【典型题】九年级数学上期末第一次模拟试卷(带答案)

【典型题】九年级数学上期末第一次模拟试卷(带答案)
一、选择题
1．关于x 的方程（m ﹣3）x 2﹣4x ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值花围是（ ） A ．m≥1 B ．m ＞1 C ．m≥1且m≠3 D ．m ＞1且m≠3 2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A ．正三角形
B ．平行四边形
C ．正五边形
D ．正六边形 3．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是( )
A ．2023
B ．2021
C ．2020
D ．2019
4．一元二次方程的根是（ ）
A ．3x =
B ．1203x x ==-，
C ．1203x x ==，
D ．1203x x ==，
5．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是
A ．点A 在圆外
B ．点A 在圆上
C ．点A 在圆内
D ．不能确定 6．五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x ，则可列方程是（ ） A ．400(1)640x +=
B ．2400(1)640x +=
C ．2400(1)400(1)640x x +++=
D ．2400400(1)400(1)640x x ++++=
7．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( ) A ．
59
B ．
49
C ．
56
D ．
13
8．若将抛物线y=x 2平移，得到新抛物线2
(3)y x =+，则下列平移方法中，正确的是（ ） A ．向左平移3个单位 B ．向右平移3个单位 C ．向上平移3个单位
D ．向下平移3个单位
9．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ） A ．
12
B ．
14
C ．
16
D ．
112
10．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为280m 的矩形花圃（墙长为12m ），围栏总长度为28m ，则与墙垂直的边x 为（ ）
A ．4m 或10m
B ．4m
C ．10m
D ．8m
11．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交
AB 于点E ，交AC 于点F .P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )
A ．4－
9
π
B ．4－
89
π C ．8－
49
π D ．8－
89
π 12．二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )
A ．0abc >
B ．20a b +<
C ．30
a c +<
D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根
二、填空题
13．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点C 的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a 1x 2+b 1x+c 1，则下列结论正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
①b ＞0；②a ﹣b+c ＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b 2=4a ．
14．已知二次函数y ＝3x 2+2x ，当﹣1≤x ≤0时，函数值y 的取值范围是_____．
15．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路 3035t ≤≤ 3540t <≤ 4045t <≤ 4550t <≤ 合计
A 59 151 166 124 500
B 50 50 122 278 500 C
45
265
167
23
500
早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
16．如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，AB=4，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C ，以点D 为顶点，作90°的∠EDF ，与半圆交于点E ，F ，则图中阴影部分的面积是____．
17．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x 2
﹣6x ﹣16，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的线段CD 的长为_____．
18．如图，点A 是抛物线2
4y x x =-对称轴上的一点，连接OA ，以A 为旋转中心将AO 逆时针旋转90°得到AO ′，当O ′恰好落在抛物线上时，点A 的坐标为______________．
19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a≠0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．
20．函数 2
y 24x x =-- 的最小值为_____.
三、解答题
21．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m 的住房墙，另外三边用27m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，所围矩形猪舍的长，宽分别为多少米时，猪舍面积为96m 2？
22．如图，斜坡AB 长10米，按图中的直角坐标系可用3
5y x =-
+表示，点A ，B 分别在x 轴和y 轴上，且30OAB ︒∠=．在坡上的A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B 处，抛物线可用2
13
y x bx c =-
++表示．
（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）； （2）求水柱离坡面AB 的最大高度；
（3）在斜坡上距离A 点2米的C 处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？ 23．为了创建国家级卫生城区，某社区在九月份购买了甲、乙两种绿色植物共1100盆，共花费了27000元．已知甲种绿色植物每盆20元，乙种绿色植物每盆30元． （1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物各多少盆？
（2）十月份，该社区决定再次购买甲、两种绿色植物．已知十月份甲种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠5
a
元()0a >，十月份乙种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠
2
%5
a ．因创卫需要，该社区十月份购买甲种绿色植物的数量比九月份的数量增加了
1
%2
a ，十为份购买乙种绿色植物的数量比九月份的数量增加了%a ．若该社区十月份的总花费与九月份的总花费恰好相同，求a 的值．
24．如图，某小区规划在一个长16m ，宽9m 的矩形场地ABCD 上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m 2，求小路的宽．
25．如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O ，点D 为⊙O 上一点，且CD=CB 、连接DO 并延长交CB 的延长线于点E （1）判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若BE=4，DE=8，求AC 的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式列出关于m 的一元一次不等式组，然后方程组即可. 【详解】
解：∵（m-3）x 2-4x-2=0是关于x 的方程有两个不相等的实数根， ∴2
30
(4)4(3)(2)0
m m -≠⎧⎨
∆=---⨯->⎩ 解得：m>1且m ≠3. 故答案为D. 【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，正确运用一元二次方程的定义和根的判别式解题是解答本题的关键.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】
A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确. 故答案选：D. 【点睛】
本题考查的知识点是中心对称图形， 轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形， 轴对称图形.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1，ab =-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=（a+b ）2-2ab+2016即可求解. 【详解】
a ，
b 是方程230x x +-=的两个实数根，
∴23b b =-，1a b +=-，-3ab =，
∴222201932019a b a b -+=-++()2
220161620162023a b ab =+-+=++=； 故选A ． 【点睛】
本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
4．D
解析：D 【解析】 x 2−3x=0， x(x−3)=0， ∴x 1=0，x 2=3. 故选：D.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选C．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平均年增长率即可解题.
