八年级数学上册1.3勾股定理的应用同步练习3(含解析)北师大版

勾股定理的应用
一、选择题
1．已知直角三角形的周长为62 ，斜边为2，则该三角形的面积是( ）．
A 。

4
1
B.4
3 C 。

2
1
D.1
2．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（ )． A.7 B 。

7或41
C 。

24
D.24或7
二、填空题
3．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°,AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______．
4．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高BE ＝______．
5．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高CD ＝______．
6．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．
7．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°,AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______．
三、解答题
8．如图，在Rt△ABC 中,∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点,AD ＝5，BE ＝102求
AB 的长．
9．在数轴上画出表示10
及13的点．
10．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20,AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．
11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合,已知AB＝3，AD＝9,求BE的长．
12．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．
13．已知：如图,△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE ⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．
14．如图,已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l
，l2,l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?
1
15。

如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB丄BD，ED丄BD,连接AC,EC.已知AB = 5，DE=1，BD=8,设CD=x。

（1)用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3)根据(2）中的规律和结论，请构图求出代数式()2
24129
++-+的最小值。

x x
16。

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明.著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系（勾股定理)"带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话"的语言。

定理表述
请你根据图（1）中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)。

尝试证明
以图（1）中的直角三角形为基础，可以构造出以a ，b 为底，以a+b 为髙的直角梯形（如图（2))，请你利用图(2）验证勾股定理.
知识拓展
利用图（2）中的直角梯形，我们可以证明2a b
c
+<,其证明步骤如下： ∵BC=a+b,AD= ，
又∵在直角梯形ABCD 中，有BC AD （填大小关系），即 ， ∴2
a b c
+<
参考答案
1．C ． 2．D 3．;3434
15
,
34 4．16，19。

2． 5．52，5．
6．.43
2a
7．6，36，33．
8．.132 提示：设BD ＝DC ＝m ，CE ＝EA ＝k ，则k 2
＋4m 2
＝40,4k 2
＋m 2
＝25．AB ＝.1324422=+k m
9．,3213,31102222+=+=图略．
10．BD ＝5．提示:设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt△ACD 中根据勾股定理列出（30－x ）2
＝(x ＋10)2
＋202
，解得x ＝5．
11．BE ＝5．提示：设BE ＝x ,则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt△ABE 中，AB 2
＋
AE 2＝BE 2，∴32＋（9－x ）2＝x 2．解得x ＝5．
12．EC ＝3cm ．提示:设EC ＝x ，则DE ＝EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，BF ＝622=-AB AF ，CF ＝4．在Rt △CEF 中（8－x )2
＝x 2
＋42
，解得x ＝3．
13．提示：延长FD 到M 使DM ＝DF ,连结AM ，EM ．
14．提示：过A ，C 分别作l 3的垂线,垂足分别为M ，N ，则易得△AMB ≌△BNC ，则
.172,34=∴=AC AB
15。

思想建立（1）要求AC ＋CE 的长,只需分别在Rt△ABC 和Rt△CDE 中利用勾股定理求出AC ，CE 的长即可；（2）要使AC ＋CE 的值最小,就须满足AC ，CE 在同一条直线上；(3)根据题意，先画出满足题意的图形,再根据勾股定理求解即可.
解：(1）()2
28251x x -+++.
(2)当A,C,E 三点共线时，AC ＋CE 的值最小。

（3）如图所示,作BD ＝12,过点B 作AB ⊥BD,过点D 作ED ⊥BD ，使AB ＝2，ED ＝3,连接AE 交BD 于点C ，设BC ＝x,则AE 的长即为代数式以()2
24129x x ++-+的最小值，
过点A 作AF ∥BD 交ED 的延长线于点F,得长方形ABDF,则AB ＝DF ＝2，AF ＝BD ＝12,EF ＝ED ＋DF ＝3＋2＝5，所以()2
2123213AE =++=，即()224129x x ++-+的最小值为13.
16.思想建立重要验证勾股定理,就是要证明a 2＋b 2＝c 2。

利用面积关系:S 梯形ABCD ＝S Rt △ABE ＋S R t△DEC ＋S Rt △AED 即可证明a 2
＋b 2
＝C 2
.
解：［定理表述］如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2
+b 2
=c 2。

［尝试证明］∵RtΔABE≌RtΔECD，∴∠AEB=∠EDC. 又∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°， ∴∠AED=90°.
∵S 棒形ABCD =S RtΔABE +S RtΔDEC +S RtΔAED ， ∴
12（a+b ）（a+b ）=12ab+12ab+12
c 2
， 整理，得a 2
+b 2
=c 2。

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