(word完整版)全国卷真题汇总之解析几何小题,推荐文档

全国卷真题汇总：解析几何小题 姓名________班级____
1.(2018·全国卷I 文)已知椭圆C :x 2a
2+y 2
4=1的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为
( )
A .1
3
B .1
2
C .√2
2
D .
2√2
3
2.(2018·全国卷II 高考理科·T12)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√3
6的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为 ( ) A .2
3
B .12
C .13
D .14
3.(2018·全国卷II 高考文科·T11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PF 1
⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为 ( ) A .1-√3
2
B .2-√3
C .
√3-1
2
D .√3-1
4.(2018·全国卷II 高考理科·T5) 同(2018·全国卷II 高考文科·T6)双曲线x 2a
2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的离心率为√3,则其渐近线方程为 ( ) A .y =±√2x
B .y =±√3x
C .y =±√2
2x
D .y =±√3
2x
5.(2018全国Ⅲ理科T11)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,O 是坐标原点.
过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP |,则C 的离心率为 ( )
A .√5
B .2
C .√3
D .√2
6.(2018·全国Ⅲ高考文科·T10)已知双曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√2,则点(4,0)到
C 的渐近线的距离为 ( )
A .√2
B .2
C .
3√2
2
D .2√2
7.(2018全国卷I 理科T11)已知双曲线C :x 2
3-y 2
=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN |= ( )
A .3
2
B .3
C .2√3
D .4
8.(2018·全国卷I 高考理科·T8)设抛物线C :y 2
=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为23
的直线与C 交于M ,N 两点,则
·
= ( )
A .5
B .6
C .7
D .8
9.(2018·全国Ⅲ高考理科·T16)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2
=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k = .
10.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B是椭圆C:
2
3
x
+
2
y
m
=1长轴的两个端点,若C上存
在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0
∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0
, ∪[4,+∞)
11.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,
且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()
A.
B.
D.
1
3
12.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:
2
2
x
a+
2
2
y
b=1(a>b>0)
的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心
率为()
A.
3
B.
3
C.
3
D.
1
3
13.(2017全国丙卷理科T5)已知双曲线C:
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
y=
2
x,
且与椭圆
2
12
x
+
2
3
y
=1有公共焦点,则C的方程为()
A.
2
12
x
-
2
10
y
=1 B.
2
4
x
-
2
5
y
=1 C.
2
5
x
-
2
4
y
=1 D.
2
4
x
-
2
3
y
=1
14.(2017·全国甲卷理科·T9)若双曲线C:
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4
所截得的弦长为2,则C的离心率为()
A.2
15.(2017·全国甲卷文·T5)若a>1,则双曲线
2
2
x
a
-y2=1的离心率的取值范围是()
A.
,+∞) B.
,2) C.(1
) D.(1,2)
16.（2017·全国乙卷文科·T5)已知F是双曲线C:x2-
2
3
y
=1的右焦点,P是C上一点,且PF与
x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为()
A.1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
2
17.(2017·全国乙卷理科·T15)已知双曲线C:
2
2
x
a -
2
2
y
b=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆
心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.
18.(2017·全国丙卷·文科·T14)双曲线
2
2
x
a-
2
9
y
=1(a>0)的一条渐近线方程为y=
3
5
x,则
a= .
19.(2017·全国乙卷理科·T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()
A.16
B.14
C.12
D.10
20.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()
A.1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4
21.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同
已知O为坐标原点,F是椭圆C:
22
22
x y
a b
=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶
点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()
A.1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4
22.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T5)已知方程22
2
2x y 1m n 3m n
-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 ( ) A.(-1,3) B.(-1
C.(0,3)
D.(0
23.(2016·全国卷Ⅱ理科·T11)已知F 1,F 2是双曲线E :22
22x y -a b
=1的左、右焦点,点M
在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=1
3,则E 的离心率为 ( )
B.3
2
D.2
24.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知
|AB|=4
|DE|=2则C 的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C .6 D.8
25.(2016·全国卷Ⅱ文科·T5)设F 为抛物线C :y 2
=4x 的焦点,曲线y=k x (k>0)与C 交于
点P ,PF ⊥x 轴,则k= ( ) A.12 B.1 C.3
2
D.2
26.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T5)已知M(x 0,y 0)是双曲线C:x 2
2-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→
·MF 2→
<0,则y 0的取值范围是 ( ) A .（
-，） B.（-，） C.（，） D.（，） 27.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T11)已知A,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为 ( ) A.√5 B.2
C.√3
D.√2
28.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T15)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=±12
x,则该双曲线的标准方程为 .
29.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A.
4 B. 8 C. 6332
D.