【详解】
解：设这两年的年净利润平均增长率为x，依题意得：
()2
4001640
x
+=
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉平均年增长率概念是解题关键. 7．B
解析：B
【解析】
【分析】
先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．
【详解】
解：由题意可画树状图如下：
根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的
情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：4
9
．
【点睛】
本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．
【详解】
解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0），
所以把抛物线y=x2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．9．C
解析：C
【解析】
【分析】
画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.
【详解】
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是：
21 126
．
故答案为C．
【点睛】
本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
设与墙相对的边长为（28-2x ）m ，根据题意列出方程x （28-2x ）=80，求解即可. 【详解】
设与墙相对的边长为（28-2x ）m ，则0＜28-2x≤12，解得8≤x ＜14， 根据题意列出方程x （28-2x ）=80， 解得x 1=4，x 2=10 因为8≤x ＜14
∴与墙垂直的边x 为10m 故答案为C. 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并求解是解题的关键，注意题中限制条件，选取适合的x 值.
11．B
解析：B 【解析】
试题解析：连接AD ，
∵BC 是切线，点D 是切点， ∴AD ⊥BC ，
∴∠EAF=2∠EPF=80°，
∴S 扇形AEF =280?283609
ππ=
， S △ABC =
12AD•BC=12
×2×4=4， ∴S 阴影部分=S △ABC -S 扇形AEF =4-
8
9
π． 12．C
解析：C 【解析】
【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2b
a
-
=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.
【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；
抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误； ∵对称轴x=2b
a
-
=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误； 当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确； ∵抛物线的顶点为（1，3），
∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误， 故选C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线
x=2b
a
-
，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点．
二、填空题
13．③④【解析】【分析】①首先根据抛物线开口向上可得a ＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0可得b ＜0据此判断即可②根据抛物线y=ax2+bx+c 的图象可得x=﹣1时y ＞0即a ﹣b+c ＞0据此判断即可③首先判
解析：③④ 【解析】 【分析】
①首先根据抛物线开口向上，可得a ＞0；然后根据对称轴为x=﹣2b
a
＞0，可得b ＜0，据此判断即可．
②根据抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，可得x=﹣1时，y ＞0，即a ﹣b+c ＞0，据此判断即可． ③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．
④根据函数的最小值是2
424ac b a
-=-，判断出c=﹣1时，a 、b 的关系即可．
【详解】
解：∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，又∵对称轴为x=﹣
2b
a
＞0，∴b ＜0，∴结论①不正确； ∵x=﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b+c ＞0，∴结论②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax 2+bx+c 的最小值是y=﹣2，
∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×
2=4，∴结论③正确； ∵2
424ac b a
-=-，c=﹣1，∴b 2=4a ，∴结论④正确．
故答案为：③④．
本题考查二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．
14．﹣≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴根据二次函数的性质即可求解【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+）2﹣∴函数的对称轴为x＝﹣∴当﹣1≤x≤0时函数有最小值﹣当x＝﹣1时有最大
解析：﹣1
3
≤y≤1
【解析】
【分析】
利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】
∵y＝3x2+2x＝3（x+1
3
）2﹣
1
3
，
∴函数的对称轴为x＝﹣1
3
，
∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣1
3
，当x＝﹣1时，有最大值1，
∴y的取值范围是﹣1
3
≤y≤1，
故答案为﹣1
3
≤y≤1．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
15．C【解析】分析：样本容量相同观察统计表可以看出C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小即可得出结论详解：样本容量相同C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小所以其频率也最小故答案为C点睛：考查用频率估计
解析：C
【解析】
分析：样本容量相同，观察统计表，可以看出C线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，即可得出结论.
