线 x y 1 0 与直线 x y 1 0 的交点为 (0, 1) ，
所以圆 C 的圆心为 C(0, 1) ，
设半径为 r ，
(| 0 4 11|)2 32 r2
D．
或
【答案】B
【解析】
由补集和并集定义直接求解可得结果.
【详解】
ðR A
x
x
3
或
x
7 ，
B
x
2
x
10 ，
ðR A B R .
故选：B.
2．下列函数中是奇函数且最小正周期是 π 的函数是（ ）
A．y=cos|2x|
B．y=|sinx|
(
2x)
C．y=sin 2
(3 2x) D．y=cos 2
的前 n
项和为 Tn
Tn ，若
1 2
m2
m 1 对一切
n N* 恒成立，则实数 m 的取值范围为（ ）
1, 3
A．
, 1 3,
C．
B． 1, 3 , 13,
D．
【答案】D
【解析】
根据题意，求得 Sn n2 ，进而求得数列的通项公式为 an 2n 1，结合裂项法求得数列的前 n 和 Tn ，得
；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，然后再根据三视图进行调
整.
7．已知等比数列
an
的前
n
项和为
Sn
，公比
q
0
，
a1
1，
a3
a2
2
．若数列
bn
的前
n
项和为 Tn
，
an1 bnSn1Sn ，则 T9 （
）
510 A． 511
1023 B． 1024
1022 C． 1023
1 D． 1023
【答案】C 【解析】
由基本量法求得公比 q ，得通项公式，前 n 项和 Sn ，求出 bn ，用裂项相消法得和 Tn ．
【详解】
解： a1 1, a3 a2 2 ，q2 q 2 0 ， q 2 或 q 1 ， q 0 ， q 2 ， \ an = 2n- 1 ．
由题意可得 32 42
，
即解得 r2 18 ，
故圆 C 的方程为 x2 ( y 1)2 18 .
故选：A. 6．如图为某几何体的三视图，正视图、左视图和俯视图均为等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）
A． 2
B．1
2 C． 3
1 D． 3
【答案】D 【解析】
先把三视图还原为三棱锥，分析三棱锥侧面 DAC⊥底面 BAC,求体积即可. 【详解】
故选：A
5．已知圆 C 的圆心是直线 x y 1 0 和直线 x y 1 0 的交点，直线 3x 4 y 11 0 与圆 C 相交的
弦长为 6，则圆 C 的方程为（ ）
A． x2 ( y 1)2 18
B． x2 ( y 1)2 3 2
C． (x 1)2 y2 18
D． (x 1)2 y2 3 2
3
，
8，
S
所以球表面积为
4 R2
4
9
2 8
2
81 8
．
故选：A．
11．已知实数 a，b 满足 a log3 4 log12 9 ， 5a 12a 13b ，则下列判断正确的是（ ）
A． a b 2
B． b a 2
C． 2 b a
D． a 2 b
【答案】A 【解析】
通过作差法先证明 a 2 ，再根据13b 5a 12a 52 122 132 ，可证明 b 2 ，进而证明
【详解】
周一至周五任选两天的所有情况为（周一、周二）、（周一、周三）、（周一、周四）、（周一、周五）、（周二、
周三）、（周二、周四）、（周二、周五）、（周三、周四）、（周三、周五）、（周四、周五），共 10 种，其中连
4 2 续两天的有 4 种，故所求概率为 10 5 .
故选：D 4．《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小
1 2x
| ，若实数 m
满足
f
log3
m
f
log1 3
m
3 ，则实数 m
的取值范围是（
）
A．
1 3
,
3
B．
0,
1 3
1, 3
C．
D．
0,
1 3
U3,
【答案】D
【解析】
f x
先由
的解析式分析得出其奇偶性和单调性,从而利用单调性和奇偶性解不等式即可得出答案.
【详解】
易知
f
x
定义域为
R
，且
a1 1也满足 an 2n 1，所以 an 2n 1，
所以
an
1 an1
2n
1
12n
1
1 2
1 2n 1
1 2n 1
，
Tn
所以
1 2
1
1 3
1 3
1 5
1 2n 1
1 2n 1
1 2
1
1 2n 1
1 2
，
Tn 又
1 2
m2
m
1 对一切
n
N*
恒成立，
所以
1 2
m2
m
1
1 2
，整理得
0
x
1 3
或
x
3
，
所以
m
0,
1 3
3,
，
故选： D .
