垂径定理

垂径定理、圆心角、圆周角
一、重难点
（一）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
（平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
PS:几何语言表达
①CD 是直径 ②CD ⊥AB
⇒③AM=BM ④AC=BC ⑤AD=BD
PS: 其中任意两个成立，其他三个都成立
Eg:CD 是直径，AM=BM ，则有CD ⊥AB,AC=BC,AD=BD
1.如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。

求证：A D B D a b
·=-22
A C E D B
O
2.如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ，矩形EFGH 的两顶点E 、F 在弦AB 上，H 、G 在AB ⋂上，且EF ＝4HE ，求HE 的长。

D
H M G
A B
O E F N
3.如图，⊙O 的两弦AB ，CD 互相垂直于H ，AH ＝4，BH ＝6，CH ＝3，DH ＝8，求⊙O 半径。

C
A H B
O
D
4.为圆O 的直径，C 在圆O 上，∠ABC 的平分线交圆O 于D ，交CA 于E ，已知BC=6，AC=8，求CD 的长。

O
A B
C D
E
C D
A B M
5.为圆O 的直径，割线l 交圆O 于M 、N ，AC ⊥l ，且交圆O 于E ，BD ⊥l 于D ，若AB=10，AC=7，BD=1，求OC 的长。

6.如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为
7.AB 是直径，CD 是弦，AF ⊥CD 于F ，BE ⊥CD 于E
（1）求证：CE=DF （2）若AF=32，BE=8，求点O 到CD 的距离。

O
A
C D B E
F
归纳总结：在圆内，关于弦的问题，常需要经过圆心作弦的垂线，利用弦心距、半径、弦长的一半构建直角三角形， 将问题转化为直角三角形的问题
（二）圆心角、圆周角定理：在等圆或同圆中，等弧（同弧）所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角一半。

PS: 重要推论: ①直径所对的圆周角等于90°,（90°的圆周角所对的弦是直径）②在等圆或同圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距，这四组量，有一组相等，那么其余各组量都相等 1.已知：如图，C 为⊙O 直径AB 上一点,过C 点作弦DE,使CD ＝CO,若AD ⋂度数为50°，求BE ⋂的度数。

D
B O
C A
E
2..AB 的○o 的直径，C,D 是AB 上的点，且AC=BD,P,Q 是○O 上在AB 同侧的两点，且AP=BQ,延长PC,QD 分别交○o 于点M,N ，求证：AM=BN
3.如图，AD 是○o 的直径，∠CAD=30°OB ⊥AD,交弦AC 于点B,若OB=5，求BC 的长
4.如图所示，M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，AB ＝CD 。

求证：∠AMN ＝∠CNM
A C
M N
B D
O
5.如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，证明：
(1)∠CAE=∠BAD ;(2) CD.AB=BE.AD
C D A B Q P N
M A
D
C
B O
6.如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB=8，CD=2，求EC 的长
7.如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE=4，CD=6，则AE 的长
8.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 与点E ，点P 在⊙O 上，∠1=∠C ，
（1）求证：CB ∥PD ；
（2）若BC=3，5
3 AD DE ，求⊙O 的直径．
9.如图，在△ABC 中，以BC 为直径作半圆0，交AB 于点D ，交AC 于点E ．AD=AE
(1)求证：AB=AC ；
(2)若BD=4，BO=25，求AD 的长．。