天津南开中学2016届高三数学(文科)试卷有答案

天津南开中学2016届高三第五次月考
数 学(文史类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)复数212i i
+-等于
A ．i
B ．i - C. 1D .1-
(2)已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充 分条件，则下列命题是真命题的是
A ．p q ∧
B .p q ⌝∧ C.p q ⌝∧⌝ D.p q ∧⌝
(3)记集合22{(,)|16}A x y x y =+≤，集合{(,)|40,(,)}B x y x y x y A =+-≤∈表 示的平面区域分别为12,ΩΩ.若在区域1Ω内任取一点(,)P x y ，则点P 落在区域2Ω中的
概率为
A ．24ππ
-
B ．324ππ+
C ．24ππ+
D ．32
4ππ
-
(4)运行如下图所示的程序，则输出的结果为
A ．7
B ．9
C ．10
D ．11
(5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为
A ．
π+
B ．
2π+
C ．
2π+D ．π+
(6)已知函数
sin 2y x x =-，下列结论正确的个数是
①图象关于
12x π=-
对称②函数在[0，2
π]上的最大值为2
③函数图象向左平移6
π个单位后为奇函数 A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
(7)已知定义在R 上的函数2()1|1()|f x x m =---关于y 轴对称，记
(2),
a f m =+12
51(log ),()
2
b f
c f e ==则,,a b c 的大小关系是 A ．c a b << B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．a b c <<
(8)已知函数
||()2
x f x x =
+，若关于x 的方程2()f x kx =有4个不同的实数解，则k 的取值
范围是 A ．1k >
B ．1k ≥
C ．01k <<
D ．01k <≤
天津南开中学2016届高三第五次月考
数 学(文史类)
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2. 本卷共12小题，共110分。

二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.
(9)已知集合
{1,}A a =-，{2,}a B b =，若{1}A B =，则A B =．
(10)在学生人数比例为2:3:5的A ，B ，C 三所学校中，用分层抽样方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出了6名志愿者，那么n =．
(11)如图，AB 是O 的直径，且3AB =，CD AB ⊥于D ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交O 于F
，若CD = 则EF =．
(12)已知双曲线2
2
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，
且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的方程为．
(13)已知四边形ABCD ，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为,E O 为四边形ABCD 外一点，设
||5,||3,OB OD ==则
()()OA OC OB OD +⋅-=．
(14)设0,0a b >>且不等式1
10k
a b a b
++≥+恒成立，则实数k 的最小值为． 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
(15)(本小题满分13分)
在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知△ABC 的面积为3sin A
，周长为
1)
，且sin sin B C A +=.
(1)求a 及cos A 的值； (2)求
cos(2)
3
A π-的值.
(16)(本小题满分13分)
某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少。

