光学习题集(1-3章)

δ = (n − 1)α ，其中 n 是光楔的折射率， δ 是指入射光经过两折射面折射后，出射
光线与入射光线之间的夹角。 解： 如图所示， 入射光垂直第一个折射面入射， 光线不发生折射， 光线在第二个折射面折射， 光的折射定律有： 据几何关系有： 则： 因 α 很小，所以有： 有：
n sin i = sin i ' ； i =α ；
r 2
1．12 手头只有一个白炽灯，如何简便地估计一个凹面反射镜地曲率半径和焦距？ 答： 若将白炽灯放到凹面反射镜地焦点上，则经凹面反射镜反射地光为平行光。反射镜的 曲率半径等于两倍的焦距。 1．13 一双凸透镜的两表面半径均为 50cm，透镜材料折射率 n = 1.5 ,求该透镜位于空气中 和侵入水中（ n0 = 1.33 ）时的焦距分别为多少？ 解： （1）位于空气中时：
n sin α = sin i '
sin α ≈ α , sin i ' ≈ i '
n ⋅ α = i'
∴δ = i'−i = nα − α = (n − 1)α .
1．7 在甚么条件下，附图中夫人折射球面起汇聚作用，在甚么条件下起发散作用？ 解：表征单球面折光本领的量为光焦度 Φ ，
Φ=
n'−n r
1 1.5 1 − 1.5 − = p2 ' − 20 − 10
有：
p2 ' = −40cm
垂直轴放大率：
β2 =
n2 p2 ' 1.5 × (−40) = =3 n2 ' p2 1× (−20)
总垂直轴放大率：
β = β 1 ⋅ β 2 = −3
所以小物体经玻璃棒成像在第二球面前方 40cm 处，玻璃棒得垂直轴放大率为－3。 1．10 如图所示为通光口径为 R，材料折射率为 n 得平凸透镜。若要求对平行光轴得全部 光线（不受傍轴限制）均能聚焦于 F (0. f ' ) .试用费马原理导出透镜凸面的曲面方程 式。 解： 如图，标出各已知点的坐标 P( x, y, z ) ，选取曲面上任意点 P 的坐标为，据费马原理 光沿 ARF 传播的光程＝光沿 BPF 传播的光程
pq利用主光线和边缘光线作图即从点出发得一条光线先过入瞳中心再过孔径光阑中心最后经出瞳中心出射另一条从点发出的光线先经过入瞳边缘再经过孔径光阑边缘最后经出瞳边缘出射两条光线的交电即为第二章光波场的描述21一维简谐平面波函数表示什么
第一章
几何光学
1．1 试讨论平行光束从空气进入水中折射后，光束截面积的变化。 解：设入射光束在界面上所照射的面积为σ，如下图所示，由反射定律和折射定律可得出入 （反）射光束和折射光束的截面积分别为： σ cos i1, σ cos i 2 。 1．2 激光束经平面反射镜反射到距镜 50 厘米的接收屏上，反射光近似与接收屏垂直。当 平面镜转动多大角度时，接收屏上光斑移动 5 厘米？此装置有何用途？ 解：由图可知： ∵ ∴
式和焦距表达式。 解：
n' n n'−n − = p' p r
令 n' =
− n ，代入上式
1 1 r + = p' p 2
有：
−n n −n−n − = p' p r
∴
有：
上式即为球面反射成像公式。由：
f '=
n' r nr ; f =− n'−n n'−n
令 n' =
− n ，代入上两式
有：
f '= f =
n' n n'−n − = p1 ' p r
有：
n 1.5 1.5 − 1 − = p1 ' − 20 5
p1 ' = 30cm
垂直轴放大率：
β1 =
n1 p1 ' 1× 30 = = −1 n1 ' p1 1.5 × (−20)
（3） 再经过第二个球面折射成像 由：
p2 = p1'−d = 30 − 50 = −20(cm)
β = 2α '−2α ;θ = α '−α ；
β = 2θ ；
β = 5cm / 50cm = 0.1弧度 θ =0.05弧度＝2度51分53秒
答：平面镜应转 0.05 弧度。 1．3 试证明：一束平行光相继经过几个平行分界面的多层介质折射时，出射光线的方向 只与入射光的方向及入射光空间和出射光空间介质的折射率有关，与中间各层介质 无关。 解：如图所以：入射光在每个分界面上，光线满足折射定律，同时光线（在同一层媒质中上 界面的折射角与下界面的入射角相同）经过的界面都时平行的。 有：