2 10．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为 3 ，面积为 3 ，则球 O 的表面积等于（ ）
81 A． 8
81 B． 2
121 C． 8
121 D． 2
【答案】A 【解析】 由圆锥侧面展开图求得圆锥的母线和底面半径，作出圆锥的轴截面，其外接圆是球的大圆，由图形求得球
m2
2m
3
0
，解得
m
1 或
m
3
.
即实数
m
的取值范围为
,
1
3,
.
故选：D.
第 II 卷 非选择题部分（共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
13．已知两个单位向量
a
、b
r a
满足
r b
Sn
a1 1 qn 1 q
1 2n 1 2
2n 1， an1
bnSn1Sn ， Sn1 Sn
bn
Sn
1Sn
，
bn
Sn1 Sn Sn1Sn
，即
bn
1 Sn
1 Sn1
，
Tn
b1
b2
bn
1 S1
1 S2
1 S2
1 S3
1 Sn
1 Sn1
1 S1
1 Sn1
1
1 2n1 1
1 m2 m 1 1
出不等式 2
2 ，即可求得实数 m 的取值范围.
【详解】
由题意，数列
an
的前 n 项和为 Sn ，由“均值数列”的定义可得
Sn n
n ，所以 Sn
n2 ，
当 n 1 时， a1 S1 1 ；
当 n 2 时， an Sn Sn1 n2 n 12 2n 1 ，
，即 a 2 .
所以13b 5a 12a 52 122 169 ,即13b 132 ，
所以 b 2 .
再来比较 a, b 的大小：
因为 a 2 0 ，
所以 5a 12a 13a 25 5a2 144 12a2 169 13a2 2512a2 144 12a2 169 13a2
169 12a2 169 13a2 169 12a2 13a2
【详解】
小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数
列
an
，设公差为
d，由题意得：
aa110aa211 a3a12
28.5 1.5
，
解得：
ad1
10.5 1
所以
an
a1
n
1d
11.5
n
，
所以 a7 11.5 7 4.5 ，
即春分时节的日影长为 4.5.
故选：D
3．某高中高二年级组织开展了“劳动美”社会实践活动，倡导学生回家帮父母做家务，体验父母的艰辛.某
同学要在周一至周五任选两天做家务，则该同学连续两天做家务的概率为（ ）
7 A． 10
3 B． 5
1 C． 2
2 D． 5
【答案】D
【解析】
在五天中任选两天然后列举出来，共 10 种其中连续两天的有 4 种，概率可求.
一
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在 本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
5a 12a 13a 0 ，可得到13b 13a ，即可证明 b a .
【详解】
由题意，
a
log3
4
log12
9
log3
4
log3 9 log3 12
log3
4
1
2 log3
4
，
所以
a
2
log3
4
1
2 log3
4
2
log3 4 1log3
1 log3 4
4
，
log3 4 1log3 4 0
因为 log3 4 1，所以 1 log3 4
当 P 在 P1 处， F1P1F2 90 ，又 a 1, b 2, c 5
由 | P1F1 |2 | P1F2 || F1F2 |2 20 ， | P1F1 | | P1F2 | 2 ， 可得| P1F1 | | P1F2 | 8 ，
此时 | P1F1 | | P1F2 | 6 ；
f
x
f
x ，故
f
x 为偶函数，
当
x
0 时，
f
x
2x
1 2x
为增函数，
f
1
3 2
，
f
log3
m
f
log1
m
f
log3
m
f
log3
m
2f
log3
m
3
2
f
1
故
3
，
即
f
log3
m
f
1 ，即
f
log3
m
f
1
所以 log3 m 1 ，则 log3 m 1 ，或 log3 m 1 ，
解得
满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为 28.5 尺，最后
三个节气日影长之和为1.5 尺，今年 3 月 20 日17 时 37 分为春分时节，其日影长为（ ）
A． 4.5 尺
B． 3.5 尺
C． 2.5 尺
D．1.5 尺
【答案】A
【解析】
由题意构造等差数列 an ，设公差为 d，利用基本量代换求出通项公式，然后求 a7 .
当 P 在 P2 处， F1F2P2 90 ， xP2
5
，
易知 yP2 4 则 P2F2 4
此时 | P2F1 | | P2F2 || P2F2 | 2a | P2F2 | 10
∴△F1PF2 为锐角三角形，则 PF1 PF2 的取值范围是 6,10，
故选：D．
9．已知函数
f
x |
2x
由题意画出图形，不妨设 P 在第一象限， P 点在 P1 与 P2 之间运动，求出 F1P1F2 和 F1F2P2 为直角时
PF1 PF2 的值，可得△F1PF2 为锐角三角形时 PF1 PF2 的取值范围．