2017-2018学年高中物理必修2教学案：第二章 第2节 势

第2节势能的改变
一、重力势能
1．定义 物体处于一定的高度而具有的能。

2．公式
E p ＝mgh 。

3．单位 焦耳，符号J 。

4．标矢性 重力势能是标量，但有正负之分。

5．相对性
(1)参考平面：把高度规定为零的水平面。

任何物体在该平面上的重力势能为零。

参考平面的选取是任意的，通常情况下选取地面为参考平面。

(2)相对性：物体的重力势能是相对的，它是相对于零势能参考平面而言的。

物体的重力势能可以取正、零、负值，其正、负不表示方向，只表示物体位于参考平面的上方或下方。

二、重力做功与重力势能的改变
1．重力做功的特点 重力做功与路径无关，只与初、末位置高度差有关。

1．重力势能是物体因处于一定高度而具有的能，公式E p ＝
mgh ，是标量，国际单位是J 。

2．重力做功与路径无关，只与物体所处初末位置高度差有关。

3．重力势能的变化仅由重力做功决定，重力对物体做多少功，
物体的重力势能就减少多少，物体克服重力做多少功，物体重
力势能就增加多少。

4．物体因发生弹性形变而具有的能是弹性势能，其大小由发
生弹性形变的物体各部分的相对位置决定，弹性形变越大，具
有的弹性势能越大。

2．关系式
W G＝E p1－E p2＝－ΔE p。

3．两者关系
重力对物体做了正功，则物体的重力势能减小；反之，如果重力对物体做了负功，则物体的重力势能一定增加。

三、弹性势能的改变
1．定义
物体因为发生弹性形变而具有的能。

2．影响弹性势能的因素
一个物体的弹性形变越大，其弹性势能也就越大。

3．弹力做功与弹性势能变化的关系
如果弹力对外做了多少功，就减少多少弹性势能；如果克服弹力做了多少功，就会增加多少弹性势能。

4．势能
由物体间的相对位置决定的能，包括重力势能和弹性势能。

1．自主思考——判一判
(1)物体的质量越大，重力势能一定越大。

(×)
(2)物体越高，重力势能一定越大。

(×)
(3)处在参考平面上的物体重力势能均为零。

(√)
(4)物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加。

(√)
(5)重力做正功，重力势能一定减少。

(√)
(6)物体的形变量越大，弹性势能越大。

(×)
2．合作探究——议一议
(1)三峡大坝横跨2 309 m，坝高185 m，其1 820万千瓦的装机容量为世界第一，847亿千瓦时的年发电量居世界第二。

想一想三峡大坝为何修建得那么高？
图2-2-1
提示：三峡大坝的一个重要功能是利用水能发电，之所以将其修建得很高，是为了提高大坝的上下水位落差，以利于使更多的重力势能转化为电能。

(2)滑雪运动员从雪山高处高速滑下，运动员的重力做了正功还是负功？其重力势能增大了还是减小了？当冲上另一个高坡时会怎样？
提示：运动员从高处滑下，位移向下，重力做了正功，由于高度降低，其重力势能减小；当运动员冲上另一个高坡时，重力做负功，重力势能增大。

(3)弹弓是一种兵器，也是一种儿童玩具。

它是由两根橡皮筋和一个木叉制成的。

如图2-2-2所示，拉伸橡皮筋，可以把“子弹”射出去。

图2-2-2
拉伸的橡皮筋为什么可以把“子弹”射出去？
提示：拉伸的橡皮筋具有弹性势能。

重力势能的“四性”
[典例]如图2-2-3所示，桌面距地面0.8 m，一个物体的质量为2 kg，放在距桌面0.4 m的支架上。

以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到桌
面的过程中，重力势能减少了多少(g＝10 m/s2)。

图2-2-3
[思路点拨]在求解物体的重力势能时，应注意物体相对参考平面所处的高度。

[解析]以地面为参考平面，物体的高度为
h1＝1.2 m
物体的重力势能为
E p1＝mgh1＝2×10×1.2 J＝24 J
物体落至桌面时的重力势能为
E p2＝mgh2＝2×10×0.8 J＝16 J
物体重力势能的减少量为
ΔE p＝E p1－E p2＝(24－16)J＝8 J。