9
4
33333636223-223233-23
3
参考答案
1.(2018·全国卷I 高考文科·T4)已知椭圆C :x 2a
2+y 2
4=1的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为
( )
A .13
B .1
2
C .√2
2
D .
2√2
3
【解析】选C .因为椭圆的一个焦点为(2,0),则c =2, 所以a 2
=b 2
+c 2
=8,a =2√2,所以离心率e =√2
2.
2.(2018·全国卷II 高考理科·T12)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36
的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为 ( ) A .2
3
B .1
2
C .1
3
D .1
4
【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力. 【解析】选D .由题意直线AP 的方程为y =√3
6(x +a ),△PF 1F 2为等腰三角形,
∠F 1F 2P =120°,所以PF 2=2c ,∠PF 2x =60°,故P (2c ,√3c ),代入y =√3
6(x +a )得,√3
6(2c +a )=√3c ,解得e =c a =1
4.
3.(2018·全国卷II 高考文科·T11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为 ( ) A .1-√3
2
B .2-√3
C .
√3-1
2
D .√3-1
【命题意图】本题考查椭圆的定义和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力.
【解析】选D .在直角三角形PF 1F 2中,F 1F 2=2c ,∠PF 2F 1=60°, 所以PF 1=√3c ,PF 2=c ,
又PF 1+PF 2=2a ,所以√3c +c =2a , 解得e =c
a =
3+1
=√3-1.
1.(2018·全国卷II 高考理科·T5) 同(2018·全国卷II 高考文科·T6)双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√3,则其渐近线方程为 ( ) A .y =±√2x B .y =±√3x C .y =±√2
2x
D .y =±√3
2x
【命题意图】本题考查双曲线的简单几何性质. 【解析】选A .因为e =c
a =√3,所以c 2a 2=
a 2+
b 2
a 2
=3,即b 2
a 2=2,b
a =±√2,所以渐近线方程为y =±√2x.
2.(2018·全国Ⅲ高考理科·T11)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP |,则C 的离心率为 ( ) A .√5 B .2 C .√3 D .√2 【命题意图】本题以双曲线作为问题背景,考查直线的交点,双曲线的几何性质及离心率的求解,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.
【解析】选C .方法一:设渐近线的方程为bx -ay =0,则直线PF 2的方程为ax +by -ac =0,由{ax +by -ac =0,bx -ay =0,
可得P (a 2c ,ab c ),由F 1(-c ,0)及|PF 1|=√6|OP |,
得√(a 2
c +c)2+(ab c )2
=√6×√(a 2
c )2+(ab c )2
,化简可得3a 2=c 2
,即e =√3.
方法二:因为|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,
∴|PO |=a ,在Rt △POF 2中,设∠PF 2O =θ,则有cos θ=|PF 2||OF 2
|=b
c ;
∵在△PF 1F 2中,cos θ=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22·|PF 2|·|F 1F 2|
=b
c
,
∴
b 2+4
c 2-(√6a )22b ·2c
=b
c
⇒b 2
+4c 2
-6a 2
=4b 2
⇒4c 2
-6a 2
=3c 2
-3a 2
⇒c 2
=3a 2
⇒e =√3.
3.(2018·全国Ⅲ高考文科·T10)已知双曲线C :x 2a
2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的离心率为√2,则点(4,0)到
C 的渐近线的距离为 ( )
A .√2
B .2
C .
3√2
2
D .2√2
【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的应用,意在考查双曲线的离心率、渐近线,以及基本运算能力,培养学生的运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】选D .方法一(直接法):由已知,双曲线C 的一条渐近线为y =b
a x ,即bx -ay =0, 所以点(4,0)到C 的渐近线的距离为d =√
b 2+a
2
=4b
c
, 因为a 2
+b 2
=c 2
,离心率e =c
a =√2,
所以e 2=c 2
a
2=2,a 2
=c 22
,c 2
2
+b 2=c 2,b 2
=c 22,b 2c 2=12,b c =√2
2
,所以d =2√2.
方法二(数形结合):
画图草图,记C 的递增的渐近线斜率为k ,倾斜角为α,点P (4,0)到C 的渐近线的距离为d ,则k =tan α=b
a (借助以角α为内角的直角三角形,α对边为
b ,邻边为a ,由勾股定理求得斜边
c),
所以sinα=
√a2+b2=b
c ,
又离心率e=c
a
=√2, 记c=√2t,则a=t,
所以b=t,sinα=b
c =√2 2
,
在Rt△OPQ中,sinα=d
4,所以d
4
=√2
2
,所以d=2√2.