详解：样本容量相同，C线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，故答案为C．
点睛：考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键.
16．π﹣2【解析】【分析】连接CD作DM⊥BCDN⊥AC证明△DMG≌△DNH则S四边形DGCH=S四边形DMCN求得扇形FDE的面积则阴影部分的面积即可求得【详解】连接CD作DM⊥BCDN⊥AC∵CA
解析：π﹣2．
【分析】
连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【详解】
连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC=1 2
AB=2，四边形DMCN是正方形，DM=2．
则扇形FDE的面积是：
2
902
360
π⨯
=π．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA．
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN．
∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN．在△DMG和△DNH中，
∵
DMG DNH
GDM HDN
DM DN
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=2．
则阴影部分的面积是：π﹣2．
故答案为π﹣2．
【点睛】
本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明
△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．
17．20【解析】【分析】抛物线的解析式为y=x2-6x-
16可以求出AB=10；在Rt△COM中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20【详解】抛物线的解析式为y=x2-6x-16则D（0
解析：20
【解析】
【分析】
抛物线的解析式为y=x2-6x-16，可以求出AB=10；在Rt△COM中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20．
抛物线的解析式为y=x 2-6x-16，
则D （0，-16）
令y=0，解得：x=-2或8，
函数的对称轴x=-2b a
=3，即M （3，0）， 则A （-2，0）、B （8，0），则AB=10， 圆的半径为
12
AB=5， 在Rt △COM 中，
OM=5，OM=3，则：CO=4，
则：CD=CO+OD=4+16=20．
故答案是：20.
【点睛】
考查的是抛物线与x 轴的交点，涉及到圆的垂径定理．
18．（22）或（2-1）【解析】∵抛物线y=x2-4x 对称轴为直线x=-
∴设点A 坐标为（2m ）如图所示作AP ⊥y 轴于点P 作O′Q ⊥直线x=2∴∠APO=∠AQ O′=90°∴∠QAO′+∠AO′Q=90°
解析：（2，2）或（2，-1）
【解析】
∵抛物线y=x 2-4x 对称轴为直线x=-
422
-= ∴设点A 坐标为（2，m ），
如图所示，作AP ⊥y 轴于点P ，作O′Q ⊥直线x=2，
∴∠APO=∠AQO ′=90°，
∴∠QAO ′+∠AO ′Q=90°，
∵∠QAO ′+∠OAQ=90°，
∴∠AO ′Q=∠OAQ ，
又∠OAQ=∠AOP ，
∴∠AO ′Q=∠AOP ，
在△AOP 和△AO′Q 中，
APO AQO AOP AO Q
AO AO ∠∠'⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝
∴△AOP ≌△AO ′Q （AAS ），
∴AP=AQ=2，PO=QO′=m ，
则点O ′坐标为（2+m ，m-2），
代入y=x 2-4x 得：m-2=（2+m ）2-4（2+m ），
解得：m=-1或m=2，
∴点A 坐标为（2，-1）或（2，2），
故答案是：（2，-1）或（2，2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点O ′的坐标是解题的关键．
19．－2【解析】【分析】设正方形的对角线OA 长为2m 根据正方形的性质则可得出BC 坐标代入二次函数y=ax2+c 中即可求出a 和c 从而求积【详解】设正方形的对角线OA 长为2m 则B （﹣mm ）C （mm ）A （02
解析：－2．
【解析】
【分析】
设正方形的对角线OA 长为2m ，根据正方形的性质则可得出B 、C 坐标，代入二次函数y=ax 2+c 中，即可求出a 和c ，从而求积．
【详解】
设正方形的对角线OA 长为2m ，则B （﹣m ，m ），C （m ，m ），A （0，2m ）； 把A ，C 的坐标代入解析式可得：c=2m ①，am 2+c=m ②，
①代入②得：am 2+2m=m ，
解得：a=-
1m ， 则ac=-1m
⨯2m=-2． 考点：二次函数综合题．
20．-5【解析】【分析】将二次函数配方即可直接求出二次函数的最小值【详解】∵y＝x2﹣2x ﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x ﹣1）2﹣5∴可得二次函数的最小值为
﹣5故答案是：﹣5【点睛】本题考查了二次函数的
解析：-5
【解析】
【分析】
将二次函数配方，即可直接求出二次函数的最小值．
【详解】
∵y ＝x 2﹣2x ﹣4＝x 2﹣2x+1﹣5＝（x ﹣1）2﹣5，
∴可得二次函数的最小值为﹣5．
故答案是：﹣5．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．
三、解答题
21．所围矩形猪舍的长为12m 、宽为8m