[答案]24 J8 J
重力势能的三种求解方法
(1)根据重力势能的定义求解：选取零势能参考平面，由E p＝mgh可求质量为m的物体在离零势能参考平面h高度处的重力势能。

(2)由重力做功与重力势能变化的关系求解：
由W G＝E p1－E p2知E p2＝E p1－W G或E p1＝W G＋E p2。

(3)由等效法求重力势能：重力势能的变化与运动过程无关，只与初、末状态有关。

ΔE p ＝mg·Δh＝E p2－E p1。

1．下列关于重力势能的说法正确的是()
A．重力势能的大小只由重物本身决定
B．所处位置高的物体，则重力势能就大
C．在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零
D．重力势能实际上是物体和地球所共有的
解析：选D重力势能等于物体的重力与物体重心高度的乘积，故选项A、B都不对；重力势能具有相对性，零势能位置的选取是任意的，地面不一定是零势能位置，选项C错误；重力是物体与地球间的作用力，重力势能实际上也是地球与物体共有的，重力势能具有系统性，选项D正确。

2．(多选)关于重力势能，下列说法中正确的是()
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与参考平面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能变大了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
解析：选CD重力势能的大小与参考平面的选择有关，A错误；当物体在参考平面的下方时，距离越大，重力势能越小，B错误；重力势能的正负号表示势能的相对大小，－5 J＜－3 J，C正确；由重力做功与重力势能变化的关系W G＝－ΔE p，得D正确。

3．质量为5 kg的钢球，从离地面100 m的高处自由下落1 s，1 s内钢球的重力势能减少了________ J,1 s末钢球的重力势能为________ J(选取地面为参考平面)；如果选取地面上1 m处的水平面为参考平面，1 s末它的重力势能为______ J；如果选取自由下落的出发点所在水平面为参考平面，1 s末它的重力势能为________ J。

(g＝10 m/s2)
解析：1 s内钢球下落h＝1
2gt
2＝1
2×10×1
2 m＝5 m，
则W G＝mgh＝5×10×5 J＝250 J，
重力势能减少了250 J，
此时钢球离地面的高度
h1＝h0－h＝(100－5)m＝95 m。

取地面为参考平面，1 s末钢球的重力势能为
E p1＝mgh1＝5×10×95 J＝4 750 J；
若选离地面1 m高处的水平面为参考平面，则
E p2＝mgh2＝5×10×(95－1)J＝4 700 J；
若选自由下落的出发点所在水平面为参考平面，则
E p3＝mgh3＝5×10×(－5) J＝－250 J。

答案：250 4 750 4 700－250
1．重力势能的变化
重力势能的变化(ΔE p)是指一个物体在运动过程中末状态的重力势能E p2(相对于参考平面的高度为h2)与初状态的重力势能E p1(相对于同一参考平面的高度为h1)两者的差值，即ΔE p＝E p2－E p1＝mgh2－mgh1
(1)若ΔE p＞0，即E p2＞E p1，物体的重力势能增加。

(2)若ΔE p ＜0，即E p2＜E p1，物体的重力势能减少。

(3)若ΔE p ＝0，即E p2＝E p1，物体的重力势能不变。

2．重力做功与重力势能改变的关系
(1)数量关系
W G ＝mgh 1－mgh 2＝E p1－E p2＝－(E p2－E p1)＝－ΔE p
即重力所做的功等于物体重力势能的减少量。

(2)相互关系
①当物体由高处运动到低处时，W G ＞0，则ΔE p ＜0，表明重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力做的功。

②当物体由低处运动到高处时，W G ＜0，则ΔE p ＞0，表明重力做负功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力做的功。

[典例] 吊车以g 4的加速度将质量为m 的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h ，则吊车钢索的拉力对物体做的功为多少？物体克服重力做的功为多少？物体的重力势能变化了多少？(不计空气阻力)
[思路点拨] 解此题的关键是重力势能的变化只对应重力做功，与其他力是否做功及做功多少无关。