6.(2018·全国卷I高考理科·T11)已知双曲线C:x 2
3
-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,
过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= ()
A.3
2
B.3
C.2√3
D.4
【解析】选B.渐近线方程为:x 2
3-y2=0,即y=±√3
3
x,
所以∠MON=π
3
.
因为△OMN为直角三角形,假设∠ONM=π
2
,如图,
所以k MN=√3,直线MN方程为y=√3(x-2).
联立{y=-√3
3
x, y=√3(x-2),
所以N(3
2,-√3
2
),即ON=√3,因为∠MON=π
3
,
所以|MN|=3.
1.(2018·全国卷I高考理科·T8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为2
3
的直线
与C 交于M ,N 两点,则·= ( )
A .5
B .6
C .7
D .8
【解题指南】在求解的过程中,首先需要根据题意确定直线的方程,之后需要联立方程组,消元化简求解,从而确定出M (1,2),N (4,4),之后借助于抛物线的方程求得F (1,0),最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标,之后应用向量数量积坐标公式求得结果,也可以不求点M ,N 的坐标,应用根与系数的关系得到结果.
【解析】选D .由题意知直线MN 的方程为y =2
3(x +2),F (1,0). 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),与抛物线方程联立有{y =23(x +2),
y 2
=4x , 可得{x 1=1,y 1=2或{x 2=4,y 2=4,
所以=(0,2),=(3,4),
所以
·
=0×3+2×4=8.
2.(2018·全国Ⅲ高考理科·T16)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2
=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的
直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k = . 【命题意图】本题以直线与抛物线作为问题背景,考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的几何性质,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算等核心素养.试题难度:难.
【解析】由抛物线的方程y 2
=4x 可知其焦点F 的坐标为(1,0),所以直线AB 的方程为y =k (x -1),由{y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-2(k 2+2)x +k 2=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 所以x 1+x 2=
2(k 2+2)k 2
,x 1x 2=1,
因为∠AMB =90°,所以
·
=(x 1+1,y 1-1)·(x 2+1,y 2-1)=(x 1+1)(x 2+1)+(y 1-1)(y 2-1)=(x 1+1)(x 2+1)+[k (x 1-1)-1]·[k (x 2-1)-1]
=(1-k -k 2)(x 1+x 2)+(1+k 2)x 1x 2+k 2
+2k +2 =(1-k -k 2
)
2(k 2+2)k 2
+(1+k 2)+k 2
+2k +2=0,
整理可解得k =2. 答案:2
1.(2017·全国乙卷文科·T12)设A ,B 是椭圆C :23x +2
y m
=1长轴的两个端点,若C 上存
在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是 ( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0
, ∪[4,+∞)
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题.
【解析】选A.当0<m<3时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则a
b
≥tan60°
得0<m≤1;当m>3时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则
a
b
≥tan60°
=
得m≥9,故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A.
3.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()
A.
B.
D.
1
3
【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.
【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离
=a,整理得a2=3b2,
即a2=3(a2-c2)⇒2a2=3c2,即
2
2
c
a
=
2
3
,e=
c
a
4.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:
2
2
x
a+
2
2
y
b=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()
D.
1
3
【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.
【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离
,整理为
a 2=3
b 2,即a 2=3(a 2-
c 2)⇒2a 2=3c 2
,即
2
2
c a
=23,e=c a =3
1.(2017·全国丙卷·理科·T5)已知双曲线C :22x a -2
2y b =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=
,且与椭圆212x +23
y =1有公共焦点,则C 的方程为 ( ) A.212x -210y =1 B.24x -25y =1 C.25x -24y =1 D.24
x -23y =1
【命题意图】本题考查双曲线标准方程和性质,考查学生的运算求解能力.
【解析】选B.由题意可得:
b a
= c=3,又a 2+b 2=c 2,解得a 2=4,b 2
=5,
则C 的方程为24x -2
5
y =1.
【光速解题】根据渐近线方程可判断a<b ,排除C ,D ,根据c=3,可直接选B.
2.(2017·全国甲卷理科·T9)若双曲线C : 22x a -22y b
=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y 2
=4
所截得的弦长为2,则C 的离心率为 ( )
D.
3
【命题意图】双曲线的几何性质与圆的标准方程,弦长,通过距离的运算考查了学生的运算能力,通过求离心率考查了几何性质的应用.
【解析】选A.圆心到渐近线bx ±ay=0,所以
2b
c
c=2a ⇒e=2. 3.(2017·全国甲卷文·T5)若a>1,则双曲线22x a
-y 2
=1的离心率的取值范围是 ( )
A.,+∞)
B.,2)
C.(1)
D.(1,2)
【命题意图】双曲线的几何性质,通过离心率的取值范围的运算考查了学生的几何性质的应用和运算能力.