HF = HO, IF = IP, JF = JQ;
则AH + HF = BI + IF = CJ + JF = ""
即[AHF ]= [BIF ]= [CJF ]= ""
∴平行于光轴的光线到达抛物面镜焦点的光程均相等。 1．6 顶 角 α 很 小 的 棱 镜 ， 常 称 为 光 楔 。 证 明 光 楔 使 垂 直 入 射 的 光 线 产 生 偏 向 角
S = 20 − 5 = 15 cm
S ' = 20cm
由高斯成像公式： 得： 1．17
f' f' − =1 20 15
f ' = −60cm
附图是移透镜系统和相应得光瞳，试用作图法求物体 PQ 得像。 （提示：用主光线和 边缘光线成像，即从物点 Q 分别作经入瞳，孔径光阑，出瞳中心和边缘得两条光线 成像。 ）
解： 利用主光线和边缘光线作图，即从
Q 点出发得一条光线先过入瞳中心，再过孔径光阑 Q 点发出的光线先经过入瞳边缘，再经过孔
中心，最后经出瞳中心出射，另一条从
径光阑边缘，最后经出瞳边缘出射，两条光线的交电
Q ' 即为 Q 点的像点。
第二章
2．1 一维简谐平面波函数 E ( p, t )
光波场的描述
答： （1）
φ0 =
π
2
（2） 波沿 x 方向传播，电场强度振动方向为方向 y 。 （3）
H z = 2 cos[2π ×1014 (t − x c) + π 2]
x )]} 0.66c
2．3 一单色平面光波再玻璃中沿 x 轴方向传播，其波函数为
E ( p, t ) = A exp{−i[π ×1015 (t −
（1） 图中 r 为正值，当 n' > n 时 Φ > 0 起汇聚作用，当 n' < n 时 Φ < 0 起发散作用。 （2） 图中 r 为负值，当 n' > n 时 Φ < 0 起发散作用，当 n' < n 时 Φ > 0 起汇聚作用。 答： （1） n' > n 时，汇聚； n' < n 时发散。 （2） n' > n 时，发散； n' < n 时汇聚。 1． 8 若空气中一均匀球体形透明体能将平行光束汇聚于其背面的顶点上， 此透明体的折射 率应等于多少？ 解：设球体的半径为 R 据题意球体的焦距
8
2．4
一单色光波，传播速度为 3 × 10
m s ，频率为 5 ×1014 Hz ，问沿着光波传播方向
上相位差为 90° 的任意两点之间的最短距离为多少？ 解：
c 3 ×108 λ= = = 0.6 ×10−6 m = 0.6μm v 5 ×1014
L=(
π 2 λ )λ = = 0.15μm 2π 4
试求： （1）光波的频率； （2）光波的波长； （3）玻璃的折射率。 解： （1）
v = 5 ×1014 Hz
c 3 ×108 λ= = = 0.6 ×10 −6 m = 0.6μm 14 v 5 ×10
（2）
（3）
c 3 × 108 1 n= = = = 1.515 v 0.66 × 3 ×108 0.66
E x = 0, Ez = 0, E y = 2 cos[2π ×1014 (t − x c) + π 2]
问： （1）该电磁波的频率，波长，振幅和原点的初相位为多少？ （2）波的传播方向，电场强度矢量各为哪个方向？ （3）写出磁场强度的表达式。
ν = 1014 Hz
c 3 × 108 = 3 × 10 −6 m = 3μm λ= = 14 v 10 A = 2V m
nz + x 2 + y 2 + ( f − z ) 2 = R 2 + f 2 ;
( n 2 − 1) z 2 − 2(n R 2 + f 2 − f ) z + ( x 2 + y 2 ) = − R 2
上式表示以 z 轴为回转轴的回转双曲面方程式。 1．11 试证明：单球面折射公式
n' n n'−n − = 中，若假设就得到球面反射镜的成像公 p' p r
n1 sin i1 = n2 sin i2 = n3 sin i3 = L L = n qsini q ；
即：
sin i
q
=
n1 sin i1 nq