[解析] 设吊车钢索对物体的拉力为F ，物体的加速度a ＝g 4
，由牛顿第二定律得mg －F ＝ma ，
故F ＝mg －ma ＝34
mg ，方向竖直向上， 所以拉力做的功W F ＝Fh ＝34
mgh ； 重力做的功W G ＝－mgh ，
即此过程中物体克服重力做功mgh 。

又ΔE p ＝E p2－E p1＝－W G ＝mgh ，
因此物体的重力势能增加了mgh 。

[答案] 34
mgh mgh 增加了mgh
理解重力做功与重力势能变化关系的关键
(1)重力做功与物体运动的路径无关，只与初、末位置的高度差有关。

(2)重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；重力做负功(物体克服重力做功)时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功。

1．(多选)关于重力做功和物体的重力势能，下列说法中正确的是()
A．当重力对物体做正功时，物体的重力势能一定减少
B．物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加
C．地球上任何一个物体的重力势能都有一个确定值
D．重力做功的多少与参考平面的选取无关
解析：选ABD物体重力势能的大小与参考平面的选取有关，故C错误；重力做正功时，物体由高处向低处运动，重力势能一定减少，反之，物体克服重力做功时，重力势能一定增加，故A、B正确；重力做多少功，物体的重力势能就变化多少，重力势能的变化与参考平面的选取无关，故D正确。

2.如图2-2-4所示，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中达到的最高点2的高度为h。

图2-2-4
(1)足球由位置1运动到位置2时，重力做了多少功？足球克服重力做了多少功？足球的重力势能增加了多少？
(2)足球由位置2运动到位置3时，重力做了多少功？足球的重力势能减少了多少？
(3)足球由位置1运动到位置3时，重力做了多少功？足球的重力势能变化了多少？
解析：(1)足球由位置1运动到位置2时，重力所做的功为－mgh，足球克服重力所做的功为mgh，足球的重力势能增加了mgh。

(2)足球由位置2运动到位置3时，重力所做的功为mgh，足球的重力势能减少了mgh。

(3)足球由位置1运动到位置3时，重力做功为零，重力势能变化为零。

答案：见解析
1．弹性势能的产生及影响因素
2．弹性势能与弹力做功的关系
如图2-2-5所示，O 为弹簧的原长处。

图2-2-5
(1)弹力做负功：如物体由O 向A 运动(压缩)或者由O 向A ′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。

(2)弹力做正功：如物体由A 向O 运动或者由A ′向O 运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。

(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹性势能的变化量总等于弹力对外做功的负值，表达式为W 弹＝－ΔE p 。

3．弹性势能的表达式(仅了解)
(1)弹簧弹力随形变量x 的变化图线及围成面积的意义
类比v -t 图像的面积表示位移，F -x 图像与x 轴所围的面积表示弹力的功，如图2-2-6
所示。

所以当弹簧的形变量为x 时，弹力做功W 弹＝－12kx ·x ＝－12
kx 2。

图2-2-6
(2)弹性势能的大小：E p ＝－W 弹＝12
kx 2。

1．如图2-2-7所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F 的作用下物体处于静止状态，当撤去F 后，物体将向右运动。

在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
图2-2-7
A ．弹簧的弹性势能逐渐减小
B ．弹簧的弹性势能逐渐增大
C ．弹簧的弹性势能先增大后减小
D ．弹簧的弹性势能先减小后增大
解析：选D 弹性势能的变化是由弹力做功引起的，弹力做正功，弹性势能减小；弹
力做负功，弹性势能增加。

在力F 作用下物体处于静止状态时，弹簧处于压缩状态，撤去F 后，在物体向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大。

2.一竖直放置的弹簧下端固定在水平地面上，一小球从弹簧的正上方高h 处自由下落到弹簧上端，如图2-2-8所示，经几次反弹后小球最终静止在弹簧上某一点A 处，则( )
图2-2-8
A ．h 越大，小球静止时弹簧的压缩量越大
B ．小球静止时弹簧的压缩量与h 无关
C ．h 越大，小球最终静止时弹簧的弹性势能越大
D ．小球第一次到达A 点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A 点时弹簧的弹性势能大
解析：选B 小球最终静止在A 点时，通过受力分析可知小球所受重力与弹簧的弹力
平衡，即mg ＝kx ，故可得小球静止时弹簧的压缩量为x ＝mg k ，与h 无关，选项A 错误，B
正确；小球在A 点时弹簧的形变量一定，则小球在A 点时弹簧的弹性势能恒定，与h 无关，选项C 、D 错误。