【解析】选C.由题意e2=
2
2
c
a
=
2
2
1
a
a
=1+
2
1
a
,因为a>1,所以1<1+
2
1
a
<2,则
.
6.（2017·全国乙卷文科·T5)已知F是双曲线C:x2-
2
3
y
=1的右焦点,P是C上一点,且PF与
x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为()
A.1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
2
【命题意图】本题主要考查双曲线的图象和性质.
【解题指南】由双曲线方程求得F(2,0),结合PF与x轴垂直可得PF=3,最后由A的坐标是(1,3),求出△APF的面积.
【解析】选D.由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2-
2
3
y
=1,得y=±3,所以|PF|=3,又
A的坐标是(1,3),故△APF的面积为1
2
×3×(2-1)=
3
2
,故选D
二、填空题
7.(211.(2017·全国乙卷理科·T15)已知双曲线C:
2
2
x
a -
2
2
y
b=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A
为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.
【命题意图】本题主要考查双曲线的性质,并与圆巧妙结合,利用点到直线距离公式求双曲线的离心率,考查考生解决问题的综合能力.
【解析】如图,
OA=a,AN=AM=b,
因为∠MAN=60°,所以AP
b,
OP
=
所以tanθ=AP
OP
,
又因为tanθ=b
a
,
=
b
a
,解得a2=3b2,
.
答案
:
3
【反思总结】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:
解渐近线,直接把双曲线后面的1换成0即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是b;③双曲线
的顶点到渐近线的距离是ab c
.
9.(2017·全国丙卷·文科·T14)双曲线
2
2
x
a-
2
9
y
=1(a>0)的一条渐近线方程为y=
3
5
x,则
a= .
【命题意图】本题考查双曲线的定义,考查学生运算求解的能力.
【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为:y=±3
a
x,结合题意可得:a=5.
答案:5
1.(2017·全国乙卷理科·T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线
l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为 ( ) A.16
B.14
C.12
D.10
【命题意图】考查抛物线的相关性质,并以抛物线为载体考查直线与抛物线位置关系问题. 【解析】选A.方法一:设直线l 1方程为y=k 1(x-1),
联立方程()
2141x y x y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 得
2
1
k
x 2
-22
1
k
x-4x+21
k
=0,
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),
所以x 1+x 2=-221122
11
2424
k k k k --+=, 同理直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=
2
222
24
k k
+,
由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p =
222
1
24k k
++
2
222
24
k k
++4=
2
1
4
k +2
2
4
k
+8≥
+8=16,
当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号. 方法二:不妨设AB 倾斜角为θ02πθ⎛
⎫
<< ⎪⎝
⎭
.作AK 1垂直于准线,垂足为K 1,AK 2垂直x 轴,垂足为K 2,准线交x 轴于点G ,
易知()()11cos ==22AF GF AF p p GF p
AK AK θ⎧
⎪⋅+=
⎪
⎪
⎨⎪
⎛⎫⎪--= ⎪⎪⎝⎭⎩
几何关系抛物线特性
所以AF ·cos θ+p=AF , 同理AF =
1cos P θ-,BF =1cos P θ
+,
所以AB =
2
21cos P θ
-=
2
2sin P
θ
,
又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为
2
π
+θ, DE =
222sin P πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
=2
2cos P
θ
, 而y 2
=4x ,即p=2.
所以AB +DE =2p 22
11
sin
cos θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
=422
22sin cos sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=2
4124
sin θ =
2
16
2sin θ
≥16,当θ=
4
π
取等号, 即AB +DE 最小值为16,故选A.
1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 ( ) A.13
B.12
C.23
D.34
【解析】选B.设椭圆的标准方程为22x a +22y b
=1(a>b>0),右焦点F (c ,0),则直线l 的方程为
x
c +y b =1,即bx+cy-bc=0,
由题意可知12
b ,又a 2=b 2+
c 2,得b 2c 2
=14b 2a 2, 所以e=c a =12
.
2.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同
已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22
22x y a b
+ =1(a>b>0)的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P
为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A.1
3
B.12
C.23
D.34
【解题指南】点M是直线AE和直线BM的交点,点M的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c的联系.
【解析】选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直线AE的方程为y=k()
x a
+,令
x=0可得点E坐标为()
0,ka,所以OE的中点H坐标为
ka
0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,又右顶点B(a,0),所以可得
直线BM的斜率为-k
2
,可设其方程为y=-
k
2
x+
k
2
a,联立
()
y k x a,
k k
y x a,
22
⎧=+
⎪
⎨
=-+
⎪
⎩
可得点M横坐标
为-a
3
,又点M的横坐标和左焦点相同,所以-
a
3
=-c,所以e=
1
3
.