∴ 从多层平行媒质出射的光线反向仅与入射光线方向和最外层媒质的折射有关。 1．4 物点 A 经平面镜成像于像点 A' ， A 和 A' 是一对共轭等光程点吗？ 解：是。 可以证明：从物点 A 到像点 A' 到所有光线都是等光程的。即：
解： （1）待测凹透镜得物方焦点 L 2 应在 A1 点。其焦距
f =l −d
。
（2）略。 1．16 如图所示， L1 ， L 2 分别为凸透镜和凹透镜。前面放一小物，移动屏幕到 L 2 后 20cm 的 S 1 处接到像。现将凹透镜 L 2 撤去，将屏移前 5cm 至 S 2 处，重新接收到像。求凹 透镜 L 2 的焦距。 解： 此题为利用物距－像距测发散透镜的焦距的移种方法， 题中 L1 是此方法中的辅助透镜。 据题意，无 L 2 时所成的实像正是 L 2 引入后的虚物，此时对 L 2 来说： 物距： 像距：
AO − OA' = AN − NA' = "" = 0 (虚像光程为负值。 )
同样可以证明， A ， A' 点是共轭点。若光线反方向入射，入射光的虚物点为 A' ,则反 射光程实像，像点为 A 。 ∴ A ， A' 是一对共轭等光程点。平面镜是理想成像系统。 1．5 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上，反射后会聚于焦点 F 处。所有光线到达 焦点上的光程相等吗？如何证明？ 解 据题意， 光线行进情况如下图所示： 抛物面镜的截面是意抛物线， ∑是入射光线的波面， F 是抛物面镜的焦点， MN 为抛物线的准线。 波面∑上各条光线经抛物面镜会聚于焦点 F 上， 使波面上任意入射光线的延长线与准线相交。根据抛物线的性质有：
x x = A cos w(t − ) 中， 表示什么？如果把波函数 v v
写成 E ( p, t ) =
A cos( wt −
wx wx )， 表示什么？ t t
答：

x 是光矢量的振动状态从原点传播到 P 点的时间。 v
wx 是 P 点光矢量的相位相对原点相位的延迟。 t
2．2 一个平面电磁波可以表示为：
f ' 。据
薄透镜成像公式
1 1 1 − = p' p f '
有
1 1 1 − = 20 − 15 f ' 1 7 = f ' 60
已知
f ' = 12cm
1 1 1 = + f ' f1 ' f 2 '
所以：
7 1 1 = + 60 12 f 2 ' f 2 ' = 30cm
答：在物镜上贴加一个焦距为 30cm 的正透镜。 1．15 将光源 A 经凸透镜 L1 成像于 A1 ，测得像距为 l ，在凸透镜和 A1 之间依次放待测焦 距的凹透镜 L 2 和平面镜 M ，如附图所示，移动 L 2 使得 A 经整个系统所成得像恰 （1） 凹透镜 L 2 得焦距为多少?（提示： 好返回 A ， 这时测得 L1 和 L 2 之间距离为 d 。 本题使利用自聚焦法测凹透镜得焦距） ； （2）绘出光路图。
f = 2R
由
Φ=
f '=
n'−n n' = R f'
n' R = 2R n'−n
有
以 n = 1 代入，得 1．9
n ' = 2.0
一玻璃棒（n=1.5） ，长 50cm，两端面为半球面。半径分别为 5cm 和 10cm 一小物高
0.1cm，垂直位于左端球面顶点之前 20cm 处的轴线上，求： （1）小物经玻璃棒成像在何处? （2）整个玻璃棒的垂直轴放大率为多少？ 解： （1）小物经第一个球面折射成像 由球面折射成像公式：
即：
f ' = − f = 195.6(mm)
可见：当把该透镜浸入到水中时，焦距由 50mm 变成了 195.6mm。 1．14 照相机的物镜是焦距为 12cm 的薄透镜，底片距透镜最大距离为 20cm，拍摄物镜前 15cm 处的景物，要在物镜上贴加一个多大焦距的薄透镜？ 解： 由题意知：要求物镜上加一薄透镜后物镜为 15cm，像距为 20cm，设合焦距为
1 1 1 1 1 1 )= = (n − 1)( − ) = (1.5 − 1)( − 50 − 50 50 f' r1 r2
即：
f ' = − f = 50(mm)
（2）位于水中时：
n 1 1 1.5 1 1 1 = ( − 1)( − ) = ( − 1)( − ) f ' n0 r1 r2 1.33 50 − 50