1．关于重力势能，以下说法中正确的是( )
A ．某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的
B ．重力势能为0的物体，不可能对别的物体做功
C ．物体做匀速直线运动时，重力势能一定不变
D ．只要重力做功，重力势能一定变化
解析：选D 选取不同的零势能面，则同一位置的物体的重力势能是不同的，A 错误。

重力势能为零只是表明物体处于零势能面上，它对其他物体同样可以做功，B 错误。

物体若在竖直方向做匀速直线运动，则物体的高度变化，重力势能也会发生变化，C 错误。

重力做功是重力势能变化的量度，故若重力做功，重力势能一定发生变化，故D 正确。

2．(多选)关于弹性势能，以下说法正确的是( )
A．发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B．只有弹簧在发生形变时才具有弹性势能
C．弹性势能可以与其他形式的能相互转化
D．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
解析：选ACD发生弹性形变的物体的各部分之间，具有的势能叫弹性势能，A正确、B错误；弹性势能跟重力势能一样，可以与其他形式的能相互转化，C正确；所有能的单位与功的单位相同，都是焦耳，D正确。

3．一物体在自由下落过程中，重力做了2 J的功，则()
A．该物体重力势能减少，减少量等于2 J
B．该物体重力势能减少，减少量大于2 J
C．该物体重力势能减少，减少量小于2 J
D．该物体重力势能增加，增加量等于2 J
解析：选A物体下落时重力做正功，重力势能减少，减少量等于重力做的功，故A 正确。

4．(多选)物体在运动过程中，克服重力做功为50 J，则()
A．重力做功为50 J
B．物体的重力势能一定增加了50 J
C．物体的动能一定减少了50 J
D．重力做了50 J的负功
解析：选BD克服重力做功50 J，即重力做了50 J的负功，A错，D对。

由重力做功与重力势能改变的关系知，物体的重力势能增加了50 J，B对。

增加的重力势能并不一定全部由动能转化而来，C错。

5.如图1，静止的物体沿不同的光滑轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为H，桌面距地面高为h，物体质量为m，重力加速度为g，则以下说法正确的是()
图1
A．物体沿竖直轨道下滑到桌面上，重力势能减少最少
B．物体沿曲线轨道下滑到桌面上，重力势能减少最多
C．以桌面为参考平面，物体重力势能减少mgH
D．以地面为参考平面，物体重力势能减少mg(H＋h)
解析：选C重力做功与路径无关，所以无论沿哪条轨道下落，重力做功相同，重力
做功W＝mgH，再由W＝－ΔE p，所以ΔE p＝－mgH，即物体重力势能减少mgH，故C正确，A、B、D错误。

6．用绳子吊起质量为m的物体，使它以加速度a匀加速升高h，在此过程中，物体增加的重力势能为()
A．mgh B．mgh＋mah
C．mgh－mah D.mah
解析：选A此过程中重力做功W G＝－mgh，重力势能的变化ΔE p＝－W G＝mgh，A 正确。

7. (多选)如图2所示，轻质弹簧拴着小球放在光滑水平面上，小球在O点时弹簧的长度为原长。

现将小球拉至A点后释放，则小球在A、B间往复运动，下列说法正确的是()
图2
A．从B到O，小球的速度不断减小
B．在O处弹簧的弹性势能最小
C．从B到O，小球的速度不断增大
D．在B处弹簧的弹性势能最小
解析：选BC弹簧的弹性势能与它的形变量有关，小球在O点时弹簧的长度为原长，弹性势能最小，故B正确、D错误；从B到O，弹力方向向右，小球向右做加速度逐渐减小的加速运动，速度不断增大，故A错误、C正确。