1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T5)已知方程
22
22
x y
1
m n3m n
-=
+-
表示双曲线,且该双曲
线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()
A.(-1,3)
B.(-1
,) C.(0,3) D.(0
)
【解析】选A.
22
22
x y
1
m n3m n
-=
+-
表示双曲线,
则(m2+n)(3m2-n)>0,
所以-m2<n<3m2,由双曲线性质知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c是半焦距,所以焦距2c=2·2|m|=4,
解得|m|=1,所以-1<n<3.
2.(2016·全国卷Ⅱ理科·T11)已知F1,F2是双曲线E:
22
22
x y
-
a b
=1的左、右焦点,点M在
E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=1
3,则E的离心率为()
B.3
2
D.2
【解题指南】△MF1F2为焦点三角形,可联想到双曲线的定义.知道sin∠MF2F1=1
3
,可想到
正弦定理.利用正弦定理转化边的比为角的正弦的比.
【解析】选A.离心率e=1221F F MF MF -,由正弦定理得e=12
21F F MF MF -=12sinM
sinF sinF -
=31
13
-
=
.
1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知
|AB|=4
|DE|=2则C 的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得. 设抛物线为y 2
=2px (p>0),设圆的方程为x 2
+y 2
=r 2
,题目条件翻译如图:
设A (x 0,
2
D p
2⎛
-
⎝, 点A (x 0,
2在抛物线y 2
=2px 上,所以8=2px 0. ①
点
D p 2⎛- ⎝在圆x 2+y 2=r 2上,所以5+2
p 2⎛⎫- ⎪⎝⎭
=r 2
. ②
点A (x 0,
2在圆x 2+y 2=r 2上,所以20x +8=r 2
. ③ 联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.
2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T5)设F 为抛物线C :y 2
=4x 的焦点,曲线y=k x
(k>0)与C 交于
点P ,PF ⊥x 轴,则k= ( ) A.12
B.1
C.3
2
D.2
【解题指南】P 是两条曲线的交点,先利用抛物线方程y 2
=4x 求出交点坐标,再代入曲线方程y=k x
.
【解析】选D.因为抛物线方程是y 2
=4x ,所以F (1,0).
又因为PF ⊥x 轴,
所以P (1,2),把P 点坐标代入曲线方程y=k
x
(k>0),
即
k
1
=2,所以k=2. (2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T5)已知M(x 0,y 0)是双曲线C:x 2
2-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→
·MF 2→
<0,则y 0的取值范围是 ( ) A .（-，） B.（-
，） C.（
） D.（，）
【解题指南】将M(x 0,y 0)
代入到双曲线x 2
2-y 2=1
中,确定
x 0,y 0之间的关系,利用M 1F u u r ·M 2F u u r
<0,
确定y 0的取值范围.
【解析】选A.因为)0,3(1-F ,)0,3(2F ,12
2
020=-y x ， 所以),3(0021y x MF ---=⋅),3(2
00y x --⋅032020<-+=y x ，
即0132
0<-y ，解得3
3330<<-
y 9.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T11)已知A,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为 ( ) A.√5
B.2
C.√3
D.√2
【解题指南】求出点M 的坐标,代入到双曲线方程x 2a 2-y 2b
2=1(a>0,b>0)中,得出a,b,c 之间的关系,然后确定离心率.
【解析】选D.设双曲线方程为x 2a 2-y 2
b 2=1(a>0,b>0),如图所示,
3333
363
6
3-
33-3
|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M 作MN ⊥x 轴,垂足为N, 在Rt △BMN 中,|BN|=a,|MN|=√3a,故点M 的坐标为M(2a,√3a), 代入双曲线方程得a 2=b 2=c 2-a 2,即c 2=2a 2,所以e=√2.
18.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T15)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=±1
2x,则该双曲线的标准方程为 .
【解题指南】由双曲线渐近线方程为y=±1
2x,设出双曲线方程为x 2
4-y 2=m,将点(4,√3)代入双曲线方程求得m 的值.
【解析】根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程为 ，把代入，得.
答案： (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )
A.
B. C. 63
32
D.
9
4
【解题提示】将三角形OAB 的面积通过焦点“一分为二”,设出AF,BF,利用抛物线的定义求得面积.
【解析】选D.设点A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34
·34
解得m=32
),n=3
2
),所以m+n=6.所以
1
2
y x =±224x y m -=(
32
24
x y m -=1m =2
214
x y -=
S △OAB =1324
·(m+n)=9
4.故选D.。