今年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大。

已知两种产品直接受资金和劳动力的限制。

根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如下表：(表中单位：百元)试问：怎样确定两种货物的进货量，才能使五一期间的总利润最大，最大利润是多少？
(17)(本小题满分13分)
己知三棱柱111ABC A B C -，1
A 在底面ABC 上的射影恰为
AC 的中点D ，90BCA ∠=︒，2AC BC ==，又知
11BA AC ⊥
(1)求证：1AC ⊥平面1A BC ； (2)求点C 到平面1
A A
B 的距离；
(3)求二面角1
A A
B
C --的余弦值．
(18)(本小题满分13分)
已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
1,,
2
n n S a 成等差数列. (1) 求数列{}n
a 的通项公式；
(2) 设
22n b n a -=，设
n n n
b c a =
，求数列{}n c 的前n 项和n T .
(19)(本小题满分14分) 设椭圆
)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点分别为2
1F F 、，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足2
11F F BF =，且2AF AB ⊥.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)若过2
F B A 、、三点的圆恰好与直线
033:=--y x l 相切，求椭圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于N M 、两点，在x 轴上是否存在点(,0),P m 使得以PN PM ,为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由.
(20)(本小题满分14分) 已知函数
32
11()32f x ax bx cx
=++(0a >). (1)若函数)(x f 有三个零点分别为123
,,x x x ，且3321-=++x x x ，129x x =-，求函数)(x f 的
单调区间； (2)若
1(1)2
f a
'=-，322a c b >>，证明：函数)(x f 在区间(0，2)内一定有极值点；
(3)在(2)的条件下，若函数)(x f
的两个极值点之间的距离不小于b a
的取值范围.
天津南开中学2016届高三第五次月考
数 学(文史类)参考答案
一. 选择题
15.【解析】
2222221
sin 3sin 6
2
1)1)4
()2121
cos 22123sin 377
sin 2,cos(2)99318
S bc A A bc b c a a b c a b c bc a a A bc bc A A A A π==∴=+=∴=+∴=+-+---====
∴=
∴==--=
16.
百元，32710,x y x y x N y +≤+∈⎧⎪
⎨⎪⎩
5
48
y x =-+
由
3244710156
x y x y +=+=⎧⎨
⎩可得(8,10)A ，平移
5
48
z y x =-+
经过(8,10)A 点时截距8
z 最大，即目标
函数z 最大，此时108810160z =⨯+⨯=百元.
17.【解析】
(1)90BCA ∠=︒得BC AC ⊥，因为1
A D ⊥底ABC ，所以1
A D BC ⊥，
1A D
AC D =，所以BC ⊥面1A AC ，所以1BC AC ⊥
因为11BA AC ⊥，1
BA
BC B =，所以1AC ⊥底1A BC
(2)由(1)得11AC AC ⊥，所以11A ACC 是菱形，
所以112AC AA AC ===
，1AB A B == 由11C AA B
A ABC V
V --=
，得
h =
(3)设1
1
AC
AC O =，作1OE A B ⊥于E ，连AE ， 由(1)所以1
A B AE ⊥，所以AEO ∠为二面角平面角， 在1
Rt A BC ∆
中
OE AO AE ==
，所以cos α=
18.【解析】 (1)由已知得
122n n a S =+，0n a >，当1n =时，11122a a =+，112a ∴=
当2n ≥时，122n n a S =+，11122
n n a S --=+
两式相减得
11
22 2(2)
n
n n n n a a a a n a --=-∴=≥
数列{}n
a 是12
为首项，2为公比的等比数列
22n n a -= (2)由
22n b n a -=42n b n
∴=-3
22
n n n n b n c a --∴==由错位求和得
32n n n T -=
19.【解析】
(1)设B (x 0，0)，由2
F (c ，0)，A (0，b )
知
),(),,(02b x AB b c AF -=-=c
b
x b cx AF 2
202,0,-==+∴⊥ ，
由于211F F BF =即1F 为2BF 中点．
故
c
c c
b 22
-=+-22223c a c b -==∴故椭圆的离心率21=e …………4分 A 1
B 1
C 1
A
B
C
D
E O
(2)由(1)知,21=a c
得a c 21=于是2F (21a ，0)， B )
0,2
3
(a -，
△2
ABF 的外接圆圆心为(
2
1-a ，0)，半径r =A F 1=a ，
所以a a =--2|321|，解得a =2，∴c =1，b =3，所求椭圆方程为1342
2=+y x 。

…8分 (3)由(2)知)0,1(2F ， l ：)1(-=x k y
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134
)1(2
2y x x k y 代入得01248)43(2222=-+-+k x k x k
设),(11y x M ，),(22y x N
则
2
221438k k x x +=
+，)2(2121-+=+x x k y y -………………10分 =-+-=+),(),(2211y m x y m x ),2(2121y y m x x +-+
由于菱形对角线垂直，则
⋅+)(0=)
1k ，的方向向量是（
故02)(2121=-+++m x x y y k 则02)2(2
1212=-++-+m x x x x k
2
k )2438(2
2-+k k 0243822
=-++
m k k ………………12分
由已知条件知0≠k 且R k ∈
4314322
2
+=+=
∴k
k k m 4
10<
<∴m
故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是
4
10<
<m ． ………………14分
20.【解析】 (1)因为
211()()
32
f x x ax bx c =++，又123
3x x x ++=-，129x x =-，则 30x =，123,x x +=- 129x x =-……………1分
因为x 1，x 2是方程2
1
1
032
ax bx c ++=的两根，
则
332b
a -=-，39c a =-，得2
b a =，3
c a
=-， ……………3分
所以
2
2
()()
b c f x ax bx c a x x a a
'=++=++ 2(23)a x x =+-(1)(3)a x x =-+.
令0)(/=x f 解得：1,3x x ==-
故()f x 的单调递减区间是(－3，1)，单调递增区间是(,3),(1,)-∞-+∞．
……………5分
(2)因为2()f x ax bx c '=++，
1(1)2f a '=-，所以12
a b c a
++=-，即3220a b c ++=. 又0a >，322a c b >>，所以30,20a b ><，即0,0a b ><.
…………… 7分
于是
(1)0
2
a
f '=-<，(0)f c '=，(2)424(32)f a b c a a c c a c '=++=-++=-. …………… 8分
① 0c >时，因为
(0)0,(1)0
2
a
f c f ''=>=-<，而()f x '在区间(0,1)内连续，则()f x '在区间(0,1)内至少有一个零点，设为x =m ，则在(0,)x m ∈，()f x '>0，()f x 单调递增，在
(,1)x m ∈，()f x '<0，()f x 单调递减，故函数()f x 在区间(0,1)内有极大值点x =m ；
……………9分
②当0c ≤时，因为
(1)0,(2)0
2
a
f f a c ''=-<=->，则()f x '在区间(1，2)内至少有一零点. 同理，函数()f x 在区间(1，2)内有极小值点. 综上得函数)(x f 在区间(0，2)内一定有极值点．
…………… 10分
14分。