8．(多选)把一个物体从地面竖直向上抛出去，该物体上升的最大高度是h，若物体的质量为m，所受的空气阻力恒为f，则从物体被抛出到落回地面的全过程中() A．重力做的功为零B．重力做的功为2mgh
C．空气阻力做的功为零D．空气阻力做的功为－2fh
解析：选AD上升过程中重力做的功为－mgh，下降过程中重力做的功为mgh，所以整个过程中重力做的功为零，A正确、B错误；上升过程中阻力向下，故阻力做功W f＝－fh，下降过程中，阻力向上，故阻力做功W f′＝－fh，所以整个过程中阻力做功为－2fh，故C错误、D正确。

9.如图3所示，在水平地面上平铺着n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h。

如果工人将砖一块一块地叠放起来，那么工人至少做功()
图3
A ．n (n －1)mgh
B.12
n (n －1)mgh C ．n (n ＋1)mgh
D.12
n (n ＋1)mgh 解析：选B 取n 块砖的整体为研究对象，叠放起来后整体的重心距地面12
nh ，原来的重心距地面12h ，故有W ＝ΔE p ＝nmg ×12nh －nmg ×12h ＝12
n (n －1)mgh ，B 正确。

10. (多选)如图4所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l 、质量为m 、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平。

用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中( )
图4
A ．软绳重力势能共减少了12
mgl B ．软绳重力势能共减少了14
mgl C ．软绳重力势能的减少等于软绳的重力所做的功
D ．软绳重力势能的减少等于物块对它做的功与软绳克服自身重力、摩擦力所做功之和 解析：选BC 选斜面顶端为参考平面，软绳重力势能共减少：mg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－12 l sin θ－⎝⎛⎭⎫－12 l ＝14
mgl ，A 错误，B 正确；根据重力做功与重力势能变化的关系知道，软绳重力势能的减少等于软绳的重力所做的功，C 正确，D 错误。

11．在离地面80 m 处无初速度释放一小球，小球质量为m ＝200 g ，不计空气阻力，g 取10 m/s 2，取最高点所在水平面为参考平面，求：
(1)在第2 s 末小球的重力势能。

(2)在第3 s 内重力所做的功和重力势能的变化量。

解析：(1)在第2 s 末小球所处的高度：
h ＝－12gt 2＝－12
×10×22 m ＝－20 m 。

重力势能E p ＝mgh ＝0.2×10×(－20)J ＝－40 J
E p <0说明小球在参考平面的下方。

(2)在第3 s 末小球所处的高度
h ′＝－12gt ′2＝－ 12
×10×32 m ＝－45 m 。

第3 s 内重力做功：W ＝mg (h －h ′)＝0.2×10×(－20＋45)J ＝50 J ，即小球的重力势能减少50 J 。

答案：(1)－40 J (2)50 J 减少50 J
12.如图5所示，一质量为m 、半径为r 、体积为V 的铁球，用一细线拴住，慢慢地放入横截面积为S 、深度为h 的水中。

已知水的密度为ρ，求铁球从刚与水面接触至与杯底接触的过程中，水与铁球的重力势能分别变化了多少，水与铁球组成的系统的总重力势能变化了多少。

图5
解析：铁球下落到杯底的过程中，铁球重力势能的变化ΔE p1＝－mgh ，即重力势能减少了mgh 。

此过程水面上升了Δh ，因为上升的水的体积等于铁球的体积，所以有S ·Δh ＝V ，Δh ＝V S ，上升的水的质量
Δm ＝ρV ，故水的重力势能增加了
ΔE p2＝Δmg ⎝⎛⎭⎫h ＋Δh 2－Δmgr ＝ρVg ⎝⎛⎭
⎫h ＋V 2S －r 。

水与铁球组成的系统的总重力势能变化了
ΔE p ＝ΔE p1＋ΔE p2＝－mgh ＋ρgV ⎝⎛⎭
⎫h ＋V 2S －r 。

答案：减少了mgh 增加了ρgV ⎝⎛⎭⎫h ＋V 2S －r －mgh ＋ρgV ⎝⎛⎭
⎫h ＋V 2S －r。