【解析】
【分析】
设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm 可以得出平行于墙的一边的长为(27﹣2x+1)m ．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
【详解】
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm 可以得出平行于墙的一边的长为(27﹣2x+1)m ，由题意得
x(27﹣2x+1)＝96，
解得：x 1＝6，x 2＝8，
当x ＝6时，27﹣2x+1＝16＞15(舍去)，当x ＝8时，27﹣2x+1＝12．
答：所围矩形猪舍的长为12m 、宽为8m ．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
22．（1）21533y x x =-+
+；（2）254米；（3）水柱能越过树 【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的性质求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）水柱离坡面的距离d=-
13x 2x+5-（），整理成一般式，再配方成顶点式即可得；
（3）先求出点C 的坐标为（1），再求出y ，与1+3.5比较大小即可得．
【详解】
（1）∵AB=10、∠OAB=30°，
∴OB=1
2
AB=5、OA=ABcos∠OAB=10×
3
2
=53，
则A（53，0）、B（0，5），
将A、B坐标代入y=-
1
3
x2+bx+c，得：
1
75530
3
5
b c
c
⎧
-⨯++
⎪
⎨
⎪⎩
＝
＝
，
解得：
43
5
b
c
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
＝
＝
，
∴抛物线解析式为y=-
1
3
x2+
43
x+5；
（2）水柱离坡面的距离d=-
1
3
x2+
43
x+5-（-
3
x+5）
=-
1
3
x2+
53
3
x
=-
1
3
（x2-53x）
=-
1
3
（x-
53
）2+
25
4
，
∴当x=
53
时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为
25
4
米；（3）如图，过点C作CD⊥OA于点D，
∵AC=2、∠OAB=30°，
∴CD=1、3
则3
当3y=-
1
3
×（32
43
×3＞1+3.5，
所以水柱能越过树．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数的图象与性质．
23．（1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为600，500盆；（2）a 的值为25
【解析】
【分析】
（1）设该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为x ，y 盆，根据甲、乙两种绿色植物共1100盆和共花费了27000元列二元一次方程组即可；
（2）结合（1）根据题意列出关于a 的方程，用换元法，设%t a =，化简方程， 求解即可．
【详解】
解：（1）设该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为x ，y 盆，
由题意知，1100203027000x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 解得，600500x y =⎧⎨=⎩
， 答：该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为600，500盆； （2）由题意知，12(20)600(1%)30(1%)500(1%)27000525a
a a a -⨯+
+-⨯+=， 令%t a =，原式可化为240t t -=，
解得，10t =（舍去），20.25t =，
∴25a =，
∴a 的值为25．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程在实际问题中的应用，根据题意正确列式是解题的关键．
24．小路的宽为1m ．
【解析】
【分析】
如果设小路的宽度为xm ，那么整个草坪的长为（16﹣2x ）m ，宽为（9﹣x ）m ，根据题意即可得出方程．
【详解】
设小路的宽度为xm ，那么整个草坪的长为（16﹣2x ）m ，宽为（9﹣x ）m ．根据题意得： （16﹣2x ）（9﹣x ）=112
解得：x 1=1，x 2=16．
∵16＞9，∴x =16不符合题意，舍去，∴x =1．
答：小路的宽为1m ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，弄清“整个草坪的长和宽”是解决本题的关键．25．（1）相切，证明见解析；（2）62.
【解析】
【分析】
（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出
r=3，由tan∠E=OB CD
EB DE
=，推出
3
48
CD
=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决
问题．
【详解】
解：（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，AB=2r=6，
∵tan∠E=OB CD EB DE
=，
∴3
48
CD =，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，2222
6662
AB BC
++=